[obm-l] RE: [obm-l] Novos avanços sobre a Hipótese do Continuum
Oi Bouskela e demais membros desta lista... obm-l ! No mínimo interessante... Na verdade, dizer que a cardinalidade do contínuo é "C" é apenas uma convenção e demonstração de ignorância, pois não sabemos (ainda) a que álefe da sequência do Cantor este "C" corresponde... Se "C" for igual ao terceiro álefe, isto é, ao "álefe índice dois", é inevitável a pergunta sobre exemplos de conjunto com a cardinalidade do segundo álefe... O Erdos conseguiu um resultado interessante neste sentido, se não me falha a memória, sobre conjunto de funções analíticas. Outro fato notável que ilustra a (maravilhosa) intuição do Godel é a previsão de que esta discussão toda sobre a hipótese do contínuo levaria a um conjunto de axiomas tipo ZFC onde as técnicas de forcing estariam "devidamente domadas" e novos e produtivos axiomas seriam descobertos. Realmente interessante o artigo que você destacou. Por oportuno e para não fugir ao espírito desta lista, alguém aqui conhece uma prova elementar (sem usar função zeta) da identidade entre a função seno e o produto de Euler ? sen(x) = x*[1 - (x/pi)^2]*[1 - (x/(2*pi))^2]*[1 - (x/(3*pi))^2]*...*[1 - (x/n*pi)^2]*... Um abraço a Todos ! Paulo Santa Rita 1250721151E Um abraço a todos ! De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de bousk...@gmail.com Enviado: domingo, 18 de julho de 2021 17:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Novos avanços sobre a Hipótese do Continuum Recebi da Quanta Magazine o artigo identificado a seguir: How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer For 50 years, mathematicians have believed that the total number of real numbers is unknowable. A new proof suggests otherwise. Este artigo foi escrito por Natalie Wolchover em 15JUL2021 e, particularmente, o achei interessantíssimo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph, Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e OQiQi+1. Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso, PiPi+1 é paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ ( de O até QiQi+1 ) são iguais, vale dizer : 1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou2) QiQi+1 está na reta diametralmente oposta a reta que contem PiPi+1. Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um raciocinio identico.Consideremos então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide com PiPi+1 ! Por que ? Porque se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a Pi+1Pi+2 e a distancia de O a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a Pi+1Pi+2 e os triangulos necessariamente deverão ter areas diferentes ... absurdo ! Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para qualquer i=1...nentão segue que os poligonos são congruentes. Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil UM abração a todos ! Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300 Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola a todos. Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos... Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na dissertacao! :) :) (Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.) Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4) contendo a origem O em seu interior. Sabe-se que:-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo n);-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para i=1,2,...n, indices modulo n).Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes? Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para Q eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?) Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem sao contra-exemplo! Abraco, Ralph. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Todo polígono convexo é plano?
Oi Pedro. Foi o que eu disse : convexidade é relativo a conjunto de pontos. Assim, existem poliedros convexo, tais como um paralelepípedo e figuras convexas no R^4, R^5, ... R^n. From: brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Todo polígono convexo é plano? Date: Sun, 8 Feb 2015 04:41:10 +0300 Caro Paulo Santa Rita e demais colegas, Existem também figuras não planas convexas. Por exemplo: os poliedros convexos. Parece-me contudo que os polígonos convexos são, necessariamente, planos. Será que estou certo? Abraços do Pedro Chaves. _ From: paulo.santar...@live.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Todo polígono convexo é plano? Date: Fri, 6 Feb 2015 09:13:36 -0200 Oi Pedro e demais membros desta lista de discussão ... obm-l, Me parece que a *ideia de convexidade* é relativa a conjunto de pontos, em particular, a conjunto de pontos de um plano : Um conjunto V de pontos de um plano é convexo se qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos está inteiramente contido em V Se A e B são pontos de R^n e t é um real pertencente a [0,1], o conjunto de todos os pontos da forma At+(1-t)B é o segmento de reta que liga A a B. Com isso é possível generalizar o conceito de convexidade. Voce não esta querendo falar de conexidade ? Um Abraço a todos PSR,60602140912 From: brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Todo polígono convexo é plano? Date: Wed, 4 Feb 2015 20:36:47 +0300 Caros Colegas, Existem polígonos reversos convexos? Ou qualquer polígono convexo é, necessariamente, plano? Abraços do Pedro Chaves! __ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Todo polígono convexo é plano?
Oi Pedro e demais membrosdesta lista de discussão ... obm-l, Me parece que a *ideia de convexidade* é relativa a conjunto de pontos, em particular, a conjunto de pontos de um plano : Um conjunto V de pontos de um plano é convexo se qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos está inteiramente contido em V Se A e B são pontos de R^n e t é um real pertencente a [0,1], o conjunto de todos os pontos da forma At+(1-t)B é o segmento de reta que liga A a B. Com isso é possível generalizar o conceito de convexidade. Voce não esta querendo falar de conexidade ? Um Abraço a todosPSR,60602140912 From: brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Todo polígono convexo é plano? Date: Wed, 4 Feb 2015 20:36:47 +0300 Caros Colegas, Existem polígonos reversos convexos? Ou qualquer polígono convexo é, necessariamente, plano? Abraços do Pedro Chaves! __ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: RES: [obm-l] Sumidos
Caríssimo Bouskela, Olha eu aqui ! Espera um pouquinho que vou voltar a participar. Aproveito a oportunidade para sugerir a leitura de um artigo de divulgação científica que aIolanda me convenceu publicar. Prometi a ela que tentaria falar de MecânicaQuântica SEM USAR MATEMÁTICA. O propósito da revista é unir o subjetivo (arte) ao objetivo (ciência) Nada melhorque falar da interpretação de Copenhagem, que destroi a objetividade clássica tacitamente admitida e introdução o (a consciência do) observador (no momentoonde há o colapso da função de onda ) Será que consegui ? Só os colegas podem dizer. O link do artigo é (pag 5 ) : http://issuu.com/iolandabrazao/docs/revista_encenao_-_janeiro_2015 Um abraço a todos !PSR, 32001140A39 From: bousk...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] Sumidos Date: Thu, 18 Dec 2014 10:45:45 -0200 Olá! É bom ter todos de volta! Saudações! Mas… cadê o Nehab? Cadê o Santa Rita? Cadê o Rogerio Ponce? Cadê tantos outros? Será que viraram Papai Noel (não sei qual é o plural de “Papai Noel”)? Feliz Natal! Feliz 2015! (Peço que não entendam 2015! como o fatorial de 2015)Albert Bouskelábousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: quinta-feira, 18 de dezembro de 2014 02:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Sumidos Haha, tbm tava com saudade das suas questões marcone :) O ano tava muito corrido, não deu pra acompanhar muito aqui... Agora que peguei férias provavelmente vou ter mais tempo []'s JoãoFrom: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Sumidos Date: Wed, 17 Dec 2014 23:36:32 +João Maldonado e outros sumidos fizeram falta, -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] arranjos caóticos - o problema
Caro Bouskela e demais membrosde lista de discussão ... obm-l, Se não me falha a memória, foi na transição entre os séculos XVII e XVIII que o *Nicolau Bernoulli ( E onde está o Prof Nicolau Saldanha, também sumido ? ) propôs ao Euler o famoso problemas das cartas embaralhadas ( permutações caóticas ): PROBLEMA JÁ RESOLVIDO : De quantas maneiras uma pessoa pode colocar N cartas em N envelopes de forma que nenhuma carta chegue ao destinatário correto ? Parece que tanto o Euler quanto o Nicolau resolveram o problema. E deste trabalho resultou a já bem conhecida expressão : N! = N! ( (1/(2!)) - (1/(3!)) + ... + ( ((-1)^N)*(1/(N!)) ) )(1) que nos dá o total de permutações caóticas de N objetos. Registro aqui que : 1) permutações caóticas são também conhecidas como desarranjos(derangements) 2) A notação N! é também conhecida como subfatorial de N Note que o trabalho do Euler e do Nicolau neste particular caso está obviamente incompleto, pois poderíamos perguntar : PROBLEMA PARA RESOLVER : De quantas maneiras uma pessoa pode colocar Ncartas em N envelopes de forma que exatamente P delas (0 = P = N ) não chegueao seu destinatário correto ? Note que a expressão fechada ( fórmula ) que vamos obter, no caso em que P=N, deve nos fornecer a fórmula dada acima e já descoberta pelo Euler e Nicolau. Até onde eu sei, este problema está em aberto. Veja abaixo que o verbete sobrepartial derangements do http://Mathworld.wolfram.come é pobre, incompleto e não resolve a questão. Nós estamos pensando aqui em uma formula fechada. Um abraço a todosPSR,32001140C2A -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Pontuação mínima em campeonato
oi Marcone e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Voce deve agradecer ao Ralph, porque eu não li direito a sua questão e terminei por abordar o problema da faixa de promoçãoe não de rebaixamento. Enfim, tratei de uma outra questão. Um AbraçãoPSR,52605110707 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Pontuação mínima em campeonato Date: Thu, 26 May 2011 05:17:56 + Oi,Paulo .Oi, Ralph.Muito obrigado. Date: Wed, 25 May 2011 14:59:48 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Pontuação mínima em campeonato From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Se fosse apenas um turno, era mais difícil. Com turno e returno, é mais simples, e é generalizável... A chave é olhar para os 17 melhores times, isto é, para os 17 times que terminaram (terminariam, terminarão?) o campeonato com a melhor posição. Quantas partidas incluem pelo menos um desses 17? São 17x16 que eles jogam entre si, mais 17x3x2 que eles disputaram contra os 3 piores, num total de 17x22 partidas. Isto dá um total de 17x22x3 pontos em disputa por estes 17 times. Então, pelo menos um desses 17 times terá 22x3=66 pontos ou menos. Portanto, 67 pontos são com certeza suficientes para você se livrar do rebaixamento. --//-- Agora falta ver que 66 pontos não garante nada. De fato, você pode imaginar uma situação em que: i) Nas partidas em que esses 17 times jogaram entre si (turno e returno), o mandante sempre ganha. ii) Nas partidas em que esses 17 times jogaram com os 3 piores, os 17 sempre ganham. (iii) Faça o que você quiser com as partidas que os 3 piores jogaram entre si, não interessa.) Então todos esses 17 times teriam a mesma pontuação: 16x3+3x3x2=66. Com todos eles empatados, alguém com 66 seria rebaixado. Assim, 66 não é garantia de ficar na série A. ---///--- Então: 67 pontos (bom, antes de o campeonato começar, e independente do critério de desempate) é o que você precisa para garantir não-rebaixamento. Abraço, Ralph 2011/5/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como calcular o mínimo de pontos para uma equipe estar livre do rebaixamento (independente de qualquer critério de desempate)em um campeonato de 20 times em que os quatro últimos colocados são rebaixados?Cada time enfrenta seus 19 adversários,jogando 2 vezes com cada um deles e a vitória vale 3 pontos,o empate vale 1 ponto e a derrota,zero. É muito complicado?
[obm-l] RE: [obm-l] FW: Pontuação mínima em campeonato
Olá Marcone e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito complicado porque não há resposta para o seu problema e a formulação está errada, pois : 1) Existir algum critério de desempate é necessário2) Esta pontuação mínima depende do ponto onde está o campeonato. Explico. Para facilitar a sua visualização, considere 8 clubes que disputam 2 vagas em um campeonato de1 turno. Pode ocorrer que no final do campeonato 3 deles tenham tido um único empate e vencidoos demais jogos. Sejam E1, E2 e E3 estas equipes. Pode ocorrer o seguinte : E1 empatou com E2E2 empatou com E3E3 empatou com E1 Cada uma dessas equipes tem exatamente 4 pontos perdidos. Todas as demais equipes tem, aomenos, 9 pontos perdidos ( pois, ao menos, perderam para E1, E2 e E3 ). Logo, E1, E2 e E3terminam empatados em primeiro lugar. Como não há critério de desempate, como escolherquais serão as duas equipes que terão direito as duas vagas ? Isso mostra que um critério de desempate é necessário. Suponha agora que os 8 clubes disputam 3 vagas e que há um critério de desempate. ANTESDO CAMPEONATO COMEÇAR é correto dizer que o número maximo de pontos que podemser perdidos para assegurar uma das vagas é 4, isto é, 5 ou mais pontos perdidos NÃO ASSEGURAuma das vagas ( verifique ) Entretanto, se ao final da primeira rodada todos os jogos terminarem empatados, os numerosacima mudam, ou seja, a quantidade de pontos que voce procura DEPENDE DA RODADA, eleé uma função do ponto em que está o campeonato. PROBLEMA1) . Seja N o número de clubes e P o número de vagas, P [N/2], em um campeonato de turno único. Mostre que se um clube, ao final do campeonato, tiver D derrotas e E empates, entãoo número máximo de outros clubes que podem ter uma pontuação maior ou igual a dele é 2*D + E OBS1 : [N/2] - função pisoOBS1 : Admita que há critérios de desempate PROBLEMA 2) Generalize o problema acima para o caso de campeonatos com mais de um turno. Um AbraçoPSR,42505110940 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: Pontuação mínima em campeonato Date: Wed, 25 May 2011 11:58:21 + From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Pontuação mínima em campeonato Date: Wed, 25 May 2011 10:42:02 + Como calcular o mínimo de pontos para uma equipe estar livre do rebaixamento (independente de qualquer critério de desempate)em um campeonato de 20 times em que os quatro últimos colocados são rebaixados?Cada time enfrenta seus 19 adversários,jogando 2 vezes com cada um deles e a vitória vale 3 pontos,o empate vale 1 ponto e a derrota,zero. É muito complicado?
