Bom dia!
Consegui entender como o Anderson chegou a solução. E realmente é 3^n no
denominador, ou seja, (10^k-1)/3^n, onde 10^k = 1 mod3^n.
E o número m, de algarismos zeros, que deve ser acrescidos a esquerda do
resultado acima é o menor inteiro m, que atende 10^(m+1) > 3^n.
Para o caso particular 1/3^2002, seriam 955 algarismos zeros inseridos a
esquerda.
Saudações,
PJMS
Em 22 de novembro de 2017 11:45, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> Bom dia!
>
> Não entendi como o Anderson chegou a solução, para determinar o período
> propriamente dito. Todavia fiz um experimento e realmente dá certo para
> (10^k-1)/3^n. Acho que ele se enganou e reportou n somente ao invés de
> 3^n.
> Todavia, em alguns casos, precisa colocar algarismos zeros a esquerda do
> resultado
> Por exemplo para 1/3^3.
> O menor expoente que satisfaz 10^k= 1 mod27 é k= 3
> então o período seria (10^3-1)/3 = 37.
> Porém, usando a fórmula proposta pelo Bernardo, o número de algarismos do
> período seria = 3^(3-2) = 3.
> Portanto, seria necessário completar com "zeros" a esquerda para alguns
> casos e creio que seja 3^2002 no denominador e não 2002, como apresentado.
>
> O mesmo acontece para 1/3^4
> a ordem de 10 mod81 é 9
> então o período daria (10^9-1)/81 = 12345679.
> Porém o número de algarismos do período é, segundo o Bernardo, e com
> propriedade: 3^(2)=9 e novamente precisamos acrescentar um algarismo zero a
> esquerda.
>
> Um outro ponto, é quanto a quantidade de átomos do universo. É uma
> estimativa, e para o universo observável, ou seja, cuja distância a partir
> de um observador é menor ou igual do que a distância percorrida pela luz,
> desde o Big Bang até o instante de observação. Minha crença é de que o
> universo é infinito e não limitado a três dimensões, as três dimensões é
> uma limitação nossa e não existencial. Mas...
> Ademais, a estimativa além de considerar o universo como finito, despreza
> possíveis fontes de átomos, só considerando os das estrelas e usa
> equivalência para átomos de Hidrogênio.
>
> Bernardo,
> pode ficar tranquilo que a ordem de grandeza, tradicional, para a
> estimativa da quantidade de átomos do universo é 10^80 (na verdade a
> estimativa é 4 * 10^79, mas como 4 > 3,16 a ordem é 10^80).
> Já eu tenho que tomar um remédio para memória que é muito bom,
> sensacional. Se alguém precisar, posso passar o nome depois, pois não
> lembro o nome. Fiquei em dúvida, agora, não me lembro se tomei o remédio
> hoje ou não.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
> Em 21 de novembro de 2017 23:27, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2017-11-21 22:41 GMT-02:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>
>> :
>> > Que treta... Bem, a ideia seria descobrir a potência de dez que deixa
>> > resto um módulo 3^2002, e daí realizar a divisão longa
>> > ((10^k-1)/2002)...
>> >
>> > Em 21 de novembro de 2017 17:13, Vinícius Raimundo
>> > <vini.raimu...@gmail.com> escreveu:
>> >> Encontre o período na representação decimal de 1/3^2002
>>
>> Eu acho que por "o período" o enunciado quer dizer o número de dígitos
>> no período, (assim 1/3 = 0.33333... tem período 1, 1/7 =
>> 0.142857142... tem período 6, etc).
>>
>> E neste caso uma solução por recorrência mostra que o período é
>> 3^{n-2} para n >= 2 (se não me falha a memória). Se for isso, basta
>> mostrar que 10^{3^n} - 1 é divisível por 3^{n+2}, mas não por 3^{n+3}.
>> Com n=0, isso é 10^1 - 1 é divisível por 9 = 3^2, o passo de indução
>> você usa (a-1)^ = a^3 - 3a^2 + 3a - 1. Agora, calcular a parte
>> periódica, vai demorar... Se eu acertei as contas, tem "só" 3^2000
>> dígitos, que é muito mais do que o número de átomos no universo (por
>> volta de 10^{80}, de novo de memória) :)
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
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acredita-se estar livre de perigo.
