[obm-l] Re:[obm-l] fórmula geral para a so ma S
Acho q eh isso: 1/(A_(n-1))x(A_n) = [A_n - A_(n-1)]/q * 1/(A_(n-1))x(A_n)= =1/q * [ 1/A_(n-1) - 1/A_n] entaum a soma irá telescopar (cortar os termos do meio e irá sobrar: =1/q * [1/A_1 - 1/A_n) = 1/q *[A_n - A_1]/(A_n*A_1)= (n-1)/(A1)x(An) c.q.d Olá integrantes da lista, Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês - o qual pedia para determinar a seguinte soma: S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1) Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos: S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1) S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1) Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a soma das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório: S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . . onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é diferente -A/q , com q natural não nulo. E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula: S = (n-1)/(A1)x(An) Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada. Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para o mesmo problema. Agradeço desde já, Átila Prates Correia. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Inducao
Tenho uma solução alternativa para a questão 3). Eleve ao quadrado ambos os lados então chegamos a equivalência de provar que [1^2*3^2**(2n-1)^2]*(2n+1)=2^2*4^2**(2n)^2 Temos que (2n-1)(2n+1)(2n)^2 = -10 Ok!!! Logo chegamos o que foi pedido diretamente. C.Q.D. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) 1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=1/sqrt(2n+1) Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inducao
Valeu Shine'(Era isso mesmo)!! Desculpa pela confusão!!! Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) Eu acho que eu entendi (embora eu ache que ele deveria ter escrito um pouco mais). Eleve ao quadrado [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n] = 1/sqrt(2n+1) obtendo [1^2.3^2.5^2..(2n-1)^2]/[2^2.4^2.6^2.8^2...(2n)^2] = 1/(2n+1) Passe os denominadores para lá e para cá: [1^2.3^2.5^2..(2n-1)^2](2n+1) = [2^2.4^2.6^2.8^2...(2n)^2] Reescreva como [1.3][3.5][5.7]...[(2n-3)(2n-1)][(2n-1)(2n+1)] = [2^2.4^2.6^2.8^2...(2n)^2] Basta então provar essa última desigualdade. Mas, para todo k real, (2k-1)(2k+1) = (2k)^2 Faça k = 2, 3, 4, .., n: 1.3 = 2^2 3.5 = 4^4 5.7 = 6^2 ... (2n-1)(2n+1) = (2n)^2 Multiplique as desigualdades e obtemos o resultado. []'s Shine - Original Message From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 19, 2007 2:51:06 PM Subject: RE: [obm-l] Inducao Jemand sagte schon, daß eine Dosis des Wahnsinnes hinter jeder glänzenden Idee dort ist ... Ola Giuliano e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao entendi a sua prova. Voce pode explicar melhor ? Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1421,190107 Date: Thu, 18 Jan 2007 17:03:48 -0200 Subject: Re:[obm-l] Inducao From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Tenho uma solução alternativa para a questão 3). Eleve ao quadrado ambos os lados então chegamos a equivalência de provar que [1^2*3^2**(2n-1)^2]*(2n+1)=2^2*4^2**(2n)^2 Temos que (2n-1)(2n+1)(2n)^2 = -10 Ok!!! Logo chegamos o que foi pedido diretamente. C.Q.D. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) 1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=1/sqrt(2n+1) Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Busque em qualquer página da Web com alta proteção. Obtenha o Windows Live Toolbar GRATUITO ainda hoje! http://toolbar.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Now that's room service! Choose from over 150,000 hotels in 45,000 destinations on Yahoo! Travel to find your fit. http://farechase.yahoo.com/promo-generic-14795097 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação irracional
Olá!!!
acredito que é assim temos que (x+9)^{1/3}=a e (x-9)^{1/3}=b, logo a^3-b^3=18
(l); temos a fatoração conhecida
y^3-z^3=(y-z)*(y^2+yz+z^2), para todo y,z.