[obm-l] RE: [obm-l] Combinatória
Ola Marcone e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Ou eu entendi mal ou esta questão é muito simplória para figurar aqui. Deveria ser postada num desses Sites de Vestibular que há aosmontes ai pela internet. Aqui nós queremos Matemática Olímpica, aquelas questões que exigem reflexão e criatividade. Um AbraçoPSR,4250511094A From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Combinatória Date: Wed, 25 May 2011 10:59:32 + Determinar a quantidade de sequências de n termos cujos termos pertencem ao conjunto {0,1,2} que possuem um número ímpar de zeros.Alguem poderia ajudar?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Agora entendi. Esta solução está correta : Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas, então consideramos assoluções inteiras nao-negativas da equação linear X1 + X2 + ... + Xn = Y E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o total de bolas dacor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que serão dadas a pessoa P2e assim sucessivamente. O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta. Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente em montar partiçoes de um conjuntocom elementos repetidos ? Num conjunto A existem : 8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e indistinguiveis entre si15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ? No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretassoluções distintas. Neste agora, não. Um AbraçoPSR,425051108A1 Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simplesExistem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Rogério e demais colegas desta lista ... OBM-L, Esta resposta está errada, pois ela pressupõe que as soluções do problema anterior podem ser agrupadas em grupos de 4!=24soluções, o que só ocorre quando a solução e formada por conjuntos dois a dois distintos. Por exemplo, { {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} } é uma solução no primeiro problema e qualquer uma das suas 4!=24 também são, formando portanto 24 soluções distintasque podem ser agrupadas em uma única partição ( na qual a ordem dos conjuntos é irrelevante ), a saber : { {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} } que será uma única solução para o segundo problema. Mas agora considere a solução do primeiro problema : { {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} } Devido a igualdade entre o primeiro e terceiro conjuntos, não há 4!=24 permutações duas a duas distintas que podem seragrupadas para formar a partição ( solução do segundo problema ) seguinte : { {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} } que é uma solução válida para o segundo problema. Um AbraçoPSR,42505110B2A Date: Wed, 25 May 2011 11:05:27 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola' Paulo e colegas da lista, para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo numero de permutacoes entre os participantes. Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24. []'s Rogerio Ponce. PS: enviei para a lista a seguinte correcao: As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes. Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Agora entendi. Esta solução está correta : Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas, então consideramos as soluções inteiras nao-negativas da equação linear X1 + X2 + ... + Xn = Y E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o total de bolas da cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que serão dadas a pessoa P2e assim sucessivamente. O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta. Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente em montar partiçoes de um conjunto com elementos repetidos ? Num conjunto A existem : 8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e indistinguiveis entre si 15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ? No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas soluções distintas. Neste agora, não. Um AbraçoPSR,425051108A1 Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4
RE: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Rogério e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consegui entender a sua sugestão. Entretanto, dentre as diversas maneiras de resolver que conheço há uma cuja estruturase assemelha, a saber : 1) Como vamos dividir 33 bolas entre duas pessoas então basta determinar quantas vamos dar a uma particular pessoa,pois o que restar será necessariamente da segunda pessoa. Para uma pessoa particular podemos dar 0,1,2,3,...,33bolas2) Fixada uma das opções de doação acima, digamos, K, precisamos escolher K bolas do total disponível. Seja portantoP as bolas pretas, B as brancas e A as azuis. Devemos ter : A + B + P = K 3) As solucoes inteiras não negativas da equação acima são as diversas maneiras de dar K bolas a uma das pessoas ( eportanto, a maneira de dar 33-K bolas a outra ) 4) Note que a equação anterior precisa ser trata com cuidado se K 8, pois dispomos apenas de 8 bolas brancas eportanto não podemos considerar as soluções com B8; igualmente, temos que tomar algum cuidado com assoluções em que K15, pois so dispomos de 15 bolas azuis. 5) Em síntese, para cada K em {0,1,2,...,33} as soluções de A + B + P = K constituem as maneiras de doar Kbolas a uma particular pessoa ( e 33-K a outra ). Toda a dificuldade do problema consiste em saber como cuidardos intervalos de K's : 0 = K = 8, 9= K = 15 e 16=k= 33. O item 5 anterior desloca o problema para outro, mais simples. Como abordar este novo problema, agora ?Além disso, como atacar o caso de 4 pessoas ? Um abraço a todosPSR,31405110925 Date: Mon, 23 May 2011 21:10:55 -0300 Subject: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Em 22 de maio de 2011 19:44, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é relativamente bem conhecido ... um problema próximoa este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir um conjunto com elementos repetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja : 10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis )8 bolas brancas ( iguais entre si e indistinguíveis )15 bolas azuis ( iguais entre si e indistinguíveis ) De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ? E entre 4 pessoas ? Um AbraçãoPSR,1220511132D Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abraçãoPSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simplesExistem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Salhab e demais colegas desta lista ... OBM-L, A solução está errada. Para ver isso claramente, considere duas bolas pretas e tres brancas, que representamos por PPBBB. Suponhamos que precisamos dividir estas bolas entre duas pessoas. Usando a sua solução, teriamos as duas divisões abaixo :( OBS : o simbolo | representa a vareta ) PB | PBBBP ! PBB CONTADAS COMO DISTINTAS, quando, em verdade, elas representam A MESMA DIVISÃO : {B,P} e {P,B,B}. Perceba que aordem com que uma pessoa recebe as bolas é indiferente ... Um abraçãoPSR,2230511DC Date: Mon, 23 May 2011 10:30:03 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Paulo,uma solução é colocar todas as bolas em uma linha e adicionar K varetas, onde K=número de pessoas - 1.Então, contar o número de permutações. No seu caso, teríamos 10 bolas pretas, 8 bolas brancas, 15 bolas azuis e 1 vareta (2 pessoas). Assim, o número de permutações é:(10+8+15+1)! / (10! 8! 15! 1!) = 34! / (10! 8! 15!) Para 4 pessoas, vamos utilizar 3 varetas. E ficamos com:(10+8+15+3)! / (10! 8! 15! 3!) = 36! / (10! 8! 15! 3!) Abraços,Salhab 2011/5/22 Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com Oi Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é relativamente bem conhecido ... um problema próximo a este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir um conjunto com elementosrepetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja : 10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis )8 bolas brancas ( iguais entre si e indistinguíveis )15 bolas azuis ( iguais entre si e indistinguíveis ) De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ? E entre 4 pessoas ? Um AbraçãoPSR,1220511132D Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é relativamente bem conhecido ... um problema próximoa este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir um conjunto com elementosrepetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja : 10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis )8 bolas brancas ( iguais entre si e indistinguíveis )15 bolas azuis ( iguais entre si e indistinguíveis ) De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ? E entre 4 pessoas ? Um AbraçãoPSR,1220511132D Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel
Olá Bouskela e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Tão simples ! Tão simples quanto afirmar que para todo natural N 2 não existe inteiros A, B e C tais que A^N + B^N = C^N ? A beleza e a profundida estão justamente na simplicidade ... O enunciado é pitoresco e talvez por isso mesmo dá origem a diversas interpretações. Vou enunciar aqui os pressupostos que entendo estarem contidos no enunciado da questão : 1) a expressão correnteza desprezível significa que se o nadador resolver boiar, ele ficará parado. Sem essa hipótese o problema torna-se trivial, pois caso a correnteza fosse significativa, bastaria ele boiar e observar a direção em que corre o rio. A seguir, tomando qualquer outra direção não paralela, bastaria nadar sempre nesta direção que necessariamente chegaria à margem. 2) com escuridão ou peixes vorazes devoram os olhos o criador da questão quer dizer que o nadador pode saber que fez uma curva para a direita ou para a esquerda EM RELAÇÃO A DIREÇÃO ANTERIOR, mas não é capaz de calcular o valor exato do ãngulo que esta nova direção tem com a anterior. Esta hipótese também é necessária, sob pena, mais uma vez, do problema tornar-se trivial ... Acho razoável supor o seguinte : 3) O nadador nada a velocidade constante em cada trecho retilineo, digamos, 1 braçada/segundo. 4) O nadador, até por ser nadador, sabe o quanto avança em cada braçada, digamos, 1 braçada avança 50 cm Agora considere a seguinte situação : Ao ficar cego, ele dá um numero arbitrário de braçadas, digamos, K braçadas. Toma então uma nova direção. Nesta nova direção ele dá novamente K braçadas e para ( bóia ). Temos aqui um triangulo isósceles ( lados : K braçadas, k braçadas, distancia ao ponto original fornecido pelo sistema de navegação ). Se podemos supor que o nadador é também um Matemático não-medíocre, ele esta neste momento boiando e analisando o triãngulo acima - do qual conhece as medidas dos três lados - e projetando o que deverá fazer para atingir uma margem ... É preciso parar aqui e esperar a próxima manifestação do Bouskela neste sentido, pois introduzi muitas hipóteses e bem pode suceder que algumas delas não estejam no rol daquelas admitidas pelo criador da questão. De qualquer forma, afirmo que gostei da questão e gostaria de pensar um pouco mais sobre ela. Um Abraço a todosPSR, 620051109AA From: bousk...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel Date: Thu, 19 May 2011 15:54:18 -0300 Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações,Albert bouskelabousk...@msn.com
[obm-l] RE: [obm-l] Vale a demonstração?
Oi Paulo e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Da forma como você apresentou, não, pois a a passagem de a_n=(a_n-1).q para (a_1).[q^(n-1)] não está suficientemente clara ... em verdade, nestapassagem você já esta utilizando justamente aquilo que voce dever provar. Em casos simples tal como o que você apresenta, quando previamente já seconhece a fórmula final, é bastante comum o uso da indução matemática. Assim : a_2=a_1.q ( por definição )a_3=a_2.q ( por definição ) = a_3 =a_1.(q^2) ( usando o resultado da linha anterior ) Olhando estes dois casos e vendo a ainda aparente relação entre índice e o expoente, conjecturamos que : a_n=a_1.( q^(n-1) ) Supondo isso, teremos que : a_(n+1)=a_n.q por definição. Substituindo a hipótese de indução, chegamos a a_(n+1)=a_1.(a^n). Pelo principio da induçãofinita fica estabelecido que a expressão vale para todo n natural. Mas as provas por indução padecem de um mal fundamental, a saber, pressupõe o conhecimento prévio da expressão que devemos provar. Em geral, no cursode uma investigação, você não conhece previamente o que deverá demonstrar. Por exemplo, olhe este link aqui : http://math.stackexchange.com/questions/17320/derivation-of-the-partial-derangement-rencontres-numbers-formula lendo, verifica-se que alguns estudantes e pesquisadores estão procurando uma fórmula para o total de arranjos caóticos de comprimento P que podemosfazer de um total de N elementos. Como este problema está ainda hoje ( até agora, pois vou mostrar a solução abaixo ) em aberto e a solução pode ser vista como uma generalização do trabalho do Nicolau Bernoulli e Euler, eu achei que valia a pena pensar nele e deduzi que : Dn,k = Binom(N,K)*{ somatorio[ i variando de 1 até M , binom(N-i , N-M)*binom(N-M , i)* (!(K-i))] } onde, nesta formula : 1) M=min{K,N-K} 2) !N = N!*( (1/2!)-(1/3!) + ... + ( (-1)^N )*(1/N!) ) se N = 23) !1=0 e !0=1 A demonstração não é trivial. Não apresento aqui porque isso é apenas o resultado inicial de uma pesquisa mais ampla que ainda não conclui. Mas o que quero ressaltar é que EU NÃO SABIA em qual expressão chegaria. Sabia apenas que chegaria em algum lugar. Neste sentido, o principio da indução tem pouca utilidade. Mas voce pode demonstrar o seu resultado assim : a_2 = a_1.qa_3 = a_2.q...a_n=a_(n-1).q multiplicando membro a membro as N-1 igualdades e eliminado os fatores comuns que aparecem nos dois membros, chegamos a : a_n=a_1.(q^(n-1) ) E agora não foi preciso usar indução. Em síntese, não há um roteiro padronizado para demonstrações. O que há são certos principios que devemos respeitar ( por exemplo, você não pode usar como certo algo que ainda não foi provado ). De resto, o que é importante é a sua sensibilidade e intuição, é ela que nos conduz a coisas significativas e que nos mostra como provar de forma irretorquivel aquilo que apenas vemos do outro lado, no mundo próprio da Matemática Um abração a TodosPSR, 5190511102A From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vale a demonstração? Date: Wed, 18 May 2011 22:51:28 + Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Se eu entendesse a sua notação, opinaria. Acredito que seja Latex, mas eu não tenho aqui o plugin que permite a visualização. PROBLEMA 1 Vou supor que r e s são inteiros não-negativos e que r + s = n. Seja A o conjunto original com n elementos 1) r+s = n e r # s Neste caso é óbvio que a resposta será Binom(n,r) = Binom(n,n-r) = Binom(n,s) pois ao escolher um conjunto, digamos, de r elementos, o que sobra no conjunto A terá n-r=s elementos e será o outro conjunto da partição. Se r = s, divida o resultado anterior por 2 2) r+s n e r # s Neste caso, seja t = n - (r+s). Podemos formar um conjunto de t elementos de Binom(n,t) maneiras. Fixada uma destas maneira, recaímos no caso anterior : poderemosformar Binom(n-(r+s),r) partições. Pelo principio multiplicativo segue que a resposta sera : Binom(n,t)*Binom(n-t ,r). Se r=s, divida o resultado anterior por 2 Note que a resposta 2) engloba a 1), pois se r+s=n então t=n-(r+s)=0 e Binom(n,t)=Binom(n,0)=1 PROBLEMA 2 Vamos escolher um dentre os n elementos e chama-lo de INTERSECÇÃO. Retirando a INTERSECÇÃO, sobram n-1 elementos. Sejam r' = r-1 e s' = s-1. É facil ver que n-1, r' e s' recai no problema anterior, ja resolvido. Então a resposta aqui é : N*( resposta anterior com a devida adaptação ) Um problema de combinatória que eu acho interessante pode ser enunciado assim : Seja A um matriz quadrada de ordem N tal que A(i,j) = j + (i -1)*N, onde j e i variam em K={1,2,...,N } e j representa a coluna e i representa a linha.Quantas matrizes quadradas B de ordem N podem ser formadas tais que : 1) B não tem elementos repetidos2) Todo elemento de B pertence a {1,2,3,..., N^2}3) B(i,j) é diferente de A(i,j) para todo par (i,j) pertencente a K^2 ( K^2 é o produto cartesiano de K por si mesmo ) Um abraço a todosPSR,51005111338 Date: Thu, 19 May 2011 18:29:53 +0430 Subject: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br No primeiro problema cheguei a algo do tipo 1/2\cdot [ C_{n}^{1} \cdot (2^{n-1}-1) + C_{n}^{2} \cdot (2^{n-2}-1) + C_{n}^{3} \cdot (2^{n-3}-1) +...+C_{n}^{n-1} ] queria saber se alguém sabe opinaar se estou no caminho correto. Abraços. 1. Seja X um conjunto com n elementos. Calcule o número de escolhas possíveis de dois subconjuntos disjuntos de r e s elementos, respectivamente. [E se r = s?] 2. O mesmo exercício anterior mas em que os dois subconjuntos possam intersectar-se num único elemento. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Oi Ralph e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Complicado ! Se eu estivesse ensinando indução matemática, não aceitaria como demonstração poisneste ponto é natural requerer o reconhecimento explícito dos passos e elementos da demonstração. Por outro lado, se fosse uma questão de outro assunto, no qual tal formula fosse necessária, eu NEM EXIGIRIA uma demonstração : os passos abaixo são mais que suficientes para sugerir que a pessoa conhece a técnica. Penso também que não só o nível em que tal fórmula é exigida é necessário considerar para respondera questão, mas também a própria mentalidade do professor que corrige, se é que podemos chamar assim.Existe o Prof Picuinha, aquele que cumprimenta a recem eleita miss Universo reparando que o dedão dopé da miss não é bonito. Este cara essencialisa o trivial e trivializa o essencial. È o dracula dacriatividade. Esse cara vai exigir a demonstração detalhe por detalhe, esquecendo que nenhummatematico do mundo em todos os tempos fez qualquer demonstração real de um resultado novoseguindo tal mediocre rigor. Mas devemos convir que tambem existe o Prof Globo Ciencia, que só se preocupa com o ibope juntoa galera, esquecendo totalmente do conjunto de saudaveis valores que necessariamenteseguem junto a qualquer educação séria. Acredito que a sabedoria, como diria aristoteles, estano caminho do meio, uma media aritmetica entre os dois estilos acima: o Prof Socratico ! Date: Thu, 19 May 2011 11:44:25 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, se alguem escrevesse este argumento numa prova, eu o aceitaria uma demonstracao. Ou seja, concordo com o Paulo -- a inducao formal seria tao imediata, que para mim nao vale a pena escreve-la explicitamente. Ela nao acrescentaria nada NESTE CASO. Pebolim. Abraco, Ralph 2011/5/19 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Dificuldade numa integral
