Re: [obm-l] Polinomios

[Israel Meireles Chrisostomo]

Essa sua prova vale tmbm para o caso em que as raízes são complexas?


Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em sáb, 26 de out de 2019 às 10:07, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Vc precisou usar o TFA para provar isso?
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_7765390292055441037_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em sáb, 26 de out de 2019 às 09:52, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Muito obrigado!!!
>>
>> Em sex, 25 de out de 2019 às 21:39, Pedro Angelo 
>> escreveu:
>>
>>> Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.
>>>
>>> Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
>>> P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
>>> Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
>>> ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
>>> P. Você vai descobrir que:
>>> q_{N-1} = p_N
>>> q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
>>> ...
>>> q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
>>> -a*q_0 = p_0
>>> Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0,
>>> você vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que
>>> isso: observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau
>>> de Q é igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.
>>>
>>> Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
>>> ..., a_N. Bom, então, para começar:
>>> P(x) = (x - a_1)*Q(x).
>>> Como a_2 também é raíz de P:
>>> 0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
>>> Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue
>>> que Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado
>>> em (x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
>>> P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
>>> Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
>>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
>>> onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
>>> coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
>>> ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
>>> constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
>>> polinômio original P.
>>>
>>> Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N
>>> raízes distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte
>>> forma:
>>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
>>> Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
>>> fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
>>> seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
>>> distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.
>>>
>>>
>>> Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :
>>>

 Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
 polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
 --
 Israel Meireles Chrisostomo


 
  Livre
 de vírus. www.avg.com
 .

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 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
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> Israel Meireles Chrisostomo
>


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Israel Meireles Chrisostomo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Polinomios

[Israel Meireles Chrisostomo]

Vc precisou usar o TFA para provar isso?


Livre
de vírus. www.avg.com
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Em sáb, 26 de out de 2019 às 09:52, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Muito obrigado!!!
>
> Em sex, 25 de out de 2019 às 21:39, Pedro Angelo 
> escreveu:
>
>> Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.
>>
>> Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
>> P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
>> Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
>> ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
>> P. Você vai descobrir que:
>> q_{N-1} = p_N
>> q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
>> ...
>> q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
>> -a*q_0 = p_0
>> Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0,
>> você vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que
>> isso: observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau
>> de Q é igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.
>>
>> Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
>> ..., a_N. Bom, então, para começar:
>> P(x) = (x - a_1)*Q(x).
>> Como a_2 também é raíz de P:
>> 0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
>> Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que
>> Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em
>> (x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
>> P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
>> Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
>> onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
>> coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
>> ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
>> constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
>> polinômio original P.
>>
>> Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N
>> raízes distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte
>> forma:
>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
>> Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
>> fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
>> seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
>> distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.
>>
>>
>> Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :
>>
>>>
>>> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
>>> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
>>> --
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>>>
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>>> 
>>>  Livre
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Polinomios

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito obrigado!!!

Em sex, 25 de out de 2019 às 21:39, Pedro Angelo 
escreveu:

> Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.
>
> Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
> P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
> Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
> ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
> P. Você vai descobrir que:
> q_{N-1} = p_N
> q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
> ...
> q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
> -a*q_0 = p_0
> Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0,
> você vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que
> isso: observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau
> de Q é igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.
>
> Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
> ..., a_N. Bom, então, para começar:
> P(x) = (x - a_1)*Q(x).
> Como a_2 também é raíz de P:
> 0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
> Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que
> Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em
> (x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
> P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
> Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
> onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
> coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
> ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
> constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
> polinômio original P.
>
> Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N raízes
> distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte forma:
> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
> Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
> fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
> seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
> distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.
>
>
> Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :
>
>>
>> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
>> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
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>> Israel Meireles Chrisostomo
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