Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Boa noite! Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de paciência e braço. *Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.* em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2 em relação a y Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) - (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2 e em relação a z Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) - (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2 *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto crítico.* Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k. Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar. R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo) Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0. Desenvolvendo a expressão chegamos a: C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ] (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ] (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0 onde: C1(x,y,z) = -81z(xy+9)^2 C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9) C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2 C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2 C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3) C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2 C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2 C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2 Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo) Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto crítico, ou seja, (3,3,3) *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único* Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa. Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a expressão total não é uma constante. Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não atende para: x 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema x,y,z positivos. C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2). C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são positivos. O patinho feio C1(x,y,z) é negativo. então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que. -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal igual as demais parcelas. (x+y (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2=6 ==> z<=3 e fere a ordem da premissa. então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) > 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico. Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona crescente para z>raizquinta(81)~2,41. Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2 Como (zx+9)>(xy+9) Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende 2187 e os demais da esquerda são positivos. O ponto crítico é único. *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.* Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as parciais em x,y em x,z e em y,z. Então pensei: O ponto crítico é único e a função é contínua. O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o valor mínimo da função. Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução, visto que o domínio dá um triângulo aberto e o mínimo estaria na borda que não faz parte do conjunto. Para ser mínimo local e global, não pode haver um ponto na borda que apresente um valor menor que 9. Optei por esse caminho. Se o raciocínio estiver errado, por favor, indiquem, que voltarei para o calvário da hessiana. Como a função é simétrica, basta verificar para um segmento da borda. Escolhi z=0 e x+y = 9 com x,y>=0 e Nas extremidades (0,9) ou (9,0) dá o mesmo valor 162 > 9. Agora vamos achar o mínimo da
Re: [obm-l] Questão do IME
Seguem algumas ideias para uma solução por vetores em R^3, mas precisa esboçar as figuras para ficar mais claro. - Sem perda de generalidade, assuma que os quadrados têm lado medindo 1. - Esboce a figura no R^3, sendo B a origem do sistema, o lado AB no eixo x e o lado BC no eixo y. - Chame de t o ângulo no plano yz entre os lados BC e BE. Então temos o vetor MN = (-1, cos(t)-1, sen(t)) e o vetor DE = (1/3) (-1, cos(t)-1, sen(t)), ou seja esses vetores satisfazem MN = 3DE e em particular eles são paralelos. Obs. Pense como se fosse um caderno quadrado cuja lina da espiral é o lado AB, a capa ABCD está apoiada no plano horizontal xy e a oura capa ABEF vc pode abrir e fechar como quiser, formando um ângulo t entre elas. AbraçoAry Em Sexta-feira, 13 de Julho de 2018 13:11, Vanderlei Nemitz escreveu: Sejam dois quadrados ABCD e ABEF, tendo um lado comum AB, mas não situados num mesmo plano. Sejam M e N pertencentes, respectivamente, às diagonais AC e BF tais que AM/AC = BN/BF = 1/3. Mostre que MN é paralelo a DE. Alguém poderia ajudar?Obrigado,Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. | | Livre de vírus. www.avast.com. | -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do IME
Os prolongamentos de DM e EN se intersectam num mesmo ponto P pertencente a AB. Pra ver isso, repare que os triângulos DCM e PAM são semelhantes (razão de semelhança = 2). Idem para os triângulos EFN e PNB. Como, no triângulo PDE (que é isósceles), vale PM/PD = PN/PE = 1/3, concluímos que MN é paralelo a DE. []s, Claudio. 2018-07-13 12:13 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Sejam dois quadrados ABCD e ABEF, tendo um lado comum AB, mas não situados > num mesmo plano. Sejam M e N pertencentes, respectivamente, às diagonais AC > e BF tais que AM/AC = BN/BF = 1/3. Mostre que MN é paralelo a DE. > > Alguém poderia ajudar? > Obrigado, > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Questão do IME
Sejam dois quadrados ABCD e ABEF, tendo um lado comum AB, mas não situados num mesmo plano. Sejam M e N pertencentes, respectivamente, às diagonais AC e BF tais que AM/AC = BN/BF = 1/3. Mostre que MN é paralelo a DE. Alguém poderia ajudar? Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ensino de matemática
Bom dia!
Cláudio,
pensei que fosse um trabalho desde a base.
Muitos alunos já chegam com as "pernas quebradas" na faculdade. O ENEM
identificou uma forte discrepância em matemática entre os colégios
particulares e públicos.
Já acho o ensino particular fraco. Ensina-se, de regra, como fazer e
manda-se repetir ao extremo.
Minha pretensão era quanto a atuação na base.
