Re: [obm-l] Integral nula
Acho que não precisa entrar na integral de Lebesgue. Como os pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida nula, a Riemann-integrabilidade está provada. Como c(x) = 0 em [0,1], exceto por um conjunto de medida nula (justamente o conjunto de Cantor), no qual c(x) = 1, a integral só pode ser igual a zero. Basta cobrir o conjunto de Cantor com uma união enumerável de intervalos fechados cuja soma dos comprimentos é <= epsilon = número positivo arbitrariamente pequeno e definir f:[0,1] -> R por f(x) = 1 se x pertence a algum destes intervalos e f(x) = 0, caso contrário. Então c(x) <= f(x) em [0,1] ==> Integral(0...1) c(x)dx <= Integral(0...1) f(x)dx <= epsilon ==> Integral = 0. On Sat, Aug 25, 2018 at 8:41 PM Artur Steiner wrote: > Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a > integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann > é nula, precisamos antes verificar que a integral de Lebesgue com a medida > de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta > medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um > intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis > coincidem. > > Artur Costa Steiner > > Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de >> intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1. >> Logo, tem medida nula. >> A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus >> pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já >> que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto. >> Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo >> critério de Lebesgue) e igual a zero. >> >> Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer >> número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de >> irracionais). >> Logo, não é Riemann-integrável. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que >>> >>> Integral [0, 1] c(x) dx =0 >>> >>> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função >>> característica dos racionais. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integral nula
Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann é nula, precisamos antes verificar que a integral de Lebesgue com a medida de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis coincidem. Artur Costa Steiner Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara escreveu: > O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de > intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1. > Logo, tem medida nula. > A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus > pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já > que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto. > Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo > critério de Lebesgue) e igual a zero. > > Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer > número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de > irracionais). > Logo, não é Riemann-integrável. > > []s, > Claudio. > > > > On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que >> >> Integral [0, 1] c(x) dx =0 >> >> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função >> característica dos racionais. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integral nula
O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1. Logo, tem medida nula. A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto. Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo critério de Lebesgue) e igual a zero. Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de irracionais). Logo, não é Riemann-integrável. []s, Claudio. On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner wrote: > Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que > > Integral [0, 1] c(x) dx =0 > > Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função > característica dos racionais. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Integral nula
Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que Integral [0, 1] c(x) dx =0 Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função característica dos racionais. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em números reais
Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, ac + bd = 0. Calcule ab + cd Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c = cosx e d = senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em números reais
Pensando nos vetores unitários (a,b) e (c,d), ac + bd = 0 implica (via produto escalar, como você sugeriu) que estes vetores são ortogonais e que, portanto: c = b, d = -a ==> ab + cd = ab + b(-a) = 0 ou c = -b, d = a ==> ab + cd = ab + (-b)a = 0. []s, Claudio. On Sat, Aug 25, 2018 at 1:19 PM marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> wrote: > Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, > ac + bd = 0. Calcule ab + cd > > > Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c = > cosx e d = senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
