Re: [obm-l] Lista/ Livros Geometria IMO/OBM
Oi RF -romelsfmath, um lugar para você aprender um porção de coisas é olhar os arquivos desta lista de problemas http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html lá você vai encontrar muito material para estudar. [@] Jones On Sun, Oct 25, 2020 at 1:08 PM joao pedro b menezes < joaopedrobmene...@gmail.com> wrote: > Olá, boa tarde. Eu não conheço todos, mas eu sei que é possivel entrar no > site da OBM : > > https://www.obm.org.br/2020/07/25/conheca-livros-para-iniciar-a-preparacao-para-a-proxima-obm/ > > Ainda assim, um livro que eu particularmente acho fantástico se chama > “Challenging problems in geometry “. Ele é usado para a preparação da IMO. >
Re: [obm-l] Lista/ Livros Geometria IMO/OBM
Muito obrigado por sua resposta. Voce foi o unico que deu uma ajuda :) On 10/25/20 11:52 AM, joao pedro b menezes wrote: Olá, boa tarde. Eu não conheço todos, mas eu sei que é possivel entrar no site da OBM : https://www.obm.org.br/2020/07/25/conheca-livros-para-iniciar-a-preparacao-para-a-proxima-obm/ Ainda assim, um livro que eu particularmente acho fantástico se chama “Challenging problems in geometry “. Ele é usado para a preparação da IMO. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio
Correção: fazendo y=1/(r+i).
Em seg, 26 de out de 2020 às 10:49, Marcos Martinelli <
mffmartine...@gmail.com> escreveu:
> Sendo i a unidade imaginária:
>
> 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)-1/(r_k+i) (k=[1,n], onde r_k <> {-i,i}).
>
> i) Seja z_k = 1/(r_k-i) e fazendo z=1/(r-i) em r^20-7r^3+1=0:
> (1/z+i)^20-7(1/z+i)^3+1=0 => (1+iz)^20-7z^17(1+iz)^3+z^20=0 => (7i+2)z^20 +
> (-20i+21)z^19 +...=0.
>
> Portanto Soma_(k=[1,n]) 1/(r_k-i) = Soma_(k=[1,n]) z_k = -
> (-20i+21)/(7i+2) (I).
>
> ii) Seja y_k = 1/(r_k+i) e fazendo y=1/(r-i) em r^20-7r^3+1=0:
> (1/y-i)^20-7(1/y-i)^3+1=0 => (1-iy)^20-7y^17(1-iy)^3+y^20=0 => (-7i+2)y^20
> + (20i+21)y^19 +...=0.
>
> Portanto Soma_(k=[1,n]) 1/(r_k+i) = Soma_(k=[1,n]) y_k = -
> (20i+21)/(-7i+2) (II).
>
> Usando (I) e (II):
>
> Soma_(k=[1,n]) 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(-(-20i+21)/(7i+2)
> -(-(20i+21)/(-7i+2))) = 1/(2i)*1/(-49)*(-80i-294i) = 187/49.
>
> Em dom., 25 de out. de 2020 às 10:25, Marcos Martinelli <
> mffmartine...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sendo i o complexo imaginário:
>>
>> 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)+1/(r_k+i)
>>
>> Depois você deve considerar dois novos polinômios com as seguintes
>> mudanças de variáveis:
>>
>> . x=1/y-i
>> . x=1/y+i
>>
>> Devemos então calcular as somas dos inversos das raizes nesses dois
>> polinômios para termos como calcular o somatório que queremos.
>>
>> Em dom, 25 de out de 2020 às 09:36, Professor Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>> Alguém tem uma saída interessante para esse problema?
>>>
>>> Sejam r1, r2, ..., r20 as raízes do polinômio p(x) = x^20 - 7x^3 + 1. Se
>>> o somatório de 1/[(rk)^2 + 1], com k variando de 1 a 20, é da forma m/n,
>>> com m e n inteiros positivos e primos entre si, calcule m + n.
>>>
>>> Espero ter escrito de forma clara o enunciado :)
>>>
>>> Muito obrigado!
