[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em lógica II
Pelo princípio da casa dos pombos, resposta letra D. São 5 os dias da semana em q os funcionários podem ter começado a trabalhar (segunda, terça, quarta, quinta e sexta). Para entender melhor, tente distribuir os 11 funcionários em 5 dias sendo q cada um dos dias tenha 2 ou menos funcionários. É impossível não? Serão necessários 3 ou mais funcionários em pelo menos um dia da semana. O princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas, e se n m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo A outra questão creio q tbm seja D, mas para resolver tive q usar exemplos. Espero q os colegas consigam uma soluão mais generalizada, ou seja, em matematiquês : ) Abs, Bárbara Nedel. - Original Message - From: Cristóvão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, January 05, 2008 12:00 PM Subject: [obm-l] Ajuda em lógica II Amigos, embora já tenha visto alguma resposta para a questão abaixo, ainda não consegui compreendê-la na essência. Alguém me ajudaria? Em uma repartição que funciona de segunda a sexta-feira , 11 novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados, é necessariamente verdade que: (A) todos fazem aniversário em meses diferentes; (B) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês; (C) ao menos dois começam a trabalhar no mesmo dia do mês; (D) ao menos três começam a trabalhar no mesmo dia da semana; (E) algum começou a trabalhar em uma segunda-feira. []'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em lógica
Muito boa prova! - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, January 05, 2008 2:16 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda em lógica Olá Cristóvão, primeiro, vamos fazer de um jeito mais simples... vc não sabe quantos livros tinham inicialmente nas prateleiras... vamos dizer que... 25... então, após a etapa 2, todos os livros estão na prateleira E. após a etapa 3, tudo pode acontecer (rsrs).. pode inclusive acontecer de trocar: os livros de literatura brasileira ficarem em E, e os livros de literatura estrangeira ficarem em B... assim, as letras A, B, C, E são absurdas... pois estão comparando esses valores (que podem ser quaisquer). assim, a resposta seria letra D.[não se fui claro na explicação acima... espero que sim] agora, vamos provar isso: vamos chamar os livros de literatura brasileira de bolinhas vermelhas, e os de literatura estrangeira de bolinhas azuis... #vB = numero de bolinhas vermelhas em B #aB = numero de bolinhas azuis em B #vE = ... #aE = ... inicialmente, temos: #vB = X, #aB = 0, #vE = 0, #aE = X após o passo 2, temos: #vB = X - 25, #aB = 0, #vE = 25, #aE = X para o passo 3, vamos dizer que pegamos k bolinhas vermelhas, entao: #vB = X - 25 + k, #aB = 25 - k, #vE = 25 - k, #aE = X - 25 + k veja que #vB = #aE, e que, #aB = #vE portanto, a letra D realmente é a correta. abraços, Salhab On Jan 5, 2008 11:46 AM, Cristóvão [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Gostaria de ajuda no entendimento desta questão: Em uma estante, a prateleira B é reservada para os livros de literatura brasileira, e a prateleira E para os livros de literatura estrangeira. Sabe-se que: 1 - ambas as prateleiras têm, de início, o mesmo número de livros; 2 - retiram-se 25 livros da prateleira B colocando-os na prateleira E; 3 - após a etapa anterior, retiram-se 25 livros, ao acaso, da prateleira E, colocando-os na prateleira B. Após a etapa 3, é correto afirmar que o número de livros de literatura brasileira em (A) B é o dobro que em E (B) B é menor que em E (C) B é igual ao de E (D) E é igual ao de literatura estrangeira em B (E) E é a terça parte que em B []'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Porcentagem
O pessoal da lista que me corrija se estiver errada. Aline, também não consegui resolver a questão 1, espero a solução dos colegas. Mas aí vai a 2: Se d é o número de litros de leite desnatado e i o número de litros de leite integral, então: Relativo à gordura - 0,02d + 0,05i = 0,18 (0,18 é 3% de 6 litros - usando regra de 3) Relativo ao total de leite - d + i = 6 Resolvendo o sistema temos que: Da 1ª equação - 5i = 18 - 2d Da 2ª equação - 5i = 30 - 5i E 18 - 2d = 30 - 5i - 3d = 12 - d=4 Portanto, letra E, o número de litros de leite desnatado é 4. Também era possível fazer a equação relativa a parte do leite que não tem gordura que seria d - 0,02d + i - 0,05i = 6, mas dá na mesma. Acho que é isso. Abraçoos. - Original Message - From: Aline To: obm-l Sent: Wednesday, November 07, 2007 5:57 PM Subject: [obm-l] Porcentagem Outras duas questões que estou com dúvidas são: Se, ao diminuirmos o preço de certo produto de p% e, em seguida, aumentarmos o novo preço do produto em q%, o preço volta a ser igual ao de antes da diminuição, qual é o valor de 1/p - 1/q? A) 100 B) 1/100 C) 10 D) 1/10 E) 1 Quantos litros de leite desnatado, com 2% de gordura, devem ser misturados com leite integral, com 5% de gordura, para se obter 6 litros de leite com 3% de gordura? A) 3,2 litros B) 3,4 litros C) 3,6 litros D) 3,8 litros E) 4 litros Fico agradecida.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
