Algum poderia me indicar um livro que contenha
algo sobre inverses ( geometria ), mas que no trate o assunto
com variveis complexas ??
Desde j, agradeo.
Villard!
f(x) = (1-a^2)*x^2 + (6-2ab)*x +(b^2+9)
Como f(x) reta, o coeficiente em x^2 nulo : a = +-1, mas como a0, temos
que a= -1.
Logo, f(x) = (6+3b)x + (b^2+9).
Como (-2,1) est na reta, temos : 1 = (6+3b)*(-2) + b^2 + 9, logo, temos :
b^2 -6b +4 = 0 b = 3 +- sqrt(5).
Abraos,
Villard !
Note q x^4 + 324 = x^4 + 18^2 = (x +
18)^2 - (6x)^2 = (x^+6x+18)*(x^2-6x+18)
Facilita
bastante...
Abraos,
Villard !
-Mensagem original-De:
Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Segunda-feira, 2 de Abril de 2001
Algum sabe me informar se a UFRJ est
cadastrada para a OBM Universitria ?? Se no estiver,
como eu fao pra participar ??
Obrigado,
Villard!
Resposta para o 2)
C(n;4), ou seja, combinao de n,
4 a 4.
Justificativa: Para cada 4
vrtices do polgono, temos um quadriltero e o ponto de
encontro das diagonais desse quadriltero um ponto de
interseo de diagonais do polgono. Logo, o mximo
ocorre quando todos os pontos gerados por cada
1) 2^n + 1 = 0 mod3 implica 2^n = -1mod3, logo (-1)^n = -1mod3,
ento n mpar.
2) x^2 + 3x + 2 = (x+1)*(x+2). Note q esse nmero sempre
par, pois produto de dois consecutivos. Logo, basta achar os x, para os
quais E = (x+1)*(x+2) mltiplo de 3. Para isso, calcule quantos
so os x, para os
Alow !P, acho que poderia ter sido feito um raciocnio
mais simples :
(2k+1)^2 - (2c+1)^2 = E
Logo E = 4[(k(k-1) -
c(c-1)]
Para provar a divisibilidade por 8, basta provar que o que est
entre colchetes par. Mas isso fica claro, pois um
diferena de pares, porque k(k-1) um produto de
Eu coloquei esse somatrio no Maple e ele me deu uma resposta q eu no
consegui entender... com uns smbolos que eu no conheo.
Mesmo sem saber ainda como resolv-lo, vou fazer um comentrio :
Sabemos que lim(1+1/n)^n = e, para n-+ oo
Logo, para qualquer n, temos que (1+1/n)^n e, logo ln(1+1/n) 1/n,
Não tem como mandar o problema pra lista não ??
Villard !
-Mensagem original-
De: Via Lux [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 13:32
Assunto: Problema da ltima raiz!
Olah a todos!
Peco aos integrantes desta lista para
Note que provar isso o mesmo que provar que E = (k^5 - k)/10 sempre
inteiro, correto ??
E = k(k^2+1)(k+1)(k-1)/10
E = (k-1)k(k+1)(k^2+1)/10
Como os possveis restos na diviso por 5 so -2,-1,0,1 e 2, podemos dividir
nos seguintes casos :
(i) k = -1, 0 ou 1 mod5
Como (k-1), k e (k+1) so divisores
Como eu fao pra provar que
qualquer natural maior que 11 pode ser escrito como a soma de dois
nmeros compostos ??
Villard
!
Repare que log(a)X = 1/log(X)a.
Da, temos uma desigualdade do
tipo : (a#b#c)*(1/a#1/b#1/c) =
9
Veja que, como a
mdia aritmtica maior ou igual mdia
harmnica, temos :
( a # b # c )/3 = 3/( 1/a # 1/b # 1/c )... e
basta dar uma ajeitadinha que chegamos em ( a # b # c ) ( 1/a
Faa f(x) = 2000. Da,
temos :
2000 = 2/[2 + 15*4^(-2x)], e ento 15*2^(-4x) = 8. Da,
tire log dos dois lados... log [ 15*2^(-4x) ] = log8 log15 - 4x*log2 =
3*log2.
