Boa noite!
Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação.
O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas
soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como
chamam lá fora.
Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito.
Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1
b>=raiz(k)
Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade,
considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem
consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.
Então para cada k=w^2 com w>1
Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções.
Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai,
w^2).
Consigo provar que todos termos da sequência são soluções.
Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou
(b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2.
Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar
que k é um QP, sem no entanto achar todas as soluçõesCordialmente, PJMS Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Dá um Google em "IMO 88". > Vai ter até vídeo com a solução deste problema. > > On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > >> Boa tarde! >> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar >> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: >> >> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa >> restrição para retirar as soluções triviais. >> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela >> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. >> O problema era provar que k era um quadrado perfeito. >> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do >> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. >> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para >> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter >> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no >> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. >> >> Agradeço quem puder me orientar. >> >> Cordialmente, >> PJMS >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