Olá Luiz Antonio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, No *Máxima isso é imediato : integrate( ( x^2 - 3*x + 7 ) / (( x^2 - 4*x + 6 )^2 ) , x );O resultado foi ( 7*arctg( (x - 2) / ( rq(2) ) ) / 4*rq(2) ) + ((3*x - 8 ) / ( 4*(x^2) - 16*x + 24 ) ) onde rq(n) é a RAIZ QUADRADA de n e arctg(y) é o arco cuja tangente é y. Um abraço a todos !PSR,21312100E03 Date: Sun, 12 Dec 2010 10:51:09 -0200 Subject: [obm-l] Dificuldade numa integral From: rodrigue...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, pessoal!!!Tudo bem???Estou com dificuldade para resolver esta integral: [(x^2 - 3x + 7)/((x^2 - 4x + 6)^2)]dx Será que alguém pode me ajudar? Tentei resolver pelas frações parciais mas empaquei.Um abraço para todos e muito obrigado.Luiz Antonio
[obm-l] RE: [obm-l] Números Transcendentes + Com binatória
Olá Luiz e demais colegasdesta lista ... OBM-L, 1) Quem provou que os números transcendentes são infinitos ? Cantor demonstrou diretamente que os *NÚMEROS ALGÉBRICOS* são enumeraveis. Como ele também havia demonstrado que os números reais não são enumeráveis, os reais não-algébricos, vale dizer, os NÚMEROS TRANSCENDENTES, não podem ser enumeráveis ( se fossem enumeráveis, os números reais, sendo a união disjunta de algébricos e transcendentes, seria enumerável ... ). Portanto, pode-se dizer que Cantor *DEMONSTROU INDIRETAMENTE* que existem infinitos números transcendentes. Note que o conceito de número transcendente é caracterizado indiretamente, pois dizemos que um número é transcendente quandoele não é algébrico, isto é, nos tomamos o conceito bem estabelecido ( um número é algébrico quando ele é solução de umaequação algébrica com coeficientes inteiros ) de número algébrico para falar sôbre os transcendentes. Este procedimento, em Matemática, é tipicamente uma suave confissão de ignorância e desconhecimento ... Em verdade, criamos uma *sacola* e passamosa proceder assim : o que não é algébrico nós jogamos aqui. A verdade é que sabemos muito pouco sôbre estes números. Essa ignorância,inclusive, pode estar ligada a hipótese do contínuo, pois, quem sabe se neste ninho de gatos que são os numeros transcendentes não se escondeaquele famoso e tão procurado conjunto não-enumerável com cardinalidade inferior a dos reais ? Os números transcendentes é uma terra de ninguém. 2) Como descobrir se um número real r é transcendente ? Demosntrando que r não é algébrico. Existem uns pouquíssimos e pobríssimos resultadosque servem para caracterizar algumas familias de transcendentes. Por exemplo : TEOREMA DE GELFOND : Se A é um número algébrico não-nulo e diferente de 1 e B é um irracional, então A^B é transcendente.Do teorema acima concluimos, por exemplo, que raiz_2(2)^raiz_2(2) é transcendente ( raiz_2(2) = raiz quadrada de dois ). São também transcendentes:N^raiz2(2), onde N é um natural maior que 1. OBS : O resultado acima responde a uma das famosas perguntas elaboradas pelo Hilbert TEOREMA DE LINDEMAN : e^A é transcendente para todo A algébrico não nulo ( e= 2,7 ... = número de Euler = base dos logaritmos naturias ) NUMEROS DE LIOUVILLE : Todo número A tal que para todo natural N existem p e q inteiros tais que modulo(A - (p/q) ) 1/(q^N) Um exemplo classico de numero de Liouville e : A= (1/10) + (1/(10^2)) + (1/(10^6)) + ... + (1/(10^(N!))) + ... Deve existir mais resultados parciais que não me ocorrem agora. Nem todo todo número transcendente é número de Liouville, ou , melhor ainda, nenhuma das familias de numeros caracterizáveis pelos resultados acimaexaure todos os numeros trancendentes. É também importante destacar que o conceito de NUMERO TRANSCENDENTE esta atrelado ao conceito de númeroalgébrico, que, por sua vez, esta associado ao conceito de polinomio com coeficientes inteiros. Ora, existem diversos outros exemplos de corpos alem dosracionais e reais( e entre eles, por exemplo, A+B*raiz2(2), onde A e B são racionais, formam um corpo entre Q e R ). Portanto, é possivel extender o conceito de número transcendente para outros corpos, podendo-se falar em NUMERO TRANSCENDENTE SOBRE O CORPO TAL. Em minha opinião, este imbricamento entre os conceitos de transcendente e algébrico, em que pese nos ter permitido ver pela primeira vez os transcendentes,é um obstaculo a ser vencido para uma melhor compreensão da eventual *estrutura* e *beleza* que há neste universo ( dos transcendentes ) dominio ... Talvezo estudo do que há nos transcendentes relativos a outros corpos ( incluindo uma olhada especial nos finitos ) poderia lançar alguma luz aqui. O que é certoé que a conceituação atual é pobre para abordar tais números e há muito o que descobrir aqui. Note que ha muito outros conceitos ( por exemplo, número computável , conjunto magro, medida de um conjunto ) que podem ser aplicados a estas classesde números ( as classes caracterizadas pelos resultados acima ). Eu me lembro, por exemplo, que alguem ja associou a ideia de conjunto magroao conjunto dos números de Liouville ( acho que é que numeros de Liouville é complementar de um conjunto magro ou algo proximo disso ) Um Abraço a TodosPSR,62210100A15 Date: Thu, 21 Oct 2010 10:16:53 -0200 Subject: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória From: rodrigue...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, pessoal!!! Tudo bem??? Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número transcendente? É possível gerá-los? Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de combinatória: Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as vogais ou as consoantes juntas? Fiz pelo complementar mas acho que está errado... Alguém pode me ajudar??? Um abração para todos. Luiz
[obm-l] RE: [obm-l] Sequênci as Binárias e Concat enação
Olá Bruno e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Não entendi o enunciado da questão que você postou. Mas, por coincidência, eu estava justamente tratando de um problema no N-cubo unitário - N-cubo unitário e o conjunto de todas as N-uplas (x1, ..., xn) nas quais xi=0 ou xi=1 para todo i=1, ..., N - cujas operações podem ser parafraseadas em termos de operações com números binários da seguinte forma : Seja B um número natural ímpar maior que 1 tal que sua representação na base 2 contem N dígitos. Tomarei por B* o número natural tal que B+B*=(2^N) - 1 . Note que B* é necessariamente um natural par. Se IMAGINARMOS que cada dígito de B está grafado num pequeno quadrado e que a direita do seu dígito menos significativo (dígito mais a direita ) e a esquerda do seu dígito mais significativo ( dígito mais a esquerda ) existem infinitos quadradinhos onde grafamos zero, o binário B passa a pertencer a uma fita de leitura de comprimento infinito. Representarei o dígito menos significativo de B por X1, o mais significativo por Xn. Se p n então Xp = 0 Considere o seguinte algoritmo : 1) i=02) i =i+13) Se Xi XOR Xi+1 = 1 VOLTE ao passo 2 4) J = 05) j = j + 16) Yj = 1 SE j =1 SENAO Yj = (Xi XOR Xi+1) AND Yj-1 + ( NOT (Xi XOR Xi+1) ) AND Xi7) Zj = (Xi XOR Xi+1) XOR Yj8 ) Faca i=i+19 ) Se i N+2 VOLTE ao passo 5 Neste algoritmo, XOR é a clássica e bem conhecida porta lógica, assim definida : 0 XOR 0 = 1 XOR 1 = 0 e 1 XOR 0=0 XOR 1=1. Esta operação é associativa e representa o OU EXCLUSIVO. Partindo de um dos vertices do N-cubo cuja coordenada mais a direita é um, vale dizer, em nossa notação, de um número ímpar em binário, os Z's obtidos com o algoritmo acima constituem o NOVO VÉRTICE que me interessa analisar. O novo vértice pertence a um M-cubo unitário e eu consigo demonstrar que reiterando o algoritmo nós teremos que necessariamente M N em algum momento. A questão não é trivial e o que eu preciso é obter o NOVO VÉRTICE em função de B* Um Abraço a todosPSR,11010100A35 From: collares.br...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Sequências Binárias e Concatenação Date: Tue, 5 Oct 2010 20:19:32 + Seja A={01,100,101}, e B={0,1,11}. Decida se as sequências binárias abaixo são geradas univocamente: a) A* b) B* c) {00}*A* Obs: A*=EUAUA²UA³U... Grato BRUNO MARQUES COLLARS
RE: [obm-l] Axioma ou teorema?
Olá Guilherme e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Em tese, qualquer afirmação que seja um axioma em sistema formal pode vir a a ser um teorema em outro e vice-versa. Portanto, não tem sentido perguntarse uma afirmação qualquer, em si e desvinculada de um contexto, é um axioma ou teorema ... A aifrmação a que você se refere é um axioma ou postulado nocontexto da Geometria Euclidiana. Alias, este axioma foi formulado pela primeira vez pelo Arquimedes e foi o primeiro exemplo de axioma métrico que se tem notícia. Com ele, entre outras aplicações, Arquimedes prova que uma poligonal envolvente é maior ( mede mais ) que qualquer poligonal envolvida. Ele tambemusa isso na quadratura da parabola e na aplicação do método da exaustão, do Eudoxo. É claro que em outro contexto este axioma pode virar um teorema. Por exemplo, em Analise Funcional. Seria interessante esclarecer se para um dado conjunto de objetos existem afirmações que são irredutiveis, nos sentido de que seriam indemonstraveis emqualquer formalização factivel com tais objetos. Seriam como atomos logicos. Mas eu sou mais de acreditar de que um tal possivel absoluto e incompativelcom o nosso tempo e a nossa epoca... Alguem saberia dizer algo inteligente neste sentido ? Um AbraçãoPSR,22709100907 From: rjguilhermevie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Axioma ou teorema? Date: Sat, 25 Sep 2010 23:09:12 +0300 Caros colegas, A afirmação O menor caminho entre dois pontos A e B é o segmento de reta AB é um axioma? Ou é um teorema? Bem... creio que seja um axioma, pois me parece que não há como demonstrar o teorema, sem incorrer em petição de princípio. Abraços! Guilherme
[obm-l] RE: [obm-l] combinat ória
Ola a todos ! Eis aqui uma sugestão : 1) IMAGINE oito posições vazias, digamos : - - - - - - - - . Nestas posições serão colocadas as letras. É fácil ver que se escolhermos as 4 posições que serãoocupadas pelas vogais, as posições restantes só poderão ser preenchidas de uma única maneira pelas consoantes, pois estas deverão estar em ordemalfabética. Assim, podemos ignorar as consoantes e nos preocuparmos exclusivamente com a quantidade de maneiras distintas de dispor 4 letras em oito posições, 3 das quais iguais entre si. 2) Podemos escolher 4 posições dentre 8 possíveis de Binom(8,4). Fixada uma destas escolhas, qualquer maneira de dispor as 4 vogais pode ser IMAGINADAcomo uma permutação de 4 elementos, dos quais 3 sao iguais entre si. Segue daqui que dado as posições escolhidas, existem 4!/(1!*3!)=4 maneiras distintasde dispor as vogais. Pelo princípio multiplicativo da análise combinatória concluímos que existem 4*Binom(8,4)=4*70=280 anagramas que atendem as condições de simetria do seu problema. 3) O raciocínio acima podes ser generalizado. Por exemplo, considere a palavra MICROSOFT. Quantos anagramas podem ser formados com esta palavra demaneira que as consoantes estejam em ordem alfabética ? Pelo que já vimos acima, esquecemos esta consoantes e buscamos as maneiras de escolher 3posições nas 9 possíveis. Isto dá : Binom(9,3). Fixada uma destas escolhas, achamos o total de permutações de 3 elementos com 2 repetidos. Isto fornece:3!/2!=3. Logo. o total de anagramas será 3*binom(9,3)=3*84=252 4) Agora, podemos aplicar o mesmo raciocínio a palavra PROCURE ? e NO caso da palavra GOOGLE ? Sim. Na primeira, existem dois R's e na segunda dois G's mas amaneira de dispor as consoantes, tendo sido fixado previamente as posições nas quais colocaremos as vogais, continua sendo única. Logo, o raciocínio continua válido neste caso. 5) Considere agora as palavra composta NEELIE KROES, onde estamos considerando que o espaço em branco entre o E e o K é um caracter. É valido aplicaro raciocínio acima se considerarmos que o caracter espaço em branco uma vogal ? E se o considerarmos uma consoante ? Isso e apenas uma sugestão, mas, esteja atento e não se esqueça de pesquisar. Um Abraço a Todos !PSR,52608100B26 Date: Wed, 25 Aug 2010 13:36:22 -0700 From: cacar...@yahoo.com Subject: [obm-l] combinatória To: obm-l@mat.puc-rio.br Quantos anagramas da palavra BATALHÃO (desconsidere o til como diferença) tem as consoantes em ordem alfabética? Como pensar?
[obm-l] Bons Livros de Matem ática LEGALMENTE grá tis
Olá a todos, membrosdesta lista ... OBM-L, Essa mensagem não trata de uma particular questão matematica, mas eunão ficaria bem comigo mesmo se não divulgasse aqui que no endereçoa seguir : http://rinconmatematico.com/libros.htm Existem muitos bons livros, a maioria em formato PDF, que podem legalmentesofrer download. Muitos são de famosas universidades ( Ex Princeton ), outrosde Sites particulares, etc. Ressalto que não verifiquei todos os link's. Se houver algum com irregularidadese/ou desrespeitando direito alheio, por favor, façam a denuncia competente. Um abraço a todos !PSR,51706100B31 _ NINGUÉM PRECISA SABER O QUE VOCÊ ESTÁ COMPRANDO. LEIA MAIS SOBRE ESSE ASSUNTO AQUI. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/browse-privately.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1590
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Números Reais - MetaMAt
Ola Lucas e demais colegas desta lista ... OBM-L, Numeros nao sao criacoes humanas ... A Fisica atual - em particular a Mecanica Quantica - nao admite uma interpretacao pacifica, aceita por todos tal como ocorria com a Mecanica Classica, havendo mesmo o bem colocado problema da interpretacao da realidade. Assim, qualquer pessoa que se referir a realidade deveria, a rigor, especificar a qual interpretacao esta implicitamente se referindo ... Portanto, hoje, NINGUEM esta autorizado a falar da realidade simplesmente porque ainda nao sabemos qual a imagem que dela podemos fazer. Por outro lado, existe uma bem conhecida tradicao oriental que diz que a realidade e apenas uma ilusao ( Maia ) e que precisamos nos depreender das ilusoes dos sentidos e com a mente contemplar a verdadeira realidade. A Fisica atual nao corrobora este ponto de vista, mas claramente ja pode admitir um estreito paralelo com esta percepcao, salvo as devidas adaptacoes. Alguns caras bons, tais como O kapra, cultivaram e cultivam este paralelo com significativa verossimilhanca ... A Matematica vem seguindo este processo de abstracao e conceituação ha muito mais tempo e parece-me que foi sobretudo com Gauss que nos percebemos com grande vivacidade que nao deveriamos buscar nas coisas existentes, fisicas, uma justificacao para as realidades conceituais que percebemos e que se nos impoe. Ele mesmo viveu este dilema quando introduziu o plano de Argand e passou a considerar os numeros complexos sem considerar, onde, na realidade, estes numeros se encontravam. Parafraseando o Hegel, eu diria que nos nao devemos buscar na natureza uma justificativa para as nossas percepcoes ou contrucoes, pois toda obra humana e em-si maior e mais importante que toda a natureza, mas ter a certeza que as percepcoes internas que temos do mundo proprio da Matematica e uma condicao sine qua non parar entendermos o Mundo. Os elementos para a compreensao do Universo esta dentro de nos e nao fora, a maneira de entender melhor o mundo e precisamente a mais alta das abstraçoes Matematicas. Tem sido assim nos ultimos seculos e acredito mesmo que esta tendencia vai se radicalizar . E o que alguns caras bons chamam o principio antropico. Sim, os numeros reais existem e constituem uma parcela da realidade que podemos acessar e compreender. Eles nao precisam se adaptar a realidade, simplesmente porque esta realidade nao existe como um dado; ao contrario, a realidade deve se conformar a eles. Nunca um Matematico qualquer criou alguma coisa. Nos simplesmente descobrimos o que ja existe porque esse algo que existe e ´precisamente uma parte de nos mesmos ... é uma pedacinho da resposta a pergunta : o que somos ? Talvez a resposta - corroborada por inumeras culturas misticas e iniciaticas orientais - seja algo como : nos fazemos parte do universo e ele e incompreensivel em sua totalidade se nao aprendermos como nos incluir nesta propria compreensao ... Em 19 de fevereiro de 2010 12:09, Lucas Reis lucasmr...@gmail.comescreveu: Bom, nenhum número é de verdade, ou existe na natureza. Eu pelo menos nunca vi um 2 por aí, um 1/3, nem um pi. Números são criações abstratas (inclusive os naturais!), e matemáticos estudam implicações lógicas deles, sem precisar se preocupar se existem mesmo ou não. Só como curiosidade: algumas tribos amazônicas (se não me engano) não trabalham com números naturais. Pra eles o dois de dois animais é diferente do duas de duas pessoas. São conceitos separados. Talvez isso já servisse de contraprova para quem diz que os números naturais não foram criados pela nossa cultura... Abraços a todos, Lucas Em 19 de fevereiro de 2010 11:49, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com escreveu: Qual é a crítica que ele faz aos números reais? Artur *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *luiz silva *Enviada em:* sexta-feira, 19 de fevereiro de 2010 08:36 *Para:* Matematica Lista *Assunto:* [obm-l] Números Reais - MetaMAt Pessoal, Estou lendo o livro MetaMat de um matematico e cientista da computação. Nele, existe uma crítica muito forte aos números reais, com utilização, inclusive, da teoria da informa. Eu, particularmente, sempre tive dificuldades em aceitar os números reais , quanto a sua realidade e este livro, que encontrei por acaso na Saraiva, veio como uma luva para minhas dúvidas. Alguém aqui já leu este livro ? Concorda com o ponto de vista do autor? Tem argumentos contrários aos que ele expõe no seu livro ? Abs Felipe__= -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/-
[obm-l] Re: [obm-l] ENIGMAS CAÓTICOS!