>>>
>>
Re: [obm-l] Lista/ Livros Geometria IMO/OBM
Euclides - Os elementos de Geometria - Ed UnespEm domingo, 25 de outubro de 2020 13:48:59 BRT, RF escreveu: Bom dia!! 1- Quais os livros de Geometria indicados para preparacao para OBM e IMO? 2- Alguem tem listas de Geometria preparatoria para OBM ou IMO? Obrigado a todos = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio
Sendo i a unidade imaginária:
1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)-1/(r_k+i) (k=[1,n], onde r_k <> {-i,i}).
i) Seja z_k = 1/(r_k-i) e fazendo z=1/(r-i) em r^20-7r^3+1=0:
(1/z+i)^20-7(1/z+i)^3+1=0 => (1+iz)^20-7z^17(1+iz)^3+z^20=0 => (7i+2)z^20 +
(-20i+21)z^19 +...=0.
Portanto Soma_(k=[1,n]) 1/(r_k-i) = Soma_(k=[1,n]) z_k = -
(-20i+21)/(7i+2) (I).
ii) Seja y_k = 1/(r_k+i) e fazendo y=1/(r-i) em r^20-7r^3+1=0:
(1/y-i)^20-7(1/y-i)^3+1=0 => (1-iy)^20-7y^17(1-iy)^3+y^20=0 => (-7i+2)y^20
+ (20i+21)y^19 +...=0.
Portanto Soma_(k=[1,n]) 1/(r_k+i) = Soma_(k=[1,n]) y_k = -
(20i+21)/(-7i+2) (II).
Usando (I) e (II):
Soma_(k=[1,n]) 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(-(-20i+21)/(7i+2)
-(-(20i+21)/(-7i+2))) = 1/(2i)*1/(-49)*(-80i-294i) = 187/49.
Em dom., 25 de out. de 2020 às 10:25, Marcos Martinelli <
mffmartine...@gmail.com> escreveu:
> Sendo i o complexo imaginário:
>
> 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)+1/(r_k+i)
>
> Depois você deve considerar dois novos polinômios com as seguintes
> mudanças de variáveis:
>
> . x=1/y-i
> . x=1/y+i
>
> Devemos então calcular as somas dos inversos das raizes nesses dois
> polinômios para termos como calcular o somatório que queremos.
>
> Em dom, 25 de out de 2020 às 09:36, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Alguém tem uma saída interessante para esse problema?
>>
>> Sejam r1, r2, ..., r20 as raízes do polinômio p(x) = x^20 - 7x^3 + 1. Se
>> o somatório de 1/[(rk)^2 + 1], com k variando de 1 a 20, é da forma m/n,
>> com m e n inteiros positivos e primos entre si, calcule m + n.
>>
>> Espero ter escrito de forma clara o enunciado :)
>>
>> Muito obrigado!
>>
>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
De nada mano. Em seg, 26 de out de 2020 09:40, joao pedro b menezes < joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora. > > Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo < > otavio17.ara...@gmail.com> escreveu: > >> Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1. Se n=1 acabou. Se n>1,Já >> que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não >> podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1> Portanto p divide n^2+n+1. Faca n^2+n+1 = kp, k inteiro positivo. Temos que >> kp=n^2+n+1 é congruente a 1 módulo n. Do enunciado temos p congruente a 1 >> módulo n, mas p é congruente a 1 módulo n e é diferente de 1(pois é primo) >> -> p>= n+1 e k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1, >> k>1 implica k>= n+1 daí kp>=(n+1)^2 > n^2+n+1, contradição. Portanto >> k=1 e p=n^2+n+1. >> >> Em dom, 25 de out de 2020 17:37, joao pedro b menezes < >> joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, boa tarde. >>> Estou com dúvida nesse exercício: >>> " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que >>> n divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado >>> perfeito." >>> Já agradeço pela ajuda e pelo tempo! >>> >>>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora. Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo escreveu: > Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1. Se n=1 acabou. Se n>1,Já > que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não > podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1 Portanto p divide n^2+n+1. Faca n^2+n+1 = kp, k inteiro positivo. Temos que > kp=n^2+n+1 é congruente a 1 módulo n. Do enunciado temos p congruente a 1 > módulo n, mas p é congruente a 1 módulo n e é diferente de 1(pois é primo) > -> p>= n+1 e k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1, > k>1 implica k>= n+1 daí kp>=(n+1)^2 > n^2+n+1, contradição. Portanto k=1 > e p=n^2+n+1. > > Em dom, 25 de out de 2020 17:37, joao pedro b menezes < > joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, boa tarde. >> Estou com dúvida nesse exercício: >> " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n >> divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado perfeito." >> Já agradeço pela ajuda e pelo tempo! >> >>
