Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p
O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise Combinatória. Na verdade, pode-se provar que a afirmação é válida, sendo p um inteiro maior ou igual a zero, e n um inteiro qualquer. Abraços do Ennius! _ De: claudiog...@yahoo.com.br Enviada: Sexta-feira, 11 de Abril de 2014 21:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p Olah! Bom, sabe-se que, segundo as formulas de combinação e de arranjo: Cn,p = n!/p!(n-p)! An,p = n!/(n-p)! Logo: Cn,p = An,p/p! - An,p = p!Cn,p Pode-se observar que o produto dado eh: (n+p-1)!/(n-1)! = (n+p-1)!/(n+p-1-p)! = A(n+p-1),p Portanto: A(n+p-1),p = p!C(n+p-1),p Como o resultado de uma combinação sempre eh inteiro, conclui-se que: A(n+p-1),p = p!.k, com k inteiro e dessa forma eh um múltiplo de p! :) Enviado via iPhone Em 11/04/2014, às 19:01, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do fatorial de p? (n e p são naturais maiores do que 1.) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Abraços do Ennius Lima!  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p
2014-04-12 7:21 GMT-03:00 Ennius Lima enn...@bol.com.br: O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise Combinatória. Então, a saída é usar indução. Duas variáveis inteiras (p, n) implicam duas induções. Nesse caso, dá para separar. Depois, faça indução em p e em seguida em n. A base em p, p = 1 é fácil. A base em n, n = 1 dá p! / p! também. O passo de indução em n troca n por (n+p). O termo do meio é divisível por (p-1)! (hipótese da indução em p-1) logo basta ver o que acontece com os fatores de p. Como o produto anterior era divisível por p!, os únicos fatores que faltam estão no n que você retirou, e são fatores de p. Mas esses fatores reaparecem em (n+p) com (pelo menos) a mesma multiplicidade. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] (Torneio das Cidades) Polinômios
Olá pessoal , tenho uma dúvida quanto a resolução da seguinte questão que encontrei no material de Álgebra Nível 3 do POTI (aula 06) : (Torneio das Cidades) Sabendo que a equação : x^4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 possui uma raiz real, prove que : a² + b² * ou =* 8 Solução . Temos que: x^4 + ax³ + 2x³ + bx + 1 = (x² + px + q)(x² + sx + t) (1) em que *p, q, s, t* são *reais*. Como, pelo menos uma das raízes são reais, iremos assumir que ela é raiz de x²+ sx + t, então: s² ou = 4t. Igualando os coeficientes em (1), temos: a = p + s 2 = q + t + ps; b = pt + qs; 1 = qt. Portanto, a² + b² = p² + q² + 2ps + p²t² + q²s² + 2ptqs = p²(1 + t²) + s²(1 + q²) + 4ps * ou =* p²(1 + t²) + 4(t + q + ps) * ou =* 8. Minha dúvida é a seguinte: Como foi feita a dedução que os os coeficientes a e b são reais? Eles não poderiam pertencer a : C -IR ? Para mim a solução faria sentido se no enunciado constasse que a e b são reais , ou quem sabe se fosse : | a² + b² | * ou = *8 . Grato. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Em algum sentido, parece ser verdade! Veja a seção smoothed asymptotics desta página da wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯ antes de consultar quem realmente entende http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ [], Leo. 2014-04-12 12:53 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito ?