... log15 = log3 + log5 = log3 +
1 - log2. Da, temos :
log 3 + 1 - log2 - 4x*log2 =
3*log2. 1,18 - 1,2x =
Há uma solução usando triângulos equiláteros no entanto parece meio
artificial. Dou uma sugestão : Inscreva o triângulo AMB em uma
circunferência e tire suas conclusões.
Abraços,
¡Villard!
-Mensagem original-
De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL
Acho q vc se equivocou Seja E= 1 # 1/2 # 1/4 # ...
Há infinitos termos, mas no entanto sabemos que E = 2.
Abraços,
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: Fabio Longo [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 13 de Dezembro de 2000 17:27
Primeia parte : Qual o limite de
somatrio de 1/F(n) com n variando de 1 at G , onde F(n)
o n-simo da sequncia de Fibonacci, com G tendendo a infinito
??
Segunda parte : Se o limite no for infinito, e
igual a H, calcular a parte inteira de 50H.
Abraos,
Villard
!
a equaçao em y
ter uma unica raiz.
Veja, se a equaçao em y tiver uma raiz positiva e uma negativa, a
equaçao em x tera uma unica raiz real.
Na verdade o problema eh determinar a para que a equaçao tenha uma unica
raiz positiva.
Rodrigo Villard Milet wrote:
Para o seu problema :
Seja 2^x = y ( y 0
Para o seu problema :
Seja 2^x = y ( y 0). Daí, y^2 - a*y + (3a-8) = 0 (I)
Delta = D.. D = a^2 - 12a + 32. Como queremos única solução, devemos
ter a = 4 ou a = 8 ( Delta = 0 ). Para isso, teremos y = a/2, o que nos dá y
= 2 e y = 4
Daí, no primeiro caso, x = 1. Do segundo, x = 2. Parece
- O que seria uma P.G. de
segunda ordem ?? a sequencia em que as razes entre os termos
consecutivos esto em P.G. ( semelhante definio
de P.A. de ordem superior ) ??
- Como resolvo o
somatrio a seguir ??
Somatrio de (k-1)/(k^2 - k + 1) , com k variando de 1 at
n
Abraos,
Dado um quadrado A1B1C1D1 escolher os pontos A2, B2, C2, D2
sobre os lados A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 respectivamente, de modo que os pares
(A2,C2) e (B2,D2) sejam simtricos em relao ao centro
do quadrado. Sabe-se que sempre Ai, Bi, Ci e Di esto sobre
A(i-1)B(i-1),
, mas houve um erro de conta no delta, que eh:
4(2-a).
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 4 de Dezembro de 2000 00:12
Assunto: Re: Ajudem-me com este polinomio.
Vemos que 1 e -1 são raízes de p(x). Daí
)
2
sqrt(10^6+1) - 2sqrt(10^6) 1/sqrt(10^6) 2sqrt(10^6) - 2sqrt(10^6
-1)
Somando tudo, temos
uma soma telescpica :
2sqrt(10^6+1) - 2 N
2sqrt(10^6) -1...
1998 N 1999
Rsposta : [N] = 1998
Abraos,
Villard !
-Mensagem
original-De: Rodrigo Villard Milet
Ol, pessoal, tenho aqui uma questo de
que gostei bastante tenho a soluao !
L vai :
Calcular a parte inteira de N = somatrio de (1/k)^(1/2) com k
variando de 1 at 10^6.
Abraos,
Villard
!
Uma vez, vi uma curiosidade no tringulo de
Pascal que me assustou bastante. o seguinte : Trace diagonais da
direita para a esquerda e de cima pra baixo ( Iguas ao do diagrama de Linus
Paulin ) no tringulo de Pascal e anote a soma dos termos de cada
diagonal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Como so duas bases, ento
temos n vrtices ao todo. Ento, temos que saber quantos pares de
vrtices temos ao todo. Para escolhermos o primeiro vrtice, temos
n possibilidades. Para o segundo, temos n-1, pois j usamos 1. Note que a
ordem no est sendo levada em conta, pois queremos segmentos
Vamos tentar uma prova por induo.
