Legal esse raciocínio, simplifica bastante. Na prova não consegui explicar bem a minha solução por falta de tempo, mas fiz algo mais ou menos assim: Se no tempo T+1 o ponteiro estiver em uma coroa e a moeda antes do ponteiro for cara, no tempo T o ponteiro estava em uma cara e a moeda seguinte era coroa (determinado). Se no T+1 o ponteiro está numa coroa e a moeda anterior é também coroa, no T o ponteiro estava em coroa e a seguinte era cara (determinado). Assim, as posições em que o ponteiro está numa coroa são reversíveis. Basta provar que alguma posição com ponteiro em coroa se repete. Suponha, por absurdo, que não, e seja S' a primeira posição repetida referente a uma configuração S, que tem ponteiro em cara. Por hipótese, as posições após S' só podem ter o ponteiro em caras, pois as posições seguintes a S' são equivalentes às seguintes a S e então são repetições, não podendo ter ponteiro em coroa. Porém, isso equivale a dizer vai chegar um momento em que todas as moedas serão caras, já que quando o ponteiro está em cara as moedas se preservam como estão e o ponteiro a partir de um ponto sempre está em caras. Absurdo pelo item c da questão, o que finaliza o raciocínio. *Matheus BL*
On Tue, Nov 9, 2021 at 6:46 PM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com> wrote: > Oi, Matheus. > > Concordo, olhando apenas as moedas sob o ponteiro, não dá para reverter > mas olhando as vizinhas, ou seja olhando TODO o sistema, TODAS AS MOEDAS a > todo o tempo, dá sim! > > Mais exatamente, posso denotar o estado do sistema assim: > > ABC(D*)EFGHIJ > > onde cada A, B, C, ... assumem o valor "Cara=0" ou "Coroa=1", e o * marca > onde o ponteiro aponta nesse momento. Ou seja, nesta notação começaria com: > > Tempo 0: (1*)111111111 > Tempo 1: 1(1*)01111111 > Tempo 2: 11(0*)1111111 > Tempo 3: 110(1*)011111 > Tempo 4: 1101(0*)11111 > Tempo 5: 11010(1*)0111 > ... > > Pois bem, se no tempo (n+1) for, digamos > ABC(D*)EFGHIJ > entao no tempo n tinha que ser... > AB(C*)DXFGHIJ > onde a unica moeda que eu tenho que descobrir eh X (as outras não mudam de > n para n+1). Mas eu descubro X olhando para **D e E juntas** (nao apenas > uma delas)! > > Abraço, Ralph. > > > > On Tue, Nov 9, 2021 at 3:24 PM Matheus Bezerra Luna < > matheusbezerr...@gmail.com> wrote: > >> Não é completamente reversível não, vai ter que usar o item C para >> concluir o D. Se num tempo T o ponteiro está em uma cara, no tempo T-1 ele >> poderia estar tanto numa cara (pois então nesse tempo não aconteceu nada e >> a moeda seguinte permanceu cara) ou então coroa (o ponteiro em uma coroa >> sendo a moeda seguinte também coroa) >> >> On Tue, Nov 9, 2021, 13:47 Pedro Júnior <pedromatematic...@gmail.com> >> wrote: >> >>> Obrigado, Ralph! >>> >>> Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira < >>> ralp...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e >>>> ver o que acontece. >>>> >>>> Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de >>>> movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o >>>> tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. >>>> >>>> Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu >>>> afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: >>>> -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, >>>> e a tal coroa continua ali; >>>> -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai >>>> ficar presente no tempo (n+1). >>>> Portanto, sempre teremos coroas. >>>> (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de >>>> "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que >>>> apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, >>>> impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) >>>> >>>> Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações >>>> possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note >>>> que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo >>>> avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que >>>> repetir. >>>> Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai >>>> perceber que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você >>>> descrever exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como >>>> ficou o sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no >>>> tempo (n), revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o >>>> sistema tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os >>>> movimentos, concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; >>>> ou seja, no tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro >>>> apontando para A! Bônus!) >>>> >>>> Abraço, Ralph. >>>> >>>> On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior < >>>> pedromatematic...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP >>>>> 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! >>>>> >>>>> 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas >>>>> com a face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro >>>>> que inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, >>>>> girando >>>>> no sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há >>>>> duas opções: >>>>> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >>>>> face coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. >>>>> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >>>>> face cara virada para cima, nada acontece. >>>>> >>>>> Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em >>>>> B, e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. >>>>> >>>>> Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? >>>>> >>>>> Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa >>>>> virada para cima? >>>>> >>>>> Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, >>>>> todas as moedas fiquem com a face cara para cima. >>>>> >>>>> Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as >>>>> moedas voltarão a ficar com a face coroa para cima. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> >>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >>> >>> Professor de Matemática >>> >>> Geo João Pessoa – PB >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
