Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)
Veja se concorda com o seguinte raciocínio: sen(x) = 2*cos(x/2)*sen(x/2) = 2*cos*(x/2)*(2 cos(x/4)*sen(x/4)) Então, teremos (pode-se provar por indução): sen(x) = 2^(n)*cos (x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos (x/2^n)*sen(x/2^(n)) Dividindo ambos os lados da igualdade por x: (sen(x))/x = 2^(n)*cos(x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos(x/2^(n))*sen(x/2^(n))/x = =cos(x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos(x/2^(n))*[sen(x/2^(n))/(x/2ˆ(n))] Quando n tende a infinito, sen(x/2^(n))/(x/2ˆ(n)) tende a 1. Assim, prova-se a igualdade do problema cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (sen(x))/x. Att. Kevin Kühl Em 23 de jul de 2018 17:24 -0300, marcone augusto araújo borges , escreveu: > Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)
Seja P_N = cos(x/2) cos(x/4) ... cos(x/2^N) 1ª parte Provar por PIF que P_N = sen(x)/( 2^(N) sen(x/2^N) ) Para x diferente de zero Para N=1 é fácil perceber que P_N=sen(x)/2sen(x/2) Supondo agora que P_(K-1)=sen(x)/( 2^(K-1) sen(x/2^(K-1)) Temos que P_K= [ cos(x/2) cos(x/4) ... 2 sen(x/2^K) cos (x/2^K) ]/ (2 sen(x/2^K) ) ==> P_K = [ cos(x/2) cos(x/4) ... cos(x/2^(K-1)) sen(x/2^(K-1)) ]/ (2 sen(x/2^K) ) ==> P_K = P_(K-1) * sen(x/2^(K-1))/2sen(x/2^K) ==> P_K=sen(x)/( 2^K sen(x/2^K) ) 2ª parte Calcular lim(P_N)N->infinito lim [2^N sen(x/2^N) ] = 2^N x/2^N ==> lim [2^N sen(x/2^N)] = x ==> Lim P_N = sen (x)/x > Em 23 de jul de 2018, às 16:51, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] produtório(seno e cosseno)
Faça: C(n) = cos(x/2)cos(x/4)...cos(x/2^n) e S(n) = sen(x/2)sen(x/4)...sen(x/2^n) Então: S(n)*C(n) = sen(x/2)cos(x/2)*sen(x/4)cos(x/4)*...*sen(x/2^n)cos(x/2^n) = (1/2)sen(x)*(1/2)sen(x/2)*...*(1/2)sen(x/2^(n-1)) = (1/2^n)*sen(x)*S(n)/sen(x/2^n) = sen(x)*S(n)/(2^n*sen(x/2^n)) ==> C(n) = sen(x)/(2^n*sen(x/2^n)) Quando n -> infinito, 2^n*sen(x/2^n) -> x, já que 2^n*sen(x/2^n) = x*sen(x/2^n)/(x/2^n), e sen(x/2^n)/(x/2^n) -> 1 quando n -> infinito. Logo, C(n) -> sen(x)/x. Numa das passagens acima, eu divido por sen(x/2^n), o que é problemático se x = 2^n*k*Pi (k inteiro). Mas o sen(x) no numerador resolve este problema (via passagem ao limite). []s, Claudio. 2018-07-23 16:51 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] produtório(seno e cosseno)
Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