Olá Jorge Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu sei fazer os dois primeiros, mas a resposta nao e simples e nao e curta. Fico devendo a publicacao no inicio do proximo ano. O terceiro e trivial : A deducao analitica e igualmente facil : Como C(N)=N!( 1/(2!) - 1/(3!) + ... + ((-1)^N)*(1/N!) ) entao C(N) = N!((1/2!) - (1/3!) + ... + ((-1)^(N-1))*(1/(N-1)!) + (-1)^N C(N) = N*(N-1)!*((1/2!) - (1/3!) + ... + ((-1)^(N-1))*(1/(N-1)!)) + (-1)^N C(N) = N*C(N-1) + (-1)^N O Fator N!/P! pode ser visto como uma permutacao linear entre N objetos nos quais P sao iguais entre si : nisto esta a interpretacao combinatoria. Para ver isso claramente considere P objetos dispostos caoticamente em N posicoes. Podemos variar P de N-1 a 1 e em cada cada caso teremos o total de arranjos caoticos. Depois e so somar tudo. A proposito, a expressao geral ( apresentada pela primeira vez aqui e agora ) para N-1 objetos caoticamente distribuidos em N posicoes e : AC(N,N-1) = N*( !N + !(N-1) ) Para N-2 objetos e: AC(N,N-2) = Bi(N,2)*(!N + 2*!(N-1) + !N ) a expressao geral prova-se usando o principio da inclusao-exclusao. Mais pra frente, com mais calma, eu vou colocar aqui a demonstracao e falar com mais detalhes. Um Abraco a Todos ! PSR,32912090B1A 2009/12/28 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: Olá, Pessoal! Sejam dadas duas permutações caóticas, digamos ABCDEFG e BCDEFGA. Quantas permutações simultaneamente caóticas em relação as duas podemos construir? (Engenhoso problema proposto pelo Paulo Santa Rita) Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA em que nenhuma das letras ocupa a posição ocupada na palavra MATEMATICA? Ou melhor, onde não há nenhuma coincidência de letra em nenhuma das posições? (Taí, um problema mal entendido e forte candidato ao desafio do ano 2010) Dar uma demonstração combinatória de que C(n)=n*C(n-1)+(-1)^n, onde C(n)=número de permutações caóticas de n objetos. (Proposto por Cláudio Buffara há décadas, mas permanecerá em aberto juntamente com o famoso problema das Caixas de fósforos de Banach por talvez mais uns cem anos adiante...) Um indivíduo fará uma reunião com 12 pessoas. Para enfatizar o caráter democrático da reunião todos sentarão em uma mesa redonda, cada qual em um lugar pré-estabelecido. O anfitrião, porém, é bisonho. E pode suceder que ele conduza cada participante a uma posição errada na mesa. Qual a probabilidade de isso ocorrer? (Esse é bacana! Parece que foi também de autoria do Paulo Santa Rita. Mas, afinal! Existe alguma relação entre um agrupamento linear e o seu correlato circular?) Abraços! Agora a pressa é amiga da perfeição. Chegou Windows 7. Conheça. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um criador de ovelhas
Ola Carlos e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,( escreverei sem acentos) Vou supor que ovelhas de mesmo peso sao indistinguiveis. Nos temos 15 ovelhas. A soma dos pesos e 70 + 72 + 32 + 66 + 30 =270. Segue que o valor medio sera 270/15 = 18. Somando a este valor25% dele mesmo, teremos 22,5. Esse é o nosso valor de referencia. E facil ver que se a ovelha de peso 30 nao entrar na escolha dosanimais, entao o valor de referencia nao sera ultrapassado ( pois,neste caso, o maior valor sera 22, inferior a 22.5 ). Portanto, umaescolha so vai atender o criterio de abate se, NECESSARIAMENTE, aovelha de 30 kg estiver incluida. Assim, na inequacao abaixo, INCLUIuma ovelha de 30 Kg. A inequacao que vai nos interessar sera : (30 + 22A + 18B + 16C + 14D) / ( 1 + A + B + C + D ) 22.5 Onde A, 0 = A = 3 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 22Kg; B, 0 = B = 4 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 18 Kg; C, 0 = C = 2 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 16 Kge D, 0 = D = 5 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 14 Kg. Simplificando a inequacao, temos : A + 9B + 13C + 17D 15 D # 0 nao nos interessa ( nao podemos escolher ovelha pesando 14 ).Logo, a inequacao se restringe a : A + 9B + 13C 15. Olhando-a, efacil ver que o maior valor possivel para as variaveis B ou C e 1 eque somente uma das variaveis B ou C podera ser 1, nao ambassimultaneamente. Fica portanto facil encontrar as solucoes ( nassolucoes abaixo ja esta incluida uma ovelha de 30 Kg ) no formado(A,B,C) : SOLUCOES COM C=0 : (0,0,0) - apenas a ovelha de 30 Kg(1,0,0), (1,1,0)(2,0,0), (2,1,0)(3,0,0), (3,1,0) SOLUCOES COM C=1: (0,0,1)(1,0,1) Portanto, admitindo-se que animais de mesma massa sejamindistinguíveis, temos 9 possibilidades de escolha para que ocriterio de abate seja satisfeito. Um abraco a Todos !PSR,61112090C19 2009/12/11 Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br: Olá amigos...será que algun de vcs já resolveu esta questão ou pode resolverfoi da UFCG 2005 2a fase... Um criador de ovelhas costuma adotar o seguinte critério para selecionar animais para abater: do total de n animais escolhe-se p animais. Se a média dos pesos os p animais for maior que a média dos pesos dos n animais mais 25% desta média, então os p animais estão prontos para o abate. No curral há 15 ovelhas cujos pesos em média são dados pela tabela abaixo. N° de animais Peso/animal Peso(total - kg) 5 14 70 4 18 72 2 16! 32 3 22 66 1 30 30 As possibilidades existentes para que o critério de abate seja satisfeito são a) 24 c) 18 e) 21 b) 20 d) 17 O gabarito é 21 (alternativa E)...não tô achando... valew, cgomes = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um criador de ovelhas
Olá Bruno e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, E verdade. Este e o caso (0,1,0), equivalente a uma ovelha de 30 comuma ovelha de 18, que da uma media de 48/2 = 24 22.5 O linha de raciocinio esta correta, as (in)equacoes sao corretas.Apenas esqueci de considerar esta solucao. Obrigado PSR,61112090D2A 2009/12/11 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com: Paulo, será que vc não esqueceu de contar a solução (0, 1, 0)? Isso corresponde à escolha da ovelha de 30kg e de uma ovelha de 18kg, o que dá uma média de (30+18)/2 = 24kg 22.5kg. Dessa forma, teremos encontrado o mesmo resultado. Abraço, Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/12/11 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Carlos e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,( escreverei sem acentos) Vou supor que ovelhas de mesmo peso sao indistinguiveis. Nos temos 15 ovelhas. A soma dos pesos e 70 + 72 + 32 + 66 + 30 =270. Segue que o valor medio sera 270/15 = 18. Somando a este valor25% dele mesmo, teremos 22,5. Esse é o nosso valor de referencia. E facil ver que se a ovelha de peso 30 nao entrar na escolha dos! animais, entao o valor de referencia nao sera ultrapassado ( pois,neste caso, o maior valor sera 22, inferior a 22.5 ). Portanto, umaescolha so vai atender o criterio de abate se, NECESSARIAMENTE, aovelha de 30 kg estiver incluida. Assim, na inequacao abaixo, INCLUIuma ovelha de 30 Kg. A inequacao que vai nos interessar sera : (30 + 22A + 18B + 16C + 14D) / ( 1 + A + B + C + D ) 22.5 Onde A, 0 = A = 3 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 22Kg; B, 0 = B = 4 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 18 Kg; C, 0 = C = 2 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 16 Kge D, 0 = D = 5 e o total de ovelhas escolhidas das que pesam 14 Kg. Simplificando a inequacao, temos : A + 9B + 13C + 17D 15 D # 0 nao nos interessa ( nao podemos escolher ovelha pesando 14 ).Logo, a inequacao se restringe a : A + 9B + 13C 15. Olhando-a, efacil ver que o maior valor possivel para as variaveis B ou C e 1 eque somente uma das! variaveis B ou C podera ser 1, nao ambassimultaneamente. Fic! a portanto facil encontrar as solucoes ( nassolucoes abaixo ja esta incluida uma ovelha de 30 Kg ) no formado(A,B,C) : SOLUCOES COM C=0 : (0,0,0) - apenas a ovelha de 30 Kg(1,0,0), (1,1,0)(2,0,0), (2,1,0)(3,0,0), (3,1,0) SOLUCOES COM C=1: (0,0,1)(1,0,1) Portanto, admitindo-se que animais de mesma massa sejamindistinguíveis, temos 9 possibilidades de escolha para que ocriterio de abate seja satisfeito. Um abraco a Todos !PSR,61112090C19 2009/12/11 Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br: Olá amigos...será que algun de vcs já resolveu esta questão ou pode resolverfoi da UFCG 2005 2a fase... Um criador de ovelhas costuma adotar o seguinte critério para selecionar animais para abater: do total de n animais escolhe-se p animais. Se a média dos pesos os p animais for maior que a média dos pesos dos n animais mais 25% desta média, então os p animais estão prontos para o abate. No curral há 15 ovelhas cujos pe! sos em média são dados pela tabela abaixo. N° de animais Peso/animal Peso(total - kg) 5 14 70 4 18 72 2 16! 32 3 22 66 1 30 30 As possibilidades existentes para que o critério de abate seja satisfeito são a) 24 c) 18 e) 21 b) 20 d) 17 O gabarito é 21 (alternativ! a E)...não tô achando... valew, cgomes ==! === Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teste de Primalidade AKS
Ola Joao de demais colegas desta lista ... OBM-L, Aqui ha uma boa descricao : http://pt.wikipedia.org/wiki/Teste_de_primalidade_AKS Aqui ha uma implementacao em C++ : http://gpoulose.home.att.net/gc/src/AKS_cpp.txt Uma abraco a todos ! PSR,4091209082A 2009/12/8 João Paulo V. Bonifácio joaop.bonifa...@gmail.com: Pessoal, Estou tentando implementar o teste de primalidade AKS, mas estou tendo muitas dificuldades em fazê-lo. Alguém sabe como fazer ou pode disponibilizar o código de algum programa que faça este teste? Abraços! -- João Paulo Vieira Bonifácio Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial - PET/Eng. Elétrica Fone: (34) 9942 - 7427 / (34) 3239 - 4754 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
Ola benedito e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) Seja An o conjunto de todos os triangulos cujos lados são numeros inteiros menores ou iguais a N. Entao, claramente, An-1 esta contido em An ... Significa isso que - representando por (A) o numero de elementos do conjunto A - podemos por : (An) = (An-1) + ( Bn) onde Bn e o conjunto dos elementos de An que não estao em An-1. E facil ver que os elementos de Bn são todos os triangulos de An nos quais ao menos um lado vale N. Quantos elementos tem Bn ? Bom, a principio, e facil ver que em Bn esta o triangulo equilatero de lado N. E igualmente facil perceber que Bn congrega tambem todos os triangulos isosceles e nao-equilateros nos quais dois de seus lados valem N, a saber, os triangulos {N,N,1}, {N,N, 2}, ... {N,N,N-1}. Computando tudo isso temos N triangulos. Portanto : (Bn)= N + (Cn) onde Cn e o conjunto de todos os triangulos de An nos quais um, e somente um, dos lados vale N, a saber, os escalenos cujo maior lado vale N e os isosceles não equilateros cujos lados iguais são menores que N. Os triangulos de lados {N,N-1,N-2} e {N,N-1,N-1} são exemplos validos para esta duas classes. Quantos são os elementos de Cn ? Todos os elementos de Cn tem um único lado medindo N e, alem disso, este lado e o maior lado. Isto implica que se representarmos genericamente um destes triangulos por {N, A, B}, devera ocorrer : 1)A+B = N+1, pois devemos ter N A+B 2)A+B = 2N-2, pois A N e B N significa isso que os elementos de Cn estao agrupados em classes disjuntas, nas quais todos os elementos de uma mesma classe tem o mesmo perimetro. Enumerando os elementos da classe {N,A,B} na qual A+B=N+1 ate a enumeracao da classe {N,A,B} na qual A+B=2N-2 teremos totalizado todos os elementos de Cn. Seja portanto D2p ( indice “2p” ) a classe de triangulos {N, A, B} de Cn na qual A+B=2p. Temos que 2p=N+1, N+2,..., 2N-2. Fixando uma D2p qualquer, podemos IMAGINAR que cada elemento desta D2p e uma sequencia de tres numeros, ordenados da esquerda para a direita, do maior lado para o menor lado. Agora, IMAGINE que as sequencias ordenadas descritas acima estao elas mesmas ordenadas de forma decrescente pelo elemento central ( o segundo termo de cada 3-sequencia ). O que vemos ? (N, (N-1)-0, (2p-N+1)+0) (N, (N-1)-1, (2p-N+2)+1) (N, (N-3)-2, (2p-N+3)+2) ... E ate onde podemos descer ? Ate X tal que (N-1)-X = 2p-(N-1)+X pois se (N-1)-X p-(N-1)+X claramente que o triangulo {N,(N-1-X,p-(N-1)+X} sera igual a algum dos anteriores, já computado. Assim : X = (N-1) – p. Para considerar o valor X=0, fazemos: 1 + X = N-p. E como 1+X deve ser inteiro, para não dependermos da paridade de N, colocamos : (D2p) = 1+X = piso(N – p) De tudo que vimos chegamos a : (An) = (An-1) + N + (Dn+1) + (Dn+2) + ... + (D2n-3) + (D2n-2) o que resolve o problema original formulado pelo Benedito. Agora, facamos alguns calculos praticos. N=1 = A1= 1 Obvio, pois apenas o triangulo {1,1,1} atende as condicoes de simetria do problema. N=2 = A2= 3 Obvio, pois alem do triangulo {1,1,1} somente os triangulos {2,2,1} e {2,2,2} interessam. N=3 = A3 = A2 + 3 + D4 = 3 + 3 + piso(3-2) = 3 + 3 + 1 = 7 Os 4 novos triangulos são {3,3,3}, {3,3,2}, {3,3,1} e {3,2,2} N=4 = A4=A3 +4+D5+D6 = 7 + 4 + piso(4 - 2,5) + piso(4 - 3)=13 Os 6 novos triangulos são {4,4,4},{4,4,3},{4,4,2},{4,4,1},{4,3,2} e {4,3,3} Agora, vamos considerar com mais atencao a expressao que fornece o numero de elementos de D2p: (D2p)=piso(N - p) Esta expressao e bonita ? Não sei … O que voces acham ? Eu tenho minhas duvidas … A funcao “piso” da uma certa assimetria a formula, tornando-a carrancuda. Ela e decididamente uma mulher com veu, mas eu vou apostar e continuar esta viagem com ela para ver aonde ela me conduz … Se ela for bela, ela sera fertil ! Esta formula nos diz quantos triangulos de lados inteiros positivos tem perimetro p, com as limitacoes : 1)Um unico lado deve valer N 2)N+1 =2p = 2N-2 E se quisessemos encontrar “todos os triangulos de lados inteiros que tenham perimetro 2p”, independente das limitacoes acima ? Nos temos elementos suficientes para resolver esta questao diretamente ? Temos. Eis como : Se um triangulo de lados inteiros tem perimetro 2p, o maior lado possivel deve ser L= p -1 se 2p e par; deve ser L=p – 0,5 se 2p e impar, pois em qualquer triangulo, o maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Sintetizamos tudo isso pondo L = piso(p – 0,5). E o menor maior lado possivel ? E claro que se M e o menor maior lado possivel deve ocorrer que 3M = 2p. Assim, o menor maior lado possivel e o menor M tal que 3M = 2p = M=teto(2p/3). Usando a notacao Si{ A,B : f(i) }=f(A) + f(A+1) + … + f(B-1) + f(B) para representar o somatorio e aplicando a expressao D2p=piso(N-p) aos resultados acima, chegamos a : T(2p) = ( L – M + 1) + Si{ M , L : piso( (3i/2) – p ) } onde M=teto(2p/3), L=piso(p-0,5) e T(2p) e o numero de triangulos com lados inteiros e
