Em qua., 28 de out. de 2020 às 08:03, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
> Achei essa prova bem imaginativa.
>
Eu acho que provar que log(n)/n tende a 0 quando n tende a infinito é
conceitualmente mais interessante.
Ou que e^n/n tende a infinito.
>
> Para n>= 2, temos n^(1/n) > 1. n^(1/n) pode ser escrito como
>
> n^(1/n) = ((raiz(n) . raiz(n) . 1 .... 1)^(1/n)
>
> onde o 1 aparece n - 2 vezes. Logo, n^(1/n) é a média geométrica dos
> números {raiz(n), raiz(n), 1, . .1}.
>
> Pela desigualdade MA >= MG temos, para n>= 2, que
>
> 1 < n^(1/n) < (raiz(n) + raiz(n) + 1.... +1)/n= (2 raiz(n) + (n - 2))/n
>
> 1 < n^(1/n) < 2/raiz(n) + 1 - 2/n
>
> Como na desigualdade acima o membro da direita tende a 1 quando n vai para
> oo, segue-se por confronto que
>
> lim n ---> oo n^(1/n) = 1
>
> Artur
>