É, tem razão. Deixei passar tal argumento.. Entendi agora. Obrigada. Abraçosss.. - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 29, 2007 8:20 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM Bárbara, Lembra do meu ponto 1? Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. Provar o ponto 1 é trivial, já que precisamos de um valor congruente a w-(z+y+x) mod 10 e não há dois termos dos possíveis membros da sequência (0 a 9) que têm o mesmo valor mod 10. Mesmo se você não entender de aritmética modular, o ponto 1 é muito intuitivo. Pegue alguns grupos (x, y, z, w) quaisquer e veja se você consegue achar dois termos que podem vir antes desses. Você vai logo se cansar, já que não tem jeito :) (não continue até entender o que eu disse até agora) Logo a sequência (i, j, k, l) não pode vir depois de um h e depois de um l ao mesmo tempo (claro, se considerarmos que h é diferente de l). Concluímos que a situação proposta é impossível. Note que para rejeitar um ciclo de período indefinido, precisamos do ponto 2. Como cada grupo (c, d, e, f) só tem um termo que pode antecedê-lo (chamaremos de b), o grupo (b, c, d, e) também só tem um termo que pode antecedê-lo (um termo a qualquer). Logo, cada termo só pode vir de uma sequência definida (por exemplo, os números 1, 1, 1, 3 só podem vir depois de 0, 8, 9, 2, 9, 0, etc.) Fernando Oliveira On 10/29/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe a ignorância, mas porque não podemos pensar que o ciclo seja com um período parcial? Assim: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,. Acho que sua solução está certa, só faltou provar que não dá certo para esse caso, concorda? Mesmo assim, você, o Nicolau e todos os grandes alunos e mestres desta lista tem me ensinado muito! Obrigada mesmo! - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 29, 2007 11:28 AM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Salhab e Bárbara, 1) Vamos andar para trás. Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. 2) Continuando o processo de 1) temos que todo grupo só pode ser obtido através de uma sequência definida. 3) Um grupo deve se repetir, pois o número de grupos possíveis é finito. 4) Como na primeira vez que esse grupo apareceu (1, 2, 3, 4) fazia parte da sequência, deve fazer na segunda vez também, já que a sequência é única. Fernando Oliveira
[obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
Oi Shine! Achei realmente muito interessante a sua solução para o problema das pilhas! No entanto, não entendi, assim como o Salhab, como 1,2,3,4 vai aparecer de novo! Henrique, meu nome é Bárbara sim. Só que eu tive que colocar um apelido no e-mail, pois o meu original havia sido clonado ou sei lá o quê! hehe.. Bjos - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, October 28, 2007 10:25 PM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Olá Shine, gostei mto da sua resposta... mas nao entendi como vc provou que 1,2,3,4 vai aparecer novamente... abracos, Salhab On 10/27/07, Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, O problema 3 tem uma solução bem bonita (não é minha, eu vi não me lembro onde): imagine que há 100*101/2 = 5050 cordas, cada uma amarrando cada par de pedras. Então, para Esmeralda separar uma pilha de a+b pedras em uma pilha de a pedras e outra de b pedras, ela deve cortar ab cordas! Como no final devemos ter pedras soltas, devemos cortar todas as cordas, de modo que a soma pedida é igual à quantidade de cordas, que é 5050. No problema 2, item a, suponha por absurdo que apareçam 2,0,0,4 nessa ordem. Então, voltando a seqüência obtemos 2,2,0,0,4; 6,2,2,0,0,4... e só obtemos números pares, absurdo, pois começamos com 1,2,3,4. O item b é mais interessante: a seqüência é periódica (assim como qualquer recursão linear homogênea). Para ver isso, use casa dos pombos: considere todas as 10^4 quádruplas (a,b,c,d) de algarismos. Agora pense nas quádruplas (x,y,z,w) de quatro termos consecutivos da seqüência dada. Após pelo menos 10^4 + 1 termos, alguma quádrupla (x,y,z,w) vai se repetir, e a seqüência vai ciclar a partir daí. Infelizmente, (x,y,z,w) não é necessariamente (1,2,3,4). O que fazer então? Considere o começo da seqüência mais uma quantidade grande de ciclos (o suficiente para que seja o dobro do tamanho do começo da seqüência sem ciclos). Se você voltar a seqüência (assim como no item a) de dois pontos diferentes, o fim do primeiro ciclo e o fim do pedaço considerado da seqüência, vai obter os mesmos dígitos. Entre eles, vai aparecer 1,2,3,4 no começo se voltar do primeiro ponto e a mesma coisa, 1,2,3,4, se voltar do segundo ponto. Assim, 1,2,3,4 aparece de novo na seqüência. []'s Shine --- Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Barola, ainda estou tentando resolver.. mas não consegui... achei a questão MUITO interessante... e espero que o item B seja falso.. é um indicio de que a sequencia nao eh periodica.. resta sabermos se ela nao fica periodica apos um tempo... por exemplo: aparecendo um segundo 9, 4, 8, 7.. entende? entao, poderiamos utiliza-la, por exemplo, para a geracao de numeros aleatorios... uma outra questao interessante é: qual a distribuicao de probabilidades dessa sequencia? como a sequencia esta limitada entre 0 e 9, se contarmos qtos 0 aparecerem... dps qtos 1 aparecem.. e assim por diante... e fizermos n-inf, essas quantidades seriam iguais?! estou tentando.. se eu conseguir mando alguma coisa.. mas estou realmente sem ideias... junto contigo, fico no aguardo da solucao de alguem da lista! abraços, Salhab On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi gente! Alguém pode resolver estas? São da 3ª fase da OBM, mas pelo visto o site não disponibiliza o gabarito. *PROBLEMA 2* A seqüência de algarismos 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, … é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual ao último algarismo da soma dos quatro anteriores. a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência? b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem novamente na seqüência? *PROBLEMA 3* Esmeralda tem uma pilha com 100 pedras. Ela divide essa pilha em duas novas pilhas e em seguida multiplica as quantidades de pedras nessas duas novas pilhas e escreve o produto em um quadro. Ela então escolhe uma pilha com mais de uma pedra e repete esse procedimento: a pilha é dividida em duas, as quantidades de pedras nessas duas pilhas são multiplicadas e o produto escrito no quadro. Esta operação é realizada até se obter apenas pilhas com 1 pedra cada. Quais são os possíveis valores da soma de todos os produtos escritos no quadro
[obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
Desculpe a ignorância, mas porque não podemos pensar que o ciclo seja com um período parcial? Assim: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,. Acho que sua solução está certa, só faltou provar que não dá certo para esse caso, concorda? Mesmo assim, você, o Nicolau e todos os grandes alunos e mestres desta lista tem me ensinado muito! Obrigada mesmo! - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 29, 2007 11:28 AM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Salhab e Bárbara, 1) Vamos andar para trás. Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. 2) Continuando o processo de 1) temos que todo grupo só pode ser obtido através de uma sequência definida. 3) Um grupo deve se repetir, pois o número de grupos possíveis é finito. 4) Como na primeira vez que esse grupo apareceu (1, 2, 3, 4) fazia parte da sequência, deve fazer na segunda vez também, já que a sequência é única. Fernando Oliveira
[obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
Valeu pela dica! - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 26, 2007 10:49 PM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Seria uma boa idéia procurar nas revistas Eureka, se os problemas são relativamente recentes, pois lá é onde o gabarito da 3ª fase é normalmente disponibilizado.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles
Obrigada! No entanto, estou cursando a 8ª série e ainda não havia aprendido a respeito. Abraços. - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, October 25, 2007 1:50 AM Subject: Re: [obm-l] Triângulo Isósceles Olá Barola, 1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 cos(x) ... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x)) assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ] 2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2) note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) - sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2) entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)] portanto: p = 2y*sen(x/2) abraços, Salhab On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Prezados Colegas! Gostaria de pedir-lhes: Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe alguma forma de calcular quanto medem AC=AB? Desde já, agradeço. Bárbara Nedel.
[obm-l] Triângulo Isósceles
Prezados Colegas! Gostaria de pedir-lhes: Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe alguma forma de calcular quanto medem AC=AB? Desde já, agradeço. Bárbara Nedel.