Re: [obm-l] 4444^4444
Olá Eric e demais colegas desta lista ... OBM-L, Sobre o ^ vou reproduzir aqui a belissima solucao do Alessandro Madruga Correia, onde se sugere indiretamente a imensa superioridade do Linux sobre o Windows Alessandro Madruga Correia escreveu : Boa tarde, Já que é para usar recursos computacionais amcorr...@chronos:~$ resultado=$(calc -- ^ ) amcorr...@chronos:~$ echo -n $resultado | tr -d 0-6 | tr -d 8-9 | wc -c 1605 para quem usa o GNU/Linux, o comando bc faz ^ brincando e imediatamente - NA LINHA DE COMANDO ! - sem ser necessario aprender MAPLE ou fazer qualquer programa ou usar qualquer outro utilitário do genero. Se voce estudar o MAXIMA, entao nunca mais vai querer falar do (r)Windows. A proposito, a minha distribuicao é o Debian/GNU Linux, o sistema operacional universal http://www.debian.org/index.pt.html Um Abraco a todos PSR, 40B0B250B0B 2009/11/11 Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com: 40231.10.1.2.2.1251131505.squir...@webmail.viaconnect.com.br Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable MIME-Version: 1.0 Confirmado. O numero ^ tem 1605 algarismos '7'. Basta calcular pelo programinha Maple: contar_setes :=3D proc(n): =A0=A0 f :=3D x - x - 10*floor(x/10): =A0=A0 g :=3D x - piecewise(f(x)=3D7=2C1): =A0=A0 m :=3D n=3B =A0=A0 quantos_setes :=3D 0: =A0=A0 algarismos :=3D floor(log[10](n))+1: =A0=A0 for i from 1 to algarismos do =A0=A0=A0=A0 quantos_setes :=3D quantos_setes+g(m): =A0=A0=A0=A0 m :=3D floor(m/10): =A0=A0 od: =A0=A0 print('o_n=FAmero_dado_tem'=2Cquantos_setes=2C'algarismos_sete')=3B =A0end=3B A saida eh: contar_setes(^)=3B =A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0 o_n=FAmero_dado_tem=2C 1605=2C a= lgarismos_sete [ eric campos bastos guedes -- ] [ matem=E1tico=2C escritor e pesquisador - ] [ A verdade tem v=E1rias faces e v=E1rias fontes ] [ twitter: mathfighter --- ] [ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ] [ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ] [ cel. (0xx 21) 8721-5420 ] Date: Mon=2C 24 Aug 2009 13:31:45 -0300 Subject: Re: [obm-l] ^ From: amcorr...@viaconnect.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Boa tarde=2C J=E1 que =E9 para usar recursos computacionais amcorr...@chronos:~$ resultado=3D$(calc -- ^ ) amcorr...@chronos:~$ echo -n $resultado | tr -d 0-6 | tr -d 8-9 | wc -c 1605 N=E3o entendi esse teu processo de 'pegar as orelhas dos d=EDgitos'...? Bom=2C fiz a conta aqui de cabe=E7a=2C deu um numerozinho: 51 036325037 255080482 040250195 524395924 782475482 284514747 828975986 739479076 862531615 833001864 027197875 434172496 782212810 360936998 814871028 023280409 517604289 704232997 250059817 651452033 902564981 053474342 143982434 ... [muitas MUITAS linhas deletadas]... 954187355 586887636 003568084 241221478 621695307 152384094 531375297 756356083 583426234 545493926 295612017 618527949 708463952 945505173 247787325 422994467 678743279 370416826 869347245 921635509 244741066 157981696 Deixa eu ver=2C 16211 d=EDgitos. Ah=2C pera a=ED=2C errei a conta l=E1 n= o meio=2C ali =E9 8 e n=E3o 9 Mas tudo bem=2C agora =E9 s=F3 contar os 7 (cont= ei as orelhas dos d=EDgitos e dividi por 2) s=E3o 1605 d=EDgitos de n=FAme= ro 7. =3B) =3B) =3B) Abra=E7o=2C Ralph. P.S.: Bom=2C o que eu quero dizer =E9 que n=E3o me parece haver um m=E9t= odo ol=EDmpico para resolver este tipo de problema (se algu=E9m descobrir= =2C me ensine!)... Mas pior que o que eu fiz acima deve estar certo. 2009/8/24 douglas paula : ol=E1 amigos da lista=2C trago um problema que vem me enrolando h=E1 alguns dias e=2C embora j= =E1 tenha pedido ajuda em algumas comunidades sobre matem=E1tica no orkut=2C aind= a n=E3o tenho uma solu=E7=E3o: Quantos algarismos 7 existem no resultado de ^ ? (considere a nota=E7=E3o decimal) =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista=2C sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D =20 _ Voc=EA j=E1 ama o Messenger? Conhe=E7a ainda mais sobre ele no Novo site de= Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=3DWindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out= 09= = Instruções para
[obm-l] Re: [obm-l] Lucro Máximo
Ola Gustavo e demais colegas desta lista ... OBM, Eu vejo as coisas assim : Se cada exemplar for vendido ao preco unitario de 100 - 5X as vendas subirao para 180+30X o que implicara numa receita bruta de (180+30X)*(100-5X). Como cada exemplar custa 40, o lucro obtido sera L(X) = (180+30X)(100-5X) - 40(180+30X)= (180+30X)*(60-5X). O objetivo e maximizar L(X) com a condicao de que 100-5x 40 = X 12. Se eu nao errei nenhum calculo acima, a parabola L(X) tem maximo em X=3, o que atende a condicao X 12. Logo, cada exemplar deve ser vendido a 100-3*5= 85 Esse e um tipico problema elementar de pesquisa operacional. Para mais variaveis, existe um metodo charmoso chamado de Metodo Vogel. Eis aqui uma questao que pode ser equacionada com os metodos da pesquisa operacional: PROBLEMA : Vai comecar um campeonato de futebol com um unico turno ( cada clube joga com todos os outros uma unica vez ) no qual participam 2N clubes. Uma vitoria vale 3 pontos, o empate vale um ponto e derrota nao confere pontos. Ao final, os P melhores classificados ( P N ) passarao para a proxima fase. ANTES DE COMECAR O CAMPEONATO, qual sera a quantidade minima de pontos que um clube devera fazer para ter certeza de estara entre os P primeiros classificados. OBS1 : note que conforme o campeonato vai avancando o minimo de pontos para estar entre os P primeiro muda, ou seja, ele e funcao da rodada. OBS2 : Pense numa classificacao em termos de pontos perdidos que tudo fica mais facil um abraco a todos PSR,3101109083A 09/11/9 Gustavo Duarte gvdua...@hotlink.com.br: É uma questão básica de ponto máximo/ mínimo, mas nem tanto Ao preço de $ 100,00 cada exemplar, um vendedor ambulante vende 180 exemplares de um uma mercadoria com um custo unitário de $ 40,00 o exemplar. Este vendedor estima que, para cada $ 5,00 de desconto no preço unitário, fará aumentar 30 exemplares nas vendas. O preço da mercadotia para maximizar O LUCRO desse vendeor é : Dúvida : na função da venda :V (X) = (100 - 5x).( 180 + 30x) , Xv = 7 logo preço = $ 65 na função do lucro : L (X) = ( 60 - 5x) . ( 180 + 30x) , Xv = 3 , logo lucro = 45, assim prço ( venda) = 45 + 40 = $85. Em qual preço (de venda) terei um lucro máximo ??? Quem puder ajudar ,desde já agredeço . = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios (2)
Ola Bluesman e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) Considerando que voce esta se referindo a uma prova que esta testando conhecimentos de nivel medio, a sua resposta esta correta. Alias. essa prova esta muito mais para pegadinha do que para afericao de conhecimento ... pois dizer que um polinomio tem 16 raizes complexas e falar muito pouco ( isso apenas implica que no CONTEXTO HABITUAL ONDE TAIS QUESTOES SAO PROPOSTAS, o grau do polinomio nao e menor que 16 ) e, alem disso, o que foi dito nao contribui em nada para a solucao da questao : e muito mais uma forma de desviar a atencao do estudante do que fornecer um dado importante para a solucao. Deploravel, portanto ! Note que existem contextos em que um polinomio de grau N tem mais que N raizes, sem que isso signifique uma derrogacao do Teorema Fundamental da Algebra. ( veja isso aqui : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html ) . Aqui esta um exemplo do que eu falei de ser algo pouco falado ( que nao faz parte da Matematica da Moda ) mas que, em minha opiniao, vai se tornar muito importante num futuro proximo. Alias, foi por isso que eu disse que no CONTEXTO HABITUAL ONDE TAIS QUESTOES SAO PROPOSTAS, vale dizer, onde impera o teorema fundamental da algebra, o algoritmo de divisao e o euclidiano, estamos num corpo ordenado completo etc etc etc um aoutra forma de verificar que a sua resposta esta correta e eliminando as demais opcoes, pois absurdas. Um abraco a todos ! PSR, 20311091338 2009/11/3 Bluesman bluesman2...@uol.com.br: Olá a todos, Enviei a questão abaixo para a lista há mais ou menos dez dias. Como até agora não houve qualquer comentário, segue o meu raciocínio: Independentemente do grau de R(x), temos que o grau de B(x) é maior do que o grau de R(x). Portanto, ao dividirmos R(x) por B(x), temos como quociente o polinômio nulo. E como o polinômio nulo admite infinitas raízes, concluímos que a alternativa correta é a (A). Certo ou errado? Trata-se de uma questão cobrada no concurso para Professores organizado pelo DEPENS (Departamento de Ensino da Aeronáutica). A prova apresenta algumas questões interessantes que podem ser úteis aos colegas professores (para fazer o download basta acessar o site da EPCAR). Espero não ter sido precipitado reenviando o problema e aproveito para recomendar um livro muito bom sobre polinômios: Polynomials, de E.J. Barbeau. Springer. [ ]'s. Numa divisão de polinômios, dividindo-se o polinômio A(x) , que tem exatamente 16 raízes complexas, por B(x) , encontra-se o quociente C(x) e o resto R(x). Sabe-se que . B(x) 0 (B(x) diferente de zero) . C(x) e B(x) possuem o mesmo número de raízes complexas; . R(x) tem o maior grau possível nesta divisão. É correto afirmar que, na divisão dos polinômios R(x) por B(x) , encontra-se um polinômio a) quociente que possui infinitas raízes. b) resto de grau zero. c) quociente que é um polinômio unitário. d) resto que possui 8 raízes complexas. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Boa prova de Matemática
Ola Nehab e demais colega desta lista ... OBM-L, Eu tenho com o IME uma divida de gratidao impagavel ... Eu ainda nao tive tempo para olhar a prova, mas, baseando-me nas declaracoes ( abaixo ) do carissimo Nehab, fico feliz ... parece que a mediocridade de anos passados acabou. Eu ja defendi aqui que o IME deveria (deve) colocar questoes de carater olimpico em todos os seus vestibulares. Isto, ao meu ver, nao só prestigia o movimento olimpico como contribui para que aqueles estudantes que decoram metodos de solucao nao sejam bem sucedidos. Matematica e criatividade, e reflexao, nao e adestramento. Além disso, o futuro engenheiro que ja vem com esta visao e bagagem olimpicas, muito provavelmente, sera um projetista melhor que aqueles que so aprendem receitas prontas. Na vida atual e sobretudo no futuro proximo, de todo profissional decente e e sera exigido habilidade no USO CRIATIVO do conhecimento. A erudição, quando nao acompanhada de criatividade nao passa de um e aspecto da mediocridade. Se o IME enveredou por esta vertente e nela pretende se manter, viva o IME ! Esta prova NÃO teve este perfil. Pelo menos este ano a prova tá mais para os alunos mais brilhantes (talvez com perfil olímpico) e não vejo problema com isto (no mínimo as questões 6 a 10 - 50% da prova sugerem isto...). Que bom se os melhores em capacidade de interpretação do que se lê sejam os alunos do IME no ano que vem... Abraços Nehab, o eterno apaixonado por tudo que diga respeito ao IME... :-)
[obm-l] Re: [obm-l] O que ocorre ao mover o Foco da Parábol a ?