Nem muito conhecimento tenho para opinar lá em cima. Além de achar que se
chegar mancando na faculdade, provavelmente vai a meia boca.
E meu objetivo era influir no ensino do pessoal de baixa renda.
Estudei em colégio estadual, faculdade federal. Tenho uma dívida. Depois,
de aposentar, gostaria de fazer algo voltado para esse público e quando
ainda pequenos, antes deles perderem o interesse pelo estudo.
Saudações,
PJMS
Em 12 de julho de 2018 11:09, Claudio Buffara
escreveu:
> Não sei exatamente como isso vai funcionar.
> Mas a ideia é que todos expressem suas opiniões de forma fundamentada e/ou
> comentem a dos demais.
> Com sorte, formaremos um consenso e poderemos tentar fazer algo em
> conjunto, desde escrever e tentar publicar um artigo até coisas mais
> ambiciosas.
>
> Decidi começar com o tópico "cálculo em 1 variável" (ou, na versão mais
> teórica, "análise na reta") porque tenho algumas idéias a respeito e porque
> este é um curso pelo qual todos os cientistas e engenheiros precisam passar
> e, segundo eu apurei, os índices de reprovação, mesmo em universidades de
> ponta, são alarmantes.
>
> Por exemplo, "na UFF (Universidade federal Fluminense), no período de 1996
> a 2000, a variação do índice de não-aprovação se encontrava na faixa de 45%
> a 95%, sendo que, para o Curso de Matemática, essa não foi inferior a 65%,
> ou seja, nesse período não se aprovou mais que 45% em uma turma de Cálculo,
> no curso de Matemática. "
> Fonte: http://www.nilsonjosemachado.net/lca19.pdf
>
> Quantos bons engenheiros e cientistas (e até economistas) o Brasil deixou
> de formar simplesmente porque a pessoa não conseguiu passar em Cálculo I e
> acabou desistindo do curso?
>
> Mas entendo que o ensino de matemática tem deficiências em todos os
> níveis, do 1o ano Fundamental até o último ano da faculdade, muitas das
> quais acabam por impactar o desempenho dos alunos em Cálculo I.
>
> Assim, qualquer um que tiver experiências pra contar e idéias sobre como
> melhorar o ensino de matemática, em qualquer nível, é mais do que bem vindo
> para partilhá-las com os demais e alimentar o debate.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> 2018-07-12 8:25 GMT-03:00 João Lucas Lopes Gambarra >:
>
>> Também tenho interesse em participar
>>
>> Att,
>> João Lucas
>>
>> Em qui, 12 de jul de 2018 06:36, Marcelo de Moura Costa <
>> mat.mo...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Também tenho interesse em participar.
>>>
>>> Em qua, 11 de jul de 2018 12:38, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
Prezados colegas da lista:
Entendo que o tema pode ser off-topic pois não trata especificamente de
problemas olímpicos, mas aqui vai de qualquer forma...
Algum de vocês se interessa pelo ensino de matemática (escolar ou
universitário)?
Pergunto porque há anos tenho pensado na melhor forma de ensinar
matemática (principalmente em termos de composição do currículo e de
apresentação dos tópicos nos livros didáticos), estou convencido de que não
estamos fazendo certo, nem na escola e nem na universidade, e gostaria de
ter gente interessada pra debater idéias e, quem sabe, elaborar algum
projeto mais concreto.
Em linhas gerais, discordo da ordem em que os assuntos são abordados,
na maioria dos livros.
O foco é muito mais na ordem lógica (seguindo o rigor do método
axiomático, mesmo em livros pra ensino médio) sem nenhuma preocupação:
- com a motivação para os resultados que são apresentados (e, nos
ensinos fundamental e médio, quase nunca demonstrados);
- com tornar estes resultados intuitivos para o estudante.
Também acho que certos assuntos deveriam ser incluídos e outros
excluídos do currículo, mas este, pra mim, é um problema menor. Pois,
qualquer que seja o tópico, se for bem ensinado e incentivar o aluno a
pensar, já tá valendo.
A meu ver, seria ideal se cada tópico do currículo de matemática fosse
apresentado seguindo a sequência:
identificação de padrões ("patterns") ==> formulação de conjecturas ==>
demonstração destas conjecturas.
Pois esta é a maneira como a matemática é criada.
Mas acho que muito poucos professores estão capacitados pra ensinar
matemática deste jeito.
Em particular, no Ensino Médio, a ênfase nos últimos anos tem sido na
tal contextualização, que pode ser vista em todo o seu esplendor nas provas
do Enem.
O resultado disso me parece ser um retrocesso na formação matemática
dos alunos e também a disseminação da mentalidade de que a única
