[obm-l] Mais uma de Geometria do IME

[Vanderlei Nemitz]

A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema de
Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer?

Obrigado!



Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos
as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto da
interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e
C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados AC e AB.
Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.

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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[João Lucas Lopes Gambarra]

Certamente uma das melhores soluções que eu já vi para esse tipo de problema

Uma resolução "verdadeiramente olímpica"

Muito bom mesmo, parabéns!

Em 16 de julho de 2018 09:13, matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
>

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