- Para n=0, temos 1/2 = Sen(X/2)/2Sen(X/2)
= 1/2, pois X diferente de 2k.pi
- Vamos tomar
como hiptese de induo, o pedido para n=j : 1/2 # cosX #
cos2X #...# cosjX = Sen[(j#1/2)X]/[2Sen(X/2)]
- Seja P(j) = 1/2 # cosX # ... #cosjX, Da,
temos que
Este é o Teorema de Wilson e com certeza já foi comentado na lista dê
uma procurada se ninguém mandar nada, eu mando a resolução.
Abraços,
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data:
Problema : Seja a equao x # 2y #
2z = n. Determinar os nicos dois valores de n, para os quais a
equao tenha 28 solues inteiras
positivas.
Primeiramente, vemos que t(1)= [n/k]. Analisemos o par t(1), t(2). Dentre
todos os valores q estes podem assumir (são considerados diferentes se os
outros t1s forem alterados), vemos q em metade desses pares t(1)=t(2). Seja
X o numero de pares t(1),t(2) possiveis. Daí, temos X/2 pares q nos
o alemo !!!
Abraos,
Villard
-Mensagem original-De:
Rodrigo Frizzo Viecilli [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Quinta-feira, 2 de Novembro de 2000 16:30Assunto: Re:
RECREIODeve ser o noruegus.
Rodrigo
josimat wrote:
Vamos fazer o seguinte :
(i) A tem um filho H e sabemos se o mais velho.
Indicamos o mais velho pela primeira letra. Espao amostral : (H,M) (M,H)
(H,H) , donde a = 1/3
(ii) B
tem filho mais velho H. Espao amostral : (H,M) (H,H), donde b =
1/2
.: ba
-Mensagem original-De:
Pô, Carlos, vamos comentar questão por questão :
- A primeira, a de geo, era trankila...
- A segunda, eu acho q ñ fiz, vi a solução, e se quiser, eu mando pra tu
comparar com a tua.
- A terceira eu tive a idéia, mas na hora de calcular um somatório lá, eu
errei nas contas. Talvez perca apenas
D uma olhada nessa
resoluo por geometria sem complexos... t sem figura, mas
d... eu j mandei uma vez essa pra lista !
Generalizao do Teorema de Napoleo :
Dado um tringulo qualquer ABC, constroem-se os tringulos
ABP, ACQ e BCR, todos semelhantes e exteriores a ABC. O tringulo formado
Nelly, como eu fao pra assistir as aulas de treinamento pra obm
a no impa ??? s ir
Villard
!
O tempo é de 2 horas ???
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 28 de Setembro de 2000 00:10
Assunto: Curvas de Perseguição
Olá a todos!
Trago uma questão que vem me assolando já há
Aí, Márcio, não entendi isso direito pô, os pares (1,1) e (1,-1) não
satisfazem ??? Não é só ter a=+-be c=+-d ???
-Mensagem original-
De: Marcio [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 26 de Setembro de 2000 16:55
Assunto: Quadrados...
Que isso, cara. no
pra ter vergonha no.. Eu t na terceira srie do ensino
mdio e ainda no sei muita coisa ou melhor, no sei
quase nada... Quando eu entrei pra lista, ficava meio que com medo de mandar
minhas dvidas e resolues pra c mas agora,
vejo que a lista serve pra isso :
Quais são os pesos para a primeira e para a segunda fase da Olímpiada aqui
do Rio de Janeiro ??? Vale 80 a segunda fase ?? Obrigado,
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 20
Esse do mesmo tipo ! P(1)=x,
P(2)=2x, P(3)=3x, P(4)=4x, P(5)=5x, P(6)=6x. Ento, temos um total de
21x. Da, P(2)=2/21, P(4)=4/21 e P(6)=6/21. Somando... P=12/21=4/7
Ser ??
Abraos,
Villard
!
-Mensagem original-De:
josimat [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED]
me desculpem no tem n onde tem
n, p ! e Ln le logaritimo neperiano
Abraos,
Villard !
-Mensagem original-De:
Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]Para:
Obm [EMAIL PROTECTED]Data:
Domingo, 10 de Setembro de 2000 20:17Assunto: Questo
Ol, pessoal, venho aqui trazer uma
questo que eu inventei enquanto rabiscava num papel aqui em casa...
o seguinte. Provar :
p + ln[(p+1)/2]
[somatrio de k^(1/k) com k de 2 at p] + 1 2n -
ln(n+1)
.
bastante interessante a
resoluo que eu dei se algum
Faça x = z + a . e y = z + b . a fim de eliminar os termos ao
quadrado !