Temos pelo enunciado (x+9)^{1/3}-(x-9)^{1/3}=(a-b)=3 (ll)
Substituindo y por a e z por b temos:
e usando (l) e (ll) temos:
18=3(a^2+ab+b^2) = a^2+ab+b^2=6 e temos que
a^2+ab+b^2=a^2-2ab+b^2+3ab=(a-b)^2-3ab, portanto temos que:
(a-b)^2-3ab=6 e por (ll) temos
9-3ab=6= 3ab=9-6 = 3ab=3=ab=1=ab=1.
Logo temos:
a-b=5 e ab=1 = a=1/b se b=0
e então 1/b-b=5 e então
1-b^2=5b=b^2+5b-1=0 então é necessário resolver a equação de segundo grau e
ver se a e b satisfazem a condição (Vou evitar a fadiga, Jaiminho).
Não é tão simples. Mas há um erro no enunciado.
Na verdade a equação é:
(x+9)^{1/3} - (x-9)^{1/3} = 3
(o expoente é positivo)
Quando me propuseram pela primeira vez eu usei uma técnica
semelhante aquela que é usada para resolver equações do terceiro grau da
forma x^3 - px +q = 0.
Agora acho que alguém da lista resolve.
Se ninguem resolver eu publico a solução aqui na lista para os curiosos.
[]s
On 1/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote:
acho que e so elevar ao cubo dos dois lados.
On 1/2/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Qual valor de x ?
(x+9)^{-1/3} - (x-9)^{-1/3} = 5
--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[obm-l] função
Acho que uma das condições está errada (0 ou 0???) Seja f : R em R definida por: f(x) = 3x + 3, x =0 x^2 + 4x + 3 , x 0 a) é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(21). b) é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(99). c) é sobrejetora mas não é injetora. d) é injetora mas não é sobrejetora. e) é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(3). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Simulados
Boa noite a todos. Eu estou aqui enviando esta mensagem, pois necessito de material de treinamento, do estilo de provas relativamente parecidas com a imo Pois eu necessito treinar a fazer provas, minha organização é horrível e além de outros vícios que fazem com que eu naum consiga fazer uma prova q posteriormente eu olho e penso ...droga eu podia ir melhor. E por isso eu peço a ajuda de alguém q proponha alguma idéia ou ajuda Grato, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] congruência
Temos que 2^4+5^4=0(mod 641) (basta testar 625+16=641) =2^4=-5^4(mod641) e temos que 2^7*5=-1(mod641) (basta ver que 2^7*5=128*5=640=641-1) temos que 2^32=2^28*2^4 temos que provar que 2^32=2^28*2^4=-1(mod 641)=5^4*2^28*2^4=-5^4(mod 641)= (5^1*2^4)^4 * 2^4=-5^4(mod 641) = (-1)^4 * 2^4=-5^4(mod 641) =2^4=-5^4(mod 641) o que foi mostrado no início. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) Demonstre que (2^32)+1 é divisível por 641 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Desigualdades
Oi, hoje o professor de matemática Carlos Yuzo Shine me mostrou uma desigualdade legal que já foi uma questão que alguém perguntou e eu não respondi uma delas, e eh essa que o Shine resolveu depois lá vai: Prove que para todos a,b,c reais positivos vale: 1/(a³+abc+b³) + 1/(b³+abc+c³) + 1/(c³+abc+a³)=1/(abc) Temos que a³+b³=a²b+ab² por rearranjo -Logo 1/(a³+abc+b³)=1/(a²b+abc+ab²)=1/(ab)(a+b+c) Fazendo isto para todos ostermos temos: 1/(a³+abc+b³) + 1/(b³+abc+c³) + 1/(c³+abc+a³)=1/(a+b+c) * ( 1/(ab) + 1/(ac) + 1/(bc) )= 1/(abc) C.Q.D. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
Re: [obm-l] pergunta
esta fórmula está diretamente relacionada com heron, na verdade Heron é um caso particular de Bramaghupta e um quadrilátero cíclico é o mesmo que quadrilátero incrítvel, isto é, existe uma circunferência que passa por todos os seus vértices, um quadrilátero é inscrítivel se e somente se a soma dos ângulos opostos é igual a 180 graus, a prode de Bramaghupta está na Eureka nº9 e sobre quadriláteros existe um artigo na Euraka nº5 que está disponível também no site da obm: www.obm.org.br Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)
Re: [obm-l] pergunta
Desculpa, cometi um erro, elasó vale para quadriláteros cíclicos Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
Re: Re:[obm-l]- Integral
Desculpa o meu erro, um erro básico, muitas desculpas , foi idiota Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
Re:[obm-l] desigualdades....
Vou resolver a segunda questão, já que ela não é díficil( aprimeira ainda não pensei) 2)sejam a,b,c reais dados.Prove que : a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²) = (a+b+c)/3 Resolução: Troquemos a-b b-c c-a Temos uma nova expressão b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²) Vamos subtrair esta nova expressão da antiga e temos: a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²)- b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)= (a³-b³)/(a²+ab+b²)+(b³-c³)/(b²+bc+c²)+(c³-a³)/(c³+ac+a²) fatorando temos (a³-b³)= (a²+ab+b²)(a-b) logo chegamos em(pois a²+ab+b²0) : a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²)- b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)= (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 logo a nova expressão é igual a velha e temos: que a velha expressão pode ser escrita como a metade da soma das duas logo temos a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²)= (a³+b³)/2(a²+ab+b²)+(b³+c³)/2(b²+bc+c²)+(c³+a³)/2(c³+ac+a²) MAS COMO (a³+b³)/2(a²+ab+b²)=(a+b)/6 que é fácil de se verificar pois se tornará equivalente a 2(a+b)(a-b)²=0 temos (a³+b³)/2(a²+ab+b²)+(b³+c³)/2(b²+bc+c²)+(c³+a³)/2(c³+ac+a²)= (a+b)/6 +(b+c)/6+ (c+a)/6 =(a+b+c)/3 C.Q.D. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
[obm-l] Re:[obm-l] Triângulos
Bom Dia! A resposta éseisraiz de três, 6*(3)^1/2 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
Re:[obm-l]- Integral
Bom Dia! sabemos que e^x=somatório de n=0 até infinito de (x^n)/n! mas comoô que vc queré e^(x^4) =somatório de n=0 até infinito de (x^4n)/n! logo a integral será somatório de n=1 até infinito de (x^(4n-1))/(n!*4n) O pessoal, to precisando de uma luz aqui numa questão Qual é a integral de e^(x^4) dx ? isso se essa primitiva realmente existir Obrigado Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
[obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka
Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/200 = 1/101 +1/102 +...+ 1/200 Seja S a soma temos que 1-1/2=1/2 logo S=1/2 +1/3-1/4+1/5-1/6+. =1/3+1/4+1/5-1/6+.=+1/4+1/5+1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+... Fazemos isto assim por diante (isto é pegamos o próximo número que é o dobro do primeiro e fazemos a nova soma perceba que a soma não muda perceba que todos os termos negativos irão "desaparecer" e a soma será "deslocada" para a direita como temos 100 termos no lado esquedo que são negativos logo a soma se "deslocará" para a direita 100 termos, o que dá o lado direito. c.q.d. Outro problema legal: Prove que 1-1/2+1/3-1/4+=ln 2 perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos números. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)
RE: [obm-l] como eh q faz?
é bem simples, é só fazer indução para n=1 vale, ok! agora vamos supor que para s(n) vale e provaremos que para s(n+1) vale , logo valerá para todos os inteiros positivos... s(n): 1+3++(2n-1)=n^2 logo: 1+3++(2n-1)+(2n+1)=n^2 +2n+1 fatorando temos: n^2+2n+1=(n+1)^2 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
