Em sáb., 12 de set. de 2020 às 01:18, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > > Boa noite! > Atrapalhou meu vinho e o filme que estava assistindo mas consegui. Não gostei > tanto, agora que consegui, é muito trabalhoso. > > 2= [3(y+1)(z+1)-1]/2yz > yz= 3(yz+2) (i) > z(y-3)= 3y +2 (ii) > y(z-3)=3z+2 (iii) > (i)*(ii) yz(z-3)(y-3)= 9yz+6(y+z)+4 e Voilá: (z-3)(y-3)=11. > > Saudações, > PJMS > > > > > > Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:35, Pedro José <petroc...@gmail.com> > escreveu: >> >> Boa noite! >> Fui em uma linha parecida com a primeira solução, embora não visse >> necessidade de mudança de variáveis. >> Mas o b achei sempre por restrição. >> Esse "it implies" e aparece um número fatorado, não consegui captar, embora >> tenha gostado do recurso, já que é bem restritivo. >> >> Sudações, >> PJMS >> >> >> Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:08, Pedro José <petroc...@gmail.com> >> escreveu: >>> >>> Boa noite! >>> Grato, Ralph! >>> >>> Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta >>> estava correta, >>> >>> Saudações. >>> PJMS >>> >>> Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira >>> <ralp...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>> Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: >>>> http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf >>>> >>>> On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: >>>>> >>>>> Bom dia! >>>>> >>>>> Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. >>>>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1<a<b<c, com a,b,c Naturais. >>>>> >>>>> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, >>>>> da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, >>>>> aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei >>>>> nada. Mas no fim, recordei o que havia feito. >>>>> (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. >>>>> vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 >>>>> e c=a+2 >>>>> [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então >>>>> (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. >>>>> O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. >>>>> S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. >>>>> S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. >>>>> a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c >>>>> para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2<b<5 e b par, temos b=4. Como >>>>> k é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. >>>>> >>>>> a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3<b<7 e b ímpar. temos b=5; kmax >>>>> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. >>>>> 1<k<=2 ==> k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. >>>>> >>>>> Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova >>>>> solução. >>>>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) >>>>> - 1 logo divide a diferença: >>>>> (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então >>>>> ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) >>>>> Como a=2 ou a=3 >>>>> Se a=2. e w>=2 >>>>> Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. >>>>> Se a=3 >>>>> Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b >>>>> w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 >>>>> 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> >>>>> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 >>>>> ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. >>>>> Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 >>>>> (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b >>>>> a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) >>>>> a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), >>>>> Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. >>>>> Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da >>>>> IMO e suas resoluções?
O bom e velho MathLinks! Ou melhor, AOPS: https://artofproblemsolving.com/community/c89 A bem da verdade, eu tinha pego minha antiga papelada e convertido uma imensa parte para LaTeX. Entre estas, estavam várias listas de exercícios, além de problemas das IMOs. Em breve vou jogar no Bitbucket. >>>>> >>>>> Grato! >>>>> Saudações, >>>>> PJMS >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