[obm-l] Questões da OBM
Oi gente! Alguém pode resolver estas? São da 3ª fase da OBM, mas pelo visto o site não disponibiliza o gabarito. PROBLEMA 2 A seqüência de algarismos 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, . é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual ao último algarismo da soma dos quatro anteriores. a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência? b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem novamente na seqüência? PROBLEMA 3 Esmeralda tem uma pilha com 100 pedras. Ela divide essa pilha em duas novas pilhas e em seguida multiplica as quantidades de pedras nessas duas novas pilhas e escreve o produto em um quadro. Ela então escolhe uma pilha com mais de uma pedra e repete esse procedimento: a pilha é dividida em duas, as quantidades de pedras nessas duas pilhas são multiplicadas e o produto escrito no quadro. Esta operação é realizada até se obter apenas pilhas com 1 pedra cada. Quais são os possíveis valores da soma de todos os produtos escritos no quadro?Desde já, agradeço.Bárbaral Nedel.
[obm-l] Olimpiada Regional Unochapecó
Olá! Alguém participou da Olimpíada Regional de Matemática de Unochapecó no nível 2? Queria discutir questões. Abraços, Bárbara Nedel.
[obm-l] Número de divisores
Oi gente! Entrei na lista recentemente e queria saber, Existe alguma fórmula para calcular o número de divisores de um número? De 2004, por exemplo.. Agradeço desde já. Abraços.
[obm-l] Questão Idade
Pessoal, que resposta vocês dariam para o seguinte problema: Eu e meu irmão caçula temos idades entre 10 e 20 anos e hoje nossas idades são expressas ambas por números primos, fato que se repetirá pela próxima vez daqui há 18 anos. Determine minha idade sabendo que a idade de nosso irmão mais velho, que, hoje, também é um número primo, é uma unidade maior do que a soma das nossas idades. Olha só, essa é uma questão de uma olimpíada regional de anos atrás. O site não dispõe de solução. 1º Achei que a resposta poderia ser 19, no caso do irmão do meio ter 19 anos e o caçula 11. 2º E também achei que a resposta poderia ser 11, no caso do irmão do meio ter 11 e o caçula 11 (suponha que o do meio nasceu em 1º de janeiro. 1 mês depois, a mãe engravidou de novo, do caçula, que nasceu 9 meses depois, portanto, 1º de novembro. Portanto, nesse mesmo ano, nasceram dois filhos, que, tem a mesma idade - 0. Assim, de 2 de novembro a 31 dezembro os dois filhos - caçula e do meio - sempre teriam a mesma idade). Concordam comigo que a questão foi mal formulada? Desde já agradeço. Abraços.
[obm-l] Re: [obm-l] Número de divisores
Muito obrigada.. Realmente me ajudou. Bárbara Nedel. - Original Message - From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, September 27, 2007 2:16 PM Subject: Re: [obm-l] Número de divisores On 9/27/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Existe alguma fórmula para calcular o número de divisores de um número? De 2004, por exemplo.. Se existir uma fórmula fechada que fornece o número de divisores de um inteiro positivo ela deve ser bem trabalhada em teoria dos números. Geralmente escreve-se o número dado como um produto das potências de seus fatores primos e calcula-se o número de divisores como o produto de cada expoente dos fatores primos somados à unidade. Por exemplo, o número 2004: 2004 | 2 1002 | 2 501 | 3 167 | 167 1 2004 = 2^2 * 3^1 * 167^1 Assim 2004 tem (2+1)*(1+1)*(1+1) = 3*2*2 = 12 divisores. d(2004) = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002, 2004 Geralmente, se a representação de um número N em fatores primos é N = (p1^e1)*(p2^e2)*...*(pn^en) então cada expoente dos fatores primos pode assumir os valores de 0 a ei, i = 1, 2, ..., n gerando um divisor de N. O número total é (e1+1)*(e2+1)*...*(en+1) Por exemplo: 3 = 2^0 * 3^1 * 167^0 12 = 2^2 * 3^1 * 167^0 668 = 2^2 * 3^0 * 167^1 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número de divisores
Valeu! - Original Message - From: ralonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, September 27, 2007 2:20 PM Subject: Re: [obm-l] Número de divisores Deve ser algo que envolva combinatória de primos da fatoração do número ou soma de números obtidos por análise combinatória. Pense por exemplo no número fatorado: 2^3 * 5 * 7^2 As combinações (divisores) são: 2 2^2 2^3 5 7 7^2 2*5 2^2 * 5 ... Não sei se existe uma fórmula fechada, mas creio que deva existir. Abraço. Ronaldo. [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi gente! Entrei na lista recentemente e queria saber, Existe alguma fórmula para calcular o número de divisores de um número?De 2004, por exemplo.. Agradeço desde já.Abraços.