a00b a=b a(101)=nao e quadrado perfeito a=!b a00.b=a*10^n=(x-rqb)(x+rqb)= =a*2^n*5^n como x -rqb e x+rqb diferem de 2rqb e nos temos combinaçoes que diferem de multiplos de 2 e 5, e b varia de 1 a 9 logo x nunca podera ser escolhido para que a igualdade seja igualada. 2014-04-06 16:27 GMT-03:00 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Vou supor que exista pelo menos um 0. 3*10^n+1 = x^2 3*10^n= x^2-1 3*10^n= (x-1)(x+1) 3*2^n*5^n= (x-1)(x+1) Temos MDC(x-1,x+1)=MDC(x-1,2)=1 ou 2. Como n1, então o MDC é 2. Assim, o lado direito é múltiplo de 4 mas não de 8. Isso limita o total de valores possíveis para n - basta testar! Acho que dá para fazer o mesmo nos outros casos que você deixou para trás... Em 5 de abril de 2014 20:39, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que os números da forma a000...0b não são quadrados perfeitos Os valores possíveis para b são 1,4,5,6 e 9 Analisando modulo 8 descartamos 6 e 9 Podemos descartar tambem o 5,pois se a^2 termina em 5,a tambem termina em 5,mas neste caso a^2 terminaria em 25 Analisando modulo 9,notamos que 1000...01,2000...01,4000...1,5000...1 e 7000...1 não são quadrados Também estariam fora 1000...04,2000...04,4000...04,7000...04,8000...4 Os quadrados são da forma 9k,9k+1,9k+4 e 9k+7 Há outros 8 casos que ficariam em aberto: 3000...01,6000...01,8000...01 e 9000...01,3000...04,5000...04, 6000...04 e 9000...04 E agora José? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p
Se for assim, o meu método é mais direto. Basta provar que [x]+[y] = [x+y] e pronto! Em 12 de abril de 2014 07:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-04-12 7:21 GMT-03:00 Ennius Lima enn...@bol.com.br: O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise Combinatória. Então, a saída é usar indução. Duas variáveis inteiras (p, n) implicam duas induções. Nesse caso, dá para separar. Depois, faça indução em p e em seguida em n. A base em p, p = 1 é fácil. A base em n, n = 1 dá p! / p! também. O passo de indução em n troca n por (n+p). O termo do meio é divisível por (p-1)! (hipótese da indução em p-1) logo basta ver o que acontece com os fatores de p. Como o produto anterior era divisível por p!, os únicos fatores que faltam estão no n que você retirou, e são fatores de p. Mas esses fatores reaparecem em (n+p) com (pelo menos) a mesma multiplicidade. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] (Torneio das Cidades) Polinômios
Tem que ler o enunciado, mas normalmente se tratam de coeficientes reais. Nunca cheguei a ver um problema de olimpíada que usasse coeficientes complexos. Por favor não use HTML nas mesgs... usasse Em 12 de abril de 2014 11:18, Gabriel Lopez cronom...@gmail.com escreveu: Olá pessoal , tenho uma dúvida quanto a resolução da seguinte questão que encontrei no material de Álgebra Nível 3 do POTI (aula 06) : (Torneio das Cidades) Sabendo que a equação : x^4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 possui uma raiz real, prove que : a² + b² * ou =* 8 Solução . Temos que: x^4 + ax³ + 2x³ + bx + 1 = (x² + px + q)(x² + sx + t) (1) em que *p, q, s, t* são *reais*. Como, pelo menos uma das raízes são reais, iremos assumir que ela é raiz de x²+ sx + t, então: s² ou = 4t. Igualando os coeficientes em (1), temos: a = p + s 2 = q + t + ps; b = pt + qs; 1 = qt. Portanto, a² + b² = p² + q² + 2ps + p²t² + q²s² + 2ptqs = p²(1 + t²) + s²(1 + q²) + 4ps * ou =* p²(1 + t²) + 4(t + q + ps) * ou =* 8. Minha dúvida é a seguinte: Como foi feita a dedução que os os coeficientes a e b são reais? Eles não poderiam pertencer a : C -IR ? Para mim a solução faria sentido se no enunciado constasse que a e b são reais , ou quem sabe se fosse : | a² + b² | * ou = *8 . Grato. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Somatório
Olá. Não me aprofundei nestes temas, mas se for o que suponho, está ligado a um tema chamado de 'somas de Cesàro'. Gostaria de saber mais, inclusive sobre teoremas abelianos e tauberianos, se realmente tiver a ver com essa séria da camiseta. Em Sat, 12 Apr 2014 12:53:59 -0300 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