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) 1) Tradicionalmente, as letras a e b sao usadas para representar os semi-eixos da elipse e da hiperbole. Ocorre que no software, o programador tem a liberdade de representar estes objetos ao modo dele ... pode ocorrer, por exemplo, que aquilo que nos matematicos entendemos por semi-eixo maior e comumente representamos por a seja presentado por a/2. Assim, ao alterar o a do programa voce pode estar alterando o eixo-maior. Em que pese estas liberdades, e certo que a forma da elipse e da hiperbole dependem dos valores dos semi-eixos principais e, portanto, alterar estes valores deve alterar a forma das conicas. 2) A parabola, por definicao, e o conjunto dos pontos de um plano equidistantes de uma reta fixa ( DIRETRIZ) e de um ponto fixo (FOCO). Assim, se voce alterar a reta diretirz ou o foco (ou ambos ) e normal que a forma da parabola se altere. Voce deu uma pista sobre o programa que desenha a parabola. Se voce tracar uma reta que contem o foco e e perpendicular a reta diretiriz, o ponto medio do segmento que liga o foco ao pe desta perpendicular pertencera a parabola ( pois e, claramente, equidistante do foco e da reta diretriz). Se alterando o foco ( ou a reta diretriz) a reta diretriz se altera e porque o programador, muito provavelmente, pensou assim : O usuario fornecendo a reta diretriz e o foco basta eu partir do ponto medio ( construir o vertice da parabola ) e, a seguir, ir construindo outros pontos equidistantes. A seguir, posso usar curvas de Berzier para tracar as demais partes da parabola. Note que esta maneira de ver as coisas e uma decisao do programador, mas eu afirmo que este sofware poderia ter mais qualidade, pois nada nos impede de TORNAR INDEPENDENTE a posicao do foco do movimento da diretriz, vale dizer, e possivel construir um programa no qual a alteracao da reta diretirz ( ou do foco ) NAO AFETA a posicao do foco ( reta diretirz). Esse engenheiro de sistemas estudou pouca matematica ... Um abracao PSR, 30408090A24 2009/8/4 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Olá pessoal da lista muito bom dia. Estou montando as parametrizações das cônicas e estou seguindo pelo livro do Lehmann. Já montei as da Elipse e da Hipérbole. Utilizei-me de variáveis a e b para ambas. Em meu entendimento, por favor me corrijam se estiver errado, a e b funcionaram como se fossem os valores dos eixos maior e menor respectivamente, tanto da elipse quanto da hipérbole. Apliquei esta situação ao Software Régua e Compasso de Geometria Dinâmica e na medida em que alterava os valores de a e/ou de b as cônicas também se alteravam. Mas estou tendo uma grande dúvida em relação á Parábola. Pelo livro do Lehmann, págna 241 ele dá como parametrização para a Parábola as seguintes expressões: x = p * cotg^2 (t) - (p vezes cotangente ao quadrado de t) e y = 2*p cotg (t) - (duas vezes p vezes cotangente de t) , onde p é a distância do Foco à Reta Diretriz. Minha Dúvida: O que ocorre se movimentarmos o Foco da Parábola ? Ou mesmo a reta Diretriz ? Quando apliquei no programa estas condições e movimentei a reta Diretriz automaticamente o Foco variou sua posição e a curva da parábola também. Está correta a alteração da curva da parábola pela alteração do Foco ou mesmo da Reta Diretriz ? Bem pessoal, desculpe se a dúvida é muito básica, talvez não tenha entendido alguma coisa, mas para mim estou acahndo coerente que a curva se altere já que a escrevi em função de p. Abração, Marcelo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] REFORÇO COMBINATÓRIO!
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Supondo que num mesmo hotel voce diferencia os quartos disponiveis ( exemplo : (joao,hotel A,quarto 1) # (joao, hotel A, quarto 2) ), eu pensaria assim : O que caracteriza univocamente uma alocacao e um trio da forma (hotel,rapaz, quarto). Consideremos, a principio, o caso em cada rapaz fica em um hotel ( nenhum hotel com 2 rapazes ) 1) Escolhemos 3 hoteis. Isso pode ser feito de 4 formas. Fixada uma escolha, podemos permutar os rapazes pelos hoteis escolhidos de 3!=6 modos. Teremos portanto 4*6=24 formas de colocar 3 rapazes em tres hoteis. Fixados uma dessas escolhas, podemos varia cada rapaz em um dos dois quartos de cada hotel, dando 24*2*2*2=24*8=192 maneiras. Existe tambem a possibilidade de alocar dois rapazes em um hotel, ficando o terceiro rapaz em um dos tres hoteis restantes. Para ver como e possivel fazer isso, considere o seguinte : 2)Podemos escolher dois rapazer de 3 maneiras. Como ha 4 hoteis, isso da 3*4 = 12 maneiras de alocar dois rapazes em um hotel. Em cada uma destas alocacoes podemos permutar os quartos onde os rapazes ficarao, dando portanto 12*2 = 24 maneiras distintas de alocar 2 rapazes em um dos hoteis. Fixado qualquer uma destas maneiras, há 6 possibilidades de alocar o terceiro rapaz ( pois restam 3 hoteis, cada um com 2 quartos ). Logo, o total de possibilidades e 24*6= 144 1) + 2) = 192+144= 336 maneiras. Um abraco a todos PSR,40E07090F2A 2009/7/15 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: Turma! Tenho a ligeira impressão que estou mesmo precisando de aulas de reforço, pois em um único problema cheguei a incrível marca de 4 respostas diferentes...e o pior pelo menos três dessas respostas estão erradas, se não todas... Três estudantes chegaram juntos a uma cidade para participar de um concurso e, não tendo feito reservas com antecedência, constataram que, em cada um dos quatro hotéis da cidade, existam apenas duas vagas disponíveis. Sabendo-se que os três não podem ficar juntos num mesmo hotel, pode-se afirmar que o número máximo de pessoas de hospedagem de que dispõem é igual a: 1) Você pode formar 3 duplas diferentes C3,2=3 e como são 4 hotéis elas podem ser acomodadas de 3*4=12 maneiras diferentes. Em cada caso restam, nos outros 3 hotéis 6 quartos diferentes para serem ocupados pelo aluno restante: 12*6=72 2) Dois no mesmo hotel (e outro em um dos 3 restantes): C3,2=3 maneiras de formar pares (C3,2)*4=12 maneiras de acomodar uma dupla em 4 hotéis. 3 maneiras de acomodar o terceiro estudante. parcial: 12*3=36 maneiras. Um em cada hotel: 3*4=12. Total = 48. 3) Cada um dos 3 rapazes devem ficar sòzinhos em um dos 4 hotéis: Fixando qualquer um dos rapazes no 1º hotel os demais ficam automaticamente definidos. Essa situação gera 6 combinações possíveis, então: 6*4=24 maneiras de dispormos os 3 rapazes: sendo 1 em cada 1 dos 4 hotéis existentes. Colocando 2 rapazes num mesmo hotel sobram 3 hotéis para o terceiro rapaz se alojar. Para 2 rapazes juntos e 1 terceiro sòzinho, existem: 4*3=12 maneiras de dispô-los nos 4 hotéis. Como os três rapazes combinados 2 a 2 geram mais 3 situações, então: 3*12=36 maneiras de dispormos os 3 rapazes: sendo 2 em cada 1 dos 4 hotéis e 1 em cada um dos 3 hotéis restantes. Portanto: 24+36=60. 4) 8 * 6 * 4 = 192. A propósito, para chegar à estação final de uma estrada de ferro passo por 8 estações. De quantos tipos de passagens disponho? (Essa é boa!!!) Abraços! Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] off topic off topic
Olá Hermann, Eu recebi esta mensagem. um abraco PSR,61007090922 2009/7/10 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Não estou recebendo mais os emails da lista? Estou enviando esta mensagem para ver se a lista recebe meus emails. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de números reais
Ola Aline, A demonstracao direta costuma esconder a essencia da coisa. E necessário voce visualiza-la antes de monta-la. No caso particular sob consideracao, IMAGINE o ponto medio entre a e b, isto e, imagine c=(a+b) / 2. Vai chegar um momento que os Yn's ESTARAO e PERMANECERAO a direita de c e os X's ESTARAO e PERMANECERAO a esquerda de c. Quando isso ocorre teremos que Xn Yn ... Rigorosamente falando, podemos escrever assim : Seja E = (b - a) / 2. Entao E 0, pois b a. Logo, por definicao de LIMITE, temos que : 1) Existe um natural N1 tal que n N1 implica Xn pertence a (a - E, a + E). Como E=(b-a)/2 segue que existe N1 tal que n N1 implica Xn a+E = (a+b) /2, isto e, n N1 = Xn (a+b) / 2 2) Existe um natural N2 tal que n N2 implica Yn pertence a (b-E,b+E). Como E=(b-a)/2 segue que existe N2 talo que n N2 implica Yn b-E = (a+b) /2 Tomando N3 = max{N1,N2} vemos que para n N3 implica que Xn (a+b)/2 Yn, ou seja , para todo natural n N3 teremos que Xn Yn, que é o que queriamos demonstrar. Um abraco a todos ! PSR,21807091207 Como a b, seja E = (b - a) / 2. Entao E 0. Por definicao existe um natural No tal que N No implica que Yn pertence a (b-E,b+E), vale dizer, 2009/7/6 Aline Correa alineuerj1...@gmail.com: Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise Real I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém poderia me ajudar? Segue abaixo as questões: Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a b, prove que existe n0 pertence N tal que n n0 = xn yn. Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E 0 dado, existe n0 pertence N tal que m, n n0 = |xm - xn| E. Desde já grata. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓRIA!
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Dados n pontos no plano (n=3), o número de distâncias distintas entre eles é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema Difícil!) 1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2), pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quando N=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquer configuracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos a duas distancias distintas. 2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2), tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que tal expressao fornece numeros irracionais para diversos N's, como entender, por exemplo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano darao origem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ? Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2), vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ? 3) Mesmo se a expressao correta for PISO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ) ha problemas, pois para N=5 teremos PISO( { [ 5 - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano darao origem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regular convexo, por exemplo). Sera TETO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ), onde TETO(X) e o menor inteiro maior ou igual a X ? Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue : PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidas por N pontos distintos de um plano. ? Um Abracao PSR, 40306090D02 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Ola Eduardo e demais colegas desta lista ... OBM-L Eu disse que a solucao era truculenta porque nao parei para rever a solucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fui escrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo e ver voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista. Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedes segundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo de mesma base e igual altura. Ele usava o famoso metodo da exaustao, um dos precurssores do nosso atual Calculo Integral. Resolvi entao fase algo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de um segmento hiperbolico ( sem usar Calculo Dif ou/e Calculo Int, mesmo porque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da area do triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma base e igual altura. Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : Area de um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes E olha que nao so e possivel calcular essa area como tambem se descobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazer isso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT, como calcular a area de um segmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base do segmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e altura ? Fica o problema . Um abraco a todos ! PSR,2250509082F 2009/5/25 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br: Viva Paulo, Carlos e colegas da lista. Desculpem meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos nos westerns das matinês de domingo). Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros. Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci deixá-lo um pouco menos truculento, como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de obra. Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares). Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy = 12. Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 = 12.z ou x =3 (*). Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo 4 xy = 12 que é (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo (A,B,C) = (29,25,6). Soluções com x e y de paridades diferentes exigem o denominador de (**) xy - 4 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a (A,B,C) = (20,15,7) e (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5). b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) correspondendo a (A,B,C) = (17,10,9). A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*) e y = 4 com z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =z (e que daria o mesmo triângulo que estamos obtendo, apenas permutando dois lados). Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6). Portanto sua solução está correta. Um abraço. Eduardo Wilner Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] FW: TERRA DOS MATEMÁTICOS!
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce gostou das Investigacoes Aritmeticas ? Fico feliz e obrigado pelo elogio. Em verdade esta mensagem e a exposicao de estudos que eu fiz quando ainda era muito jovem, crianca ainda. E apenas uma parte de um estudo mais amplo. Na epoca o meu objetivo era encontrar as colunas ocultas ( ou faces ocultas ) do traingulo de Pascal. Hoje eu sei com fazer isso. Inclusive ja publiquei aqui algumas investigacoes neste sentido. Se voce verificar minhas primeiras mensagens para esta lista vai notar que la eu digo que havia descoberto coisas que nao estao nos livros. Na verdade foram muitas coisas, pois sempre e naturalmente gostei de pensar. Acho que e natural que todo jovem disciplinado e dedicado, que realmente gosta de Matematica faca (re)descobertas de fatos que os matematicos do passado ja fizeram. Por exemplo, o Gugu redescobriu um tipo de solucao para equacoes do 3 grau ja descoberto pelo Euler e o Nicolau ja disse aqui que redescobriu o algoritmo do calculo de raizes quadradas. Acho que isso e natural e esperavel, nao signifcando nada alem disso ! Seria possivel dizer o menor N tal que 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N P, para um P dado, sem usar aproximacoes com a constante de Euler Macheroni ? Era isso que eu queria saber. Nao entendi a passagem abaixo : Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor do que 1 será divergente. Então, não existe um menor expoente r para o qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um menor expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736, que a soma dos inversos dos primos é divergente. Eu me referi a soma das r-esimas potencias dos inversos dos primos. Como a soma dos inversos dos primos e divergente entao, com certeza, existe um r 1 tal que a serie : 1 + (1/2) ^r + (1/3)^r + (1/5)^r + (1/7)^r + ... + (1/P) ^r + ... converge. Qual o menor r que atende esta condicao ? Euler mostrou que r=1 nao serve, pois ele provou que a soma dos inversos dos primos e divergente. Assim, r 1. Qual o menor r ? Sera alguma das constantes que conhecemos ? Sera um novo numero irracional importante ? Bem falastes ! A serie harmonica ! Eu nao me canso de admira-la ! Ela e altamente sensivel. Voce colocou um expoente um pouquinho maior que 1 em seus termos, ela converge. Se mudar o sinal de + para - dos termos cujos denominadores formam uma PA, ela converge. De alguma forma ele deve servir como uma especie de medida ou termometro de convergencia, mas eu nao atinei como fazer isso. Eu apreciaria muito se alguem pudesse falar algo a respeito. Um Abraco a Todos ! PSR,4200509090B 2009/5/19 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: TERRA DOS MATEMÁTICOS! Date: Tue, 19 May 2009 15:36:35 + Ok! Nehab, bom progresso para quem já foi denominada de Terra dos Humoristas. Não é à toa que o autor da mais engenhosa distribuição das 3 barras de chocolate entre quatro crianças é um Cearense, aluno do curso de licenciatura em matemática-UECE. Foi também o pioneiro a discordar da afirmação do colega Takiyama 1/x*x#x*1/x na calculadora do feirante...Experimentem com seus pupilos a pueril situação: Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? Grande Paulo! Parabéns pela enquete Investigações Aritméticas, pois me passou despercebida, na época. Uma verdadeira pérola.Campeão! Quanto à questão do menor N tal que 1+(1/2)+...+(1/N)P, Euler demonstrou que a soma dos termos da Série Harmônica, para N tendendo ao infinito, é lnN+0,5772..., ou seja para atingir um inteiro P razoavelmente grande basta fazer lnN=P-0,5772... onde N é (2,718281828...) elevado a P-0,5772... Esse caminho permite obter uma ordem de grandeza bastante boa, mas para saber exatamente o menor N, teremos que trabalhar com muitas, mas muitas casas decimais. Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor do que 1 será divergente. Então, não existe um menor expoente r para o qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um menor expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736, que a soma dos inversos dos primos é divergente. Inteligente, este rapaz que
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Ola Wilner e demais colegas desta lista ... OBM-L, Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! Vem ajudar a levantar o nivel de discussao da nossa lista ! Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode ser expressa nos seguintes termos : A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na expressao acima, chegaremos a : (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1) Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira possibilidade. Facamos entao : B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois, fica facil ver o seguinte : 1) X, Y e Z são inteiros pares 2) X+Y+Z = A+B+C 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. Logo : 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou igual a 1/48. Seja portanto : XY = 48 e XZ = 48. Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) = 16Z+16Y+16X=XYZ = 16Y+16X = (XY - 16)Z = Z = (16Y + 16X) / (XY - 16) Mas Z = 48/X. Logo : (16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X= 16/X Y = (24/X)+(X/2) CASO X=2 ( Y = 24 e Z = 24 ) 16/2 Y = (24/2)+(2/2) = 8 Y = 13 = Y=10 ou Y=12 Y = 10 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) = Z = 48 A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6 Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6) Valido Y=12: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) = Z = 28 A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7 Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7) Valido *** CASO X=4 ( Y = 12 e Z = 12 ) 16/4 Y = (24/4)+(4/2) = 4 Y = 8 = Y= 6 ou Y=8 Y = 6 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) = Z = 20 A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5 Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5) Valido Y=8: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) = Z = 12 A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6) Valido *** CASO X=6 ( Y = 8 e Z = 8 ) 16/6 Y = (24/6)+(6/2) = 8/3 Y = 7 = Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) = Z = 20 A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5 Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) = Z = 9.6 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=8 ( Y = 6 e Z = 6 ) 16/8 Y = (24/8)+(8/2) = 2 Y = 7 = Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) = Z = 12 A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6 Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32) = Z = 7 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=10 ( Y = 4.8 e Z = 4.8 ) 16/10 Y = (24/10)+(10/2) = 1.6 Y = 7.4 = Y= 2 ou Y=4 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) = Z = 48 A=(2+48)/2=25, B=(10+48)/2=29 e C=(10+2)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6) Invalido : ja descoberto Y=4: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) = Z = (28/3) Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=12 ( Y = 4 e Z = 4 ) 16/12 Y = (24/12)+(12/2) = (4/3) Y = 8 = Y= 2 ou Y=4 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) = Z = 28 A=(2+28)/2=15, B=(12+28)/2=20 e C=(12+2)/2=7 Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7) Invalido : ja descoberto Y=4: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) = Z = 8 A=(4+8)/2=6, B=(12+8)/2=10 e C=(12+4)/2=8 Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8) Invalido : ja descoberto *** CASO X=14 ( Y = 3.4... e Z = 3.4... ) A partir daqui, devido a restricao acima, basta analisarmos os casos em que Y=2 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12) = Z nao e inteiro = o triangulo e invalido *** CASO X=16, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16) = Z = 18 A=(2+18)/2=10, B=(16+18)/2=17 e C=(16+2)/2=9 Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17) Valido *** CASO X=18, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20) = Z = 16 A=(2+16)/2=9, B=(16+18)/2=17 e C=(2+18)/2=10 Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10) Invalido : ja descoberto *** CASO X=20, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24) = Z = 44/3 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=22, Y=2 Z=16( (X+Y) /
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderia servir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada ... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, artigo e aquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto e material de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem. . Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao : Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P, onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro do triangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro. Agora, amenidades a parte, aqui vai um primeiro problema relativo a uma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio e mostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca ( Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um caminho equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequencia equivalente do plano Vamos ao problema : Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) - (1,0) - (1,1) - (0,1) -(-1,-1) - ((-1,0) - (-1,-1) -(0,-1) - (1,-1) - (2,-1) - (2,0) -(2,1)-(2,2)-(1,2)-(0,2)-(-1,2)-(-2,-2)- ... Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de (0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamais passe por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cada passo, o mais proximo possivel de (0,0). . Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece as coordenadas do proximo passo do caminho em funcao do(s) passo(s) anterior(es). Um Abracao a Todos ! PSR,31905090E05 2009/5/19 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Oi, Paulo, Eduardo e colegas, Uma curiosidade: o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes... Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em seu portal. O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio, pois possui centenas de idéias criativas. O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma reforma recentemente e está 1000 vezes melhor. Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) http://www.obmep.org.br/ e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país. Grande abraço, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Wilner e demais colegas desta lista ... OBM-L, Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! Vem ajudar a levantar o nivel de discussao da nossa lista ! Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode ser expressa nos seguintes termos : A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na expressao acima, chegaremos a : (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1) Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira possibilidade. Facamos entao : B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois, fica facil ver o seguinte : 1) X, Y e Z são inteiros pares 2) X+Y+Z = A+B+C 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. Logo : 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou igual a 1/48. Seja portanto : XY = 48 e XZ = 48. Com as restricoes acima ja e possivel
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Ola joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, OK ! Fico aguardando voce publicar o link. Um Abraco PSR,21005090A16 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,... introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P] Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio completa pra você. Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção. João Luís. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já foi enviado sobre esse assunto, com o intuito de pesquisar novos fatos, novas abordagens, e enriquecer minha aula. Cheguei a uma mensagem sua de 15 de outubro de 1999, com o assunto Investigações Aritméticas, do qual gostei muito. Em certa altura do seu texto, você cola duas figuras no corpo da mensagem. Você ainda possui essas figuras? Poderia enviá-las para mim? Se puder me ajudar, agradeço muito. Um abraço, João Luís. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita
Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Agora lembrei. Infelizmente nao tenho mais as figuras ali citadas. Talvez lhe seja util falar um pouco da motivacao para este desenvolvimento. Quando eu estudei este assunto ( PA de ordem superior ) pela primeira vez me deparei com o seguinte teorema : A soma dos termos de uma progressao aritmetica de ordem P e um polinomio de ordem P+1 Este teorema e criticavel de diversas maneiras. Vou citar aqui as duas principais : 1) Pressupoe um conceito de ordem de uma progressao aritmetica que nao esta explicitamente enunciado e explicado 2) Voce precisa resolver um sistema de equacoes lineares para encontrar o polinomio que representa a soma dos termos da PA de ordem mais alta. Exemplo : Suponha que voce deseje encontrar o polinomio que representa a soma da progressao aritmetica de 2 ordem : 2^2, 5^2, 8^2, 11^2, ... , (3N-1)^2, ... Usando esse teorema voce precisa fazer assim : 1) Supor um polinomio soma S(N) = AN^3 + BN^2 + CN + D. fazer : 2) Fazer : S(1) = A + B + C + D = 4 = 2^2 S(2) = 8A + 4B + 2C + D = 29 = 2^2 + 5^2 S(3) = 27A + 9B + 3C + D = 110 = 2^2 + 5^2 + 8^2 S(4) = 64A + 16B + 4C + D = 131 = 2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 3) Resolver o enorme sistema acima. 4) Montar o polinomio soma com coeficientes A, B, C e D Imagina para progressoes de ordem mais alta, digamos, de 7 ordem, etc. Um absurdo ! Portanto, era natural que eu procurasse uma forma de botar ordem nesta bagunca e desenvolver uma forma inteligente de fazer as coisas. Esta foi a minha principal motivacao. Com as tecnicas que eu desenvolvi e que voce pode ver na mensagem cujo link voce postou, voce pode encontrar o polinomio soma de uma PA de ordem qualquer em menos de 1 minuto. No caso particular que eu citei, temos : S(N) = A*Binom(N,1) + B*Binom(N,2) + C*Binom(N,3) onde A= A1=2^2 =4 , B=A2- A1= 5^2-2^2=21 e C=A3-2*A2 + A1 = 8^2 - 2*5^2 + 2^2=18 ou seja : S(N) = 4*Binom(N,1) + 21*Binom(N,2) + 18*Binom(N,3) As demonstracoes estao lá. Note que isto e um pequeno aspecto de algo mais amplo. Por exemplo, voce pode estender o conceito de progressao arimetica para incorporar progressoes de ordem negativa e fracionaria. A sequencia 1, (1/2)^3, (1/3)^3 , (1/4)^3 e um exemplo de uma PA de ordem -3. Neste caso, nao nos interessa a soma de uma quantidade finita de termos, mas o valor para onde a serie converge. A importancia de se estudar PA's de ordem superior e poder tratar de TRIANGULOS ARITMETICOS, que sao na verdade familias de PA's. Por exemplo, considere a sequencia : O triangulo de Pascal e apenas um caso particular dentro do universos dos trainguloas aritmeticos. Enfim, este estudo tem aplicacoes simles, como esta que voce esta abordando, mas tem tambem implicacoes nao tao simples, que nao e cabivel espor aqui. Um Abracao PSR, 21805090C01 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: O link é http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.1999a/msg00191.html Na verdade, você não anexou as imagens, e sim colou na mensagem... mas elas não aparecem aqui! - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 10:22 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, OK ! Fico aguardando voce publicar o link. Um Abraco PSR,21005090A16 2009/5/18 João Luís joaolui...@uol.com.br: Você faz uma exposição bastante interessante sobre PAs de ordem 1, 2, 3,... introduzindo números binomiais (n,p), que vc denotou, na época, [N/P] Se ainda não deu pra lembrar, procuro a mensagem novamente e a envio completa pra você. Um abraço e muito obrigadoe pela sua atenção. João Luís. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 18, 2009 8:43 AM Subject: Re: [obm-l] A/C Paulo Santa Rita Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Caro Joao, nao me lembro do que trata esta mensagem. Portanto, nao sei dizer se ainda tenho a suposta figura que porventura tenha anexado ... De forma mais especifica, qual o tema da mensagem ? E um problema particular de PA ou trata-se de uma possivel ampliacao deste conceito ? Fico feliz em saber que alguma coisa que publiquei aqui pode vir a ser util para enriquecer a sua prelecao. Para que esta mensagem mantenha a tradicao da nossa lista, vou postar aqui um problema - descobri isso, agora - antigo, postado pelo Eduardo Wilner, que, pelo que vi, nao despertou o interesse de qualquer dos membros desta nossa lista. E bonitinho : PROBLEMA : Determine todos os triangulos de lados inteiros nos quais o raio do circulo inscrito vale 2. Um Abraco a todos ! PSR,2180509082A 2009/5/17 João Luís joaolui...@uol.com.br: Esta mensagem é sobre outra mensagem, que o PSR enviou pra esta lista, há muito tempo atrás... Paulo, Preparando uma aula sobre progressões aritméticas, recorri aos arquivos da lista para pesquisar o material que já
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Ola Denisson, Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Pessoal, penso que e natural que esta convivencia informal que cultivamos aqui inevitavelmente nos leva a desenvolver certa simpatia por algumas pessoas... Estou seriamente preocupado com o nosso amigo Nehab, pois, pelo que estou sabendo das ultimas mensagens, ele esta em seu escritorio, atracado com um violento Sangaku. Alguem tem noticias dele ? Bom, amenidades a parte, vamos tentar domar este violento sangaku. Vou usar a figura sugerida pelo Denisson, na mensagem abaixo. Seja AP=X. Sejam tambem : 1) T1, T2 e T3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R2 ) inscrito no traingulo ABP respectivamente nos lados AB, AP e PB 2) Q1, Q2 e Q3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R1) inscrito no triangulo PCD respectivamente nos lados CD, DP e PC. R3 e o raio do circulo inscrito no triangulo BPC E facil ver que a area do triangulo BPC e sempre 1/2, independente do valor de AP=X que escolhermos. Sabemos que esta area pode ser expressa assim : 1/2 = R3 *( semi-perimetro do traingulo BPC ) E quem e o semi-perimetro do traingulo BPC ? Vejamos : PB = PT3 + T3B = X - R2 + 1 - R2 = 1 + X -2*R2 PC = PQ3 + Q3C = (1-X) - R1 + 1 - R1 = 2 - X - 2*R1 BC = 1 Logo : semi-perimetro = (4 -2*R1 - 2*R2)/2 = 2 - R1 - R2. E daqui segue : R3*(2 - R1 - R2) = 1/2 = 2 - ( 1/2*R3 ) = R1 + R2 Ou seja, a relacao acima entre os 3 raios independe do valor AP=X que escolhermos. Agora vamos a pergunta dois : Existe X tal que R1:R2:R3 = 1:2:3 ? Se existir um tal X entao R1 + R2 + R3 / 6 = R3/3. Substituindo R1 + R2 por 2 - ( 1/2*R3), ficara : 2 - (1/2*R3) + R3 = 2*R3 = R3 = (2 - raiz_quad(2) ) / 2 ( a outra raiz nao serve por ser maior que 1 ) E facil ver que este valor so ocorre quando AP=X=0, reduzindo-se um dos circulos a um ponto. Assim, nao existe X 0 que torne R1:R2:R3 = 1:2:3. Um Abraco a todos ! PSR, 61505090B21 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta PC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] formulas para numeros primos
Ola Bouskela, Em off eu ja lhe respondi. Se quiser publicar aqui a parte academica da resposta, pode publicar. PROBLEMA : Sejam dados A_1, A_2, ..., A_n inteiros positivos com A_i A_k sempre que i k. Considere o produto P de todas as diferencas da forma ( A_i - A_k ), onde i k. Fixado N 3, encontre o D tal que D divide P, independe dos A_i dados. Um Abraco a Todos PSR,41305090D11 2009/5/12 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá Santa Rita e demais colegas! Olá a quem, como eu, gosta de Filosofia (veja o PS) e tem a sorte - a mesma sorte que tenho - de ser (muito bem) casado com uma escritora! Bem, Santa Rita, vou discordar (só um pouquinho) das suas críticas às minhas críticas. Lá vai: Sou um crente fervoroso do seguinte teorema (a ser demonstrado): Toda e qualquer descoberta feita na Matemática teve, tem ou terá alguma aplicação prática. Assim, defendo que um livro sobre Primos não pode prescindir de falar sobre Criptografia Assimétrica, porque esta é, atualmente, a principal aplicação dos Primos. Afinal, não podemos ensinar um estudante a somar, sem explicar que, tendo ele 4 laranjas, ao comprar mais 2, passará a ter 6 laranjas. Desde os primórdios, foi esse o leitmotiv do desenvolvimento da Matemática (e de TODAS as Ciências!). Veja que o Lobachevsky, o Bolyai, o Riemann... quando inventaram as Geometrias Não-euclidianas não sabiam qual seria a aplicação de um troço tão inusitado. Por isso, seus trabalhos restringiram-se à Matemática Pura e tiveram pequena repercussão. Hoje, entretanto, estas Geometrias estão na ordem do dia, devido à sua aplicação na Teoria da Relatividade. É claro que um trabalho atual sobre elas teria, necessariamente, que abordar como é a sua formulação no âmbito da Física Relativista de Einstein (até mesmo pelo seu contexto histórico). O livro do Eric não está apresentando um conceito novo da Teoria do Números. Os Primos nasceram junto com os primeiros passos da Matemática. Em sendo assim, para que servem? Albert Bouskela bousk...@msn.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Paulo Santa Rita Sent: Tuesday, May 12, 2009 2:29 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] formulas para numeros primos Oi Eric e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( ESTOU REENVIANDO A MENSAGEM PORQUE ELA FOI INCOMPLETA ) Li com mais atencao o seu trabalho. Li tambem - agora - a(s) critica(s) que voce ja recebeu. Reitero que gostei dele. E uma exposicao elementar e introdutoria sobre um tema especifico da Teoria dos numeros, nomeadamente a exposicao de algumas funcoes e tecnicas que geram numeros primos, algo que nao se ve com frequencia nas livrarias, mesmo nas especializadas. Neste sentido, o seu livro PREENCHE UMA LACUNA, so por isso, e importante e valioso. Eu tinha uma conviccao muito forte de que nao encontraria novidades, no que acertei. Afinal, nao e uma tese. E um livro elementar e introdutorio, nao podendo portanto ser apreciado por este angulo. Isso nao desmerece em nenhum sentido o seu esforco. Voce pede apreciacoes. Vou dizer o que, EM MINHA OPINIAO, pode ser melhorado. Basicamente duas coisas. 1) O livro repete resultados ja apresentados em capitulos anteriores. Alguns leitores se aborrecem com isso. Eu suspeito que voce fez varios capitulos separadamente e depois uniu-os neste livro. Assim, EM MINHA OPINIAO, ele ficara melhor se voce retirar estas repeticoes. 2) Como o livro trata de formulas que geram numeros primos, voce nao precisaria tratar diretamente de teoremas elementares e bem-conhecidos da teoria dos numeros, tais como o teorema de Wilson e correlatos. Basicamente e isso. Retirando isso, EM MINHA OPINIAO, o livro vai preencher uma lacuna, ser de leitura agradavel e bastante claro ( mesmo porque e um livro elementar ). Prossiga, aperfeicoando-o. Agora, se voce me permite, uma palavra sobre as criticas que voce recebeu ou venha a receber : 1) Nenhuma teoria matematica pode ser justificada ou validada por uma eventual aplicacao pratica que ela teve, tenha ou venha a ter. Assim, a exposicao ou pesquisa de um assunto matematico nao pode ser obstado em qualquer sentido por qualquer argumento desta natureza. 2) Numa sociedade livre e democratica, formada por pessoas inteligentes, qualque forma de padronizacao das manifestacoes intelectuais e uma forma de censura inadmissivel, cabendo exclusivamente ao autor, em face do seu feeling editorial, escolher o conteudo dos seus trabalhos. 3) Os antigos diziam que quem esta na chuva e pra se molhar. Assim, nao se importe muito com as criticas. Procure ver o que elas tem de precedente e prossiga. Va em frente, Como dizia D'Alembert : Avante, que a fe vos vira depois ! E com os melhores votos de paz profunda para ti, sou Paulo Santa Rita 2009/5/12 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Oi Eric e demais colegas
Re: [obm-l] formulas para numeros primos
Oi Eric e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( ESTOU REENVIANDO A MENSAGEM PORQUE ELA FOI INCOMPLETA ) Li com mais atencao o seu trabalho. Li tambem - agora - a(s) critica(s) que voce ja recebeu. Reitero que gostei dele. E uma exposicao elementar e introdutoria sobre um tema especifico da Teoria dos numeros, nomeadamente a exposicao de algumas funcoes e tecnicas que geram numeros primos, algo que nao se ve com frequencia nas livrarias, mesmo nas especializadas. Neste sentido, o seu livro PREENCHE UMA LACUNA, so por isso, e importante e valioso. Eu tinha uma conviccao muito forte de que nao encontraria novidades, no que acertei. Afinal, nao e uma tese. E um livro elementar e introdutorio, nao podendo portanto ser apreciado por este angulo. Isso nao desmerece em nenhum sentido o seu esforco. Voce pede apreciacoes. Vou dizer o que, EM MINHA OPINIAO, pode ser melhorado. Basicamente duas coisas. 1) O livro repete resultados ja apresentados em capitulos anteriores. Alguns leitores se aborrecem com isso. Eu suspeito que voce fez varios capitulos separadamente e depois uniu-os neste livro. Assim, EM MINHA OPINIAO, ele ficara melhor se voce retirar estas repeticoes. 2) Como o livro trata de formulas que geram numeros primos, voce nao precisaria tratar diretamente de teoremas elementares e bem-conhecidos da teoria dos numeros, tais como o teorema de Wilson e correlatos. Basicamente e isso. Retirando isso, EM MINHA OPINIAO, o livro vai preencher uma lacuna, ser de leitura agradavel e bastante claro ( mesmo porque e um livro elementar ). Prossiga, aperfeicoando-o. Agora, se voce me permite, uma palavra sobre as criticas que voce recebeu ou venha a receber : 1) Nenhuma teoria matematica pode ser justificada ou validada por uma eventual aplicacao pratica que ela teve, tenha ou venha a ter. Assim, a exposicao ou pesquisa de um assunto matematico nao pode ser obstado em qualquer sentido por qualquer argumento desta natureza. 2) Numa sociedade livre e democratica, formada por pessoas inteligentes, qualque forma de padronizacao das manifestacoes intelectuais e uma forma de censura inadmissivel, cabendo exclusivamente ao autor, em face do seu feeling editorial, escolher o conteudo dos seus trabalhos. 3) Os antigos diziam que quem esta na chuva e pra se molhar. Assim, nao se importe muito com as criticas. Procure ver o que elas tem de precedente e prossiga. Va em frente, Como dizia D'Alembert : Avante, que a fe vos vira depois ! E com os melhores votos de paz profunda para ti, sou Paulo Santa Rita 2009/5/12 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Oi Eric e demais colegas desta lista ... OBM-L, Li com mais atencao o seu trabalho. Li tambem - agora - a(s) critica(s) que voce ja recebeu. Reitero que gostei dele. E uma exposicao elementar e introdutoria sobre um tema especifico da Teoria dos numeros, nomeadamente a exposicao de algumas funcoes e tecnicas que geram numeros primos, algo que nao se ve com frequencia nas livrarias, mesmo nas especializadas. Neste sentido, o seu livro preenche uma lacuna e, so por isso, e importante e valioso. Voce pede apreciacoes. Vou dizer o que, EM MINHA OPINIAO, 2009/5/11 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Oi Eric e demais colegas desta lista ... OBM-L, Li rapidamente o seu livro e gostei. Vou le-lo com mais vagar, adiante. Por oportuno gostaria de saber se voce ja se ocupou com a questao sobre a influencia dos inteiros gaussianos na distribuicao dos primos. Nos sabemos que muitos numeros primos passam a ser compostos no caso de considerarmos os inteiros gaussianos. Por exemplo : 5=(2+i)(2-i) = 5 nao e primo. Chamando de numero primo APENAS AQUELES INTEIROS POSITIVOS QUE TAMBEM SAO PRIMOS NO DOMINIO DOS INTEIROS GAUSSIANOS, como fica o teorema da distribuicao dos numeros primos neste contexto ? Teorema da distribuicao dos numeros primos : Seja pi(n) o numero de numeros primos p tais que 2 = p = n. Entao : LIM ( pi(N) / ( N/Log(N) ) ) = 1 Na expressao acima, Log(N) e o logaritmo natural de N ( base e=2,7... ) Um abraco PSR, 21105090B05 Aproveito a oportunidade para lhe solicitar um esclarecimento, caso voce ja tenha se ocupado do que vou relatar : 2009/5/11 Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com: Saudacoes aos colegas da lista Acabo de disponibilizar na internet meu trabalho sobre formulas para numeros primos. O endereco eh: http://www.docstoc.com/docs/5851750/F%C3%B3rmulas-para-N%C3%BAmeros-Primos gostaria da opiniao dos membros da lista a respeito. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes
[obm-l] Re: [obm-l] SÉRIES HARMÔNICAS!
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao entendi bem o excerto abaixo ... Voce que uma prova para esta desigualdade ? A propósito, como valer a desiguldade para qualquer n natural maior que 1? 1/n-1 + 1/n + 1/n+1 3/n Existem muitas maneiras de fazer isso, vou usar a que me parece, no momento, mais produtiva. Seja A_1, A_2, ..., A_(2p-1) uma progressao aritmetica com um numero impar de termos. E claro que o termo central e o termo de ordem P. E igualmente claro que podemos exprimir todos os demais termos em funcao deste termo. Exemplo 1 A_1, A_2 e A_3. Aqui P=2 e A_2 e o termo central. Logo : A_1 = A_2 - r, A_3=A_2 + r ( r e a razao da PA ) Exemplo 2 A_1, A_2, A_3, A_4, A_5. Aqui P=3 e A_3 e o termo central. Logo : A_1=A_3 - 2r, A_2=A_3 - r, A_4=A_3 + r e A_5 = A_3 + 2r Considerando agora que a Media Harmonica (H) nunca e maior que a Media Aritmetica, teremos que : H = (2P-1) / ( (1/A_1) + (1/A_2) + ... + ( 1/A_(2p-1) ) ) = ( A_1 + A_2+...+ A_(2p-1) ) / (2P-1) = A Na media A, ao exprimir cada A_i # A_p em funcao de A_p e r, a soma subsequente fara com que os r desaparecam. Surgirao entao (2p-1) termos A_p. Donde : 1/(A_1) + 1/(A_2) + ... + 1/(A_(p-1)) = (2p-1) / A_p( resultado 1 ) No seu caso particular temos a PA N-1, N e N+1. Aqui, P=2 e A_2 = N. Logo 1/n-1 + 1/n + 1/n+13/n que e o que queriamos demonstrar. Agora, vou lhe mostrar porque tratei diretamente de um caso mais geral ( resultado 1 ) : Considere os 9 termos da serie harmonica 1 + (1/2) + ... + (1/9). Neste caso, aplicando diretamente o resultado acima, teremos : 1 + (1/2) + ... + (1/9) = (2*5-1) / A_5 = 9/5 =1.8 (resultado 2) Agora, ao inves de aplicar o resultado que obtivemos diretamente a soma toda vamos dividi-la em grupos de 3 e aplica-la separadamente a cada grupo. O que resultara ? 1 + (1/2) + (1/3) = 2/2 = 2/2=1 (1/4) + (1/5) + (1/6) = 2/5 (1/7) + (1/8) + (1/9) = 2/8 1 + (1/2) + ... + (1/9) = 1 + (2/5) + (2/8) = 66/40 = 33/20 = 1,65 Surpreso ? Portanto, a aplicacao em casos com menor numero de termos e com soma ulterior da uma cota inferior pior ... Com aperfeicoar isso ? Basta lembra que a media geometrica fica mais proxima da media harmonica que a media geometrica. Logo : H = N / ( (1/A_1) + (1/A_2) + ... + ( 1/A_n ) = (A_1*A_2*...*A_n)^(1/n) (1/A_1) + (1/A_2) + ... + ( 1/A_n ) = N/ (A_1*A_2*...*A_n)^(1/n) No caso em que A_1, A_2 ... e 1, 2, ..., teremos : 1 + (1/2) + ... + ( 1/n ) = N/( (N!)^(1/N) ) Aplicando no caso 1 + (1/2) + ... + (1/9) teremos :1 + (1/2) + ... + (1/9) = 2.17... Portanto, uma aproximacao melhor ! Uma outra de cotar a serie harmonica seria assim : 1/41/3 1/2 1/4 = 1/4 1/2 1/81/5 1/4 1/81/6 1/4 1/81/7 1/4 1/8 = 1/8 1/4 1/16 1/9 1/8 ... Ao somar tudo, do lado esquerdo teremos um multiplo de (1/2) + ( eventualmente ) pequena fracao e do lado direito teremos multiplo de 1 + pequena fracao. esta tecnica tambem nos fornece cotas para a soma da serie harmonica. Note que usamos potencias de (1/2) por uma mera questao de tradicao, poderiamos ter usado potencias de (1/3), (1/5) etc. Para um dado inteiro P 0, como determinar o menor N tal que 1+(1/2) + ... + (1/N) P. E uma boa pergunta, um belo problema. O que voce tem a dizer a respeito ? Afinal! Qual o número de parcelas necessárias para que a série harmônica atinja o número cem? 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4... Vou usar o seguinte : 1/3 1/4 1/4 = 1/4 De onde sai : 1/3 + 1/4 1/2 1/5 1/8 1/6 1/8 1/7 1/8 1/8 = 1/8 De onde sai : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/2 Estes exemplos evidenciam que ao somarmos 2^N parcelas a partir de 1/(2^N + 1) o resultado sera maior que 1/2. Portanto, fazemos : N/2 100 = N 200. logo : 2 + 4 + 8 + .. + 2^(201) = 2((2^201 - 1) Ou seja, precisamos somar 2 + 2(2^201 - 1) = 2^202 parcelas de 1+ (1/2) + ... + (1/N) + para obtermos uma soma superior a 100. Note que nao estabelecemos a precisao desta cota, vale dizer, pode ocorrer que com um numero menor ( e mesmo assim, muito grande ) de parcelas consigamos ultrapassar 100. Fica a questao que coloquei acima : Dado P inteiro positivo. Qual o menor N tal que 1 + (1/2) +...+ (1/N) P ? A existência de infinitos primos gêmeos ainda é um problema em aberto. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos que é divergente. B2 = (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) + (1/29+1/31) +...~1,9021605823 Incrível, não! As séries harmônicas estão cheias de coisas incríveis, muitas já descobertas, mas certamente muitas outras ainda à espera de um novo Euler que as desvende... E verdade ! Ha algum tempo atras eu me ocupei da questao : Qual o menor r real tal que a serie dos inversos dos primos, 1 + (1/2)^r + (1/3)^r + (1/5)^r + (1/7)^r + ..., converge ? Infelizmente, eu so consigo manter a atencao centrada em uma grande questao quando consigo
Re: [obm-l] formulas para numeros primos
Oi Eric e demais colegas desta lista ... OBM-L, Li rapidamente o seu livro e gostei. Vou le-lo com mais vagar, adiante. Por oportuno gostaria de saber se voce ja se ocupou com a questao sobre a influencia dos inteiros gaussianos na distribuicao dos primos. Nos sabemos que muitos numeros primos passam a ser compostos no caso de considerarmos os inteiros gaussianos. Por exemplo : 5=(2+i)(2-i) = 5 nao e primo. Chamando de numero primo APENAS AQUELES INTEIROS POSITIVOS QUE TAMBEM SAO PRIMOS NO DOMINIO DOS INTEIROS GAUSSIANOS, como fica o teorema da distribuicao dos numeros primos neste contexto ? Teorema da distribuicao dos numeros primos : Seja pi(n) o numero de numeros primos p tais que 2 = p = n. Entao : LIM ( pi(N) / ( N/Log(N) ) ) = 1 Na expressao acima, Log(N) e o logaritmo natural de N ( base e=2,7... ) Um abraco PSR, 21105090B05 Aproveito a oportunidade para lhe solicitar um esclarecimento, caso voce ja tenha se ocupado do que vou relatar : 2009/5/11 Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com: Saudacoes aos colegas da lista Acabo de disponibilizar na internet meu trabalho sobre formulas para numeros primos. O endereco eh: http://www.docstoc.com/docs/5851750/F%C3%B3rmulas-para-N%C3%BAmeros-Primos gostaria da opiniao dos membros da lista a respeito. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Tabua Magica
Ola a Todos ! Ha alguns anos atras um hungaro chamado Erno Rubik inventou um quebra-cabeca tridimensional agora muto conhecido, batizado-o de cubo magico. Este quebra-cabeca e tambem conhecido como cubo de rubik e todos devem estar sabendo ao que me refiro. Seguindo este exemplo, eu inventei um quebra-cabeca que estou batizando de tabua magina, nome este motivado pela descricao do desafio que passo a apresentar : IMAGINE uma tabua de forma retangular, melhor imaginada se supormos que a altura e maior que a largura. Vamos IMAGINAR 9 linhas horizontais. Na primeira linha, a linha mais acima, estao suspensos 49 fios, igualmente espacados e cada um deles de comprimento igual a altura da tabua. Estes fios sao numerados da esquerda para a direita de 1 ate 49. As demais linhas imaginarias da tabua sao numeradas de cima para baixo de 1 ate 8. Ao longo de cada uma destas 8 linhas existem 7 furos, igualmente espacos, por onde podem passar 7 fios. O desafio consiste em passar os fios pelos buracos, atendendo as seguintes regras : 1) As linhas sao preenchidas ( os 49 fios passaram por seus 7 buracos ) na ordem de sua numeracao, vale dizer, primeiro preenchemos a linha 1, depois a 2 e assim sucessivamente, ate a linha 8. 2) Por cada burado de uma linha devem passar exatamente 7 fios 3) Dois fios que ja passaram por um mesmo buraco de uma linha nao poderao passar pelo um mesmo buraco de qualquer das linhas posteriores OBS1 : Note que ao passar 1 fio por um burado, ele surgira nas costas da tabua magica, ou seja, apos preencher uma linha voce vai precisar virar a tabua para poder preencher a proxima linha. Como resolver este quebra-cabeca ? Um Abraco a Todos ! PSR, 21105090E08 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulo oco - centro de gravidade
Oi Ponce e demais colegas desta lista ... OBM-L, EU PENSO que um possivel objetivo comum a todos nos e justamente o de propor problemas interessantes, nao triviais, e/ou suas respectivas solucoes, quando possiveis. Procedendo assim PARECE-ME que ocorrerao duas implicacoes obvias : 1) Serao naturalmente afastados aqueles(as) que vem esta lista como um SOS para vestibulandos, concurseiros e assemelhados. 2) Serao naturalmente atraidos aqueles(as) que aspiram ler e aprender uma Matematica de mais alta qualidade. E eu tenho certeza - ate por experiencia pessoal - que com a colaboracao das inumeras pessoas talentosas que ja passaram por aqui, podemos criar um centro de discussao de Matematica Elementar que nao ficara devendo a nenhum outro centro do Mundo Quando ao problema do Nehab, e bastante razoavel supor que o campo gravitacional e constante ( pois estamos imaginando o triangulo proximo a superficie da terra). Agora, basta aplicar o teorema de Varignon. Seja ABC um triangulo. Sem perda de generalidade podemos supