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From: Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED]
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Sent: Saturday, April 06, 2002 1:44 PM
Subject: Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...
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On Sunday 07 April 2002 00:03, you wrote:
Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas
demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu
possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para
exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma
falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações
que
fazemos, sempre aparecem.
1)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é
divísível por 133.
(== quer dizer congruente)
11^(n+2)+12^(2n+1) == 11^2*11^n + (12^2)^n*12 == 121*11^n + 12*144^n ==
- -12*11^n + 12*11^n == 0(mod 133)
2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por
7.
A solução rápida é usar o pequeno teorema de Fermat (n^7 == n (mod 7),
logo
7|n^7-n). Você pode analisar cada uma das classes de congruência módulo 7
separadamente ou provar o pequeno teorema de Fermat como um lema.
3) 1^3+2^3++n^3=(1+2++n)^2, para todo n pertencente a N*.
Lema: 1+2+...+n = n*(n+1)/2
Prova: Para n=1, 1 = 1*2/2. Suponha que a afirmação é válida para n.
Então:
1 +2 + ... + n = n*(n+1)/2 = 1 + 2 + ... + n + [n+1] = n*(n+1)/2 + [n+1]
=
(n+2)*(n+1)/2 = [n+1]*([n+1] + 1)/2. Por indução, o lema é verdadeiro.
Para n=1, 1^3 = 1^2. Suponha que a propriedade é válida para n. Então
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2*(n+1)^2/4 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3
=
n^2*(n+1)^2/4 + (n+1)^3 = (n+1)^2*(n^2 + 4(n+1))/4 = (n+1)^2*(n^2 + 4n +
4)/4
= (n+1)^2*(n+2)^2/4 = [n+1]^2*([n+1]+1)^2/4. Por indução, a afirmação é
verdadeira.
[]s,
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Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED], ICQ 31136103, GPG key ID
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
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