Abraço, Villard
-Mensagem original-
De: Carlos Stein Naves de Brito [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 8 de Setembro de 2000 21:20
Assunto: Conesul
Não acreditei muito nessa sua solução não sabe por que ?? Você utilizou
um argumento, que dessa forma, valeria para qualquer segmento que dividisse
o trapézio dado em outros dois { ñão necessariamente equivalentes }. Então,
vamos ao que interessa ! { Mesmo sem contar com uma figura, o que
Alow, pessoal, por favor, me ajudem nesse
problema de geometria !!! Fui eu que inventei, sei que d pra fazer, mas
ainda no consegui...
Dado um quadrado A1B1C1D1 escolher os
pontos A2, B2, C2, D2 sobre os lados A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 respectivamente, de
modo que os pares (A2,C2) e (B2,D2)
que é um fenômeno, por favor !! Por que você ressaltou o n=18 ???
Aguardo uma resposta...
Abraços,
¡Villard !
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 3 de Setembro de 2000 23:40
Assunto: Re: pontos de
E a pessoal ??? P, j sei que o
Nicolau no quer que comente as questes ento, queria
apenas saber como vocs foram. Eu, particularmente, achei a prova bem
relax... Fiz tudo certinho, mas dei um mole na 4. E vcs ??? Aguardo respostas
sem comentrios sobre a prova !!
Abraos,
Villard
!
Pô, falei besteira sobre a segunda parte eskeçam akilo da simetria !!
akilo é só para o centro !!
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 3 de Setembro de 2000 21:44
Assunto: Re: pontos de
isso a !!! Eu tambm acho que deveria
haver listas para os nveis de primeiro grau. Eu, por exemplo, que estou
agora na terceira serie do segundo grau, s fui saber da lista da OBM
neste ano mas se j a conhecesse h muito tempo, no
poderia frequent-la. Sugiro que algum tome a iniciativa
Alow, esse problema caiu na prova do ime desse ano, como todos já devem
saber lá vai :
Seja P(x) o polinômio gerado após tirar eliminar os denominadores:
3x^2 - 2(a+b+c)x + ab + bc + ac = P(X). anlisando o delta da equação,
vemos que é sempre positico, facilmente, o que garante que há 2
Alow pessoal, por favor, me ajudem numa
dvida. Vi um problema outro dia assim : Determinar o centro de simetria
de um trapzio de bases b e B e altura H
Mas esse trapzio no est
definido... tem como o centro de simetria ser fixo ??? Eu acho que no.
Mas conto com a opinio de vocs...
Alow, pessoal, por favor, me ajudem nesse
problema de geometria !!! Fui eu que inventei, sei que d pra fazer, mas
ainda no consegui...
Dado um quadrado A1B1C1D1 escolher os
pontos A2, B2, C2, D2 sobre os lados A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 respectivamente, de
modo que os pares (A2,C2) e (B2,D2)
Aí, Márcio, quanto ao erro tipográfico, tenho certeza que está errado
mesmo... eu até fiz uma solução bem simples dá uma olhada :
Como os Ai formam um pentágono regular, cada corda tem angulo central
72.então, traçando o apótema relativo a um lado, vemos que podemos dizer que
o lado mede
Eu tava rabiscando num papel, e tive uma
idia para um problema: Dados trs circunferncias ( de
centros O1, O2 e O3) secantes num mesmo ponto ( ponto D ). Ser que o
ponto D algum ponto notvel do tringulo O1O2O3 ???
No creio que seja, mas h chances... Eu sei que quando os raios
so iguais, o
Ser que algum podia me ajudar nesse problema
???
Verificar se existe primo p tal que p(n+1)! e
(2n)!/(n-1)! = (n+1)! mod p
*a igualdade deve ser lida como congruncia...(
claro !)
Villard
!
P, esqueci de falar algumas coisas... n
natural 1... e, particularmente, acho que no existe este
primo para nenhum n mas, no entanto, conto com a ajuda de
vocs...
Valeu pela ateno
!!! Villard !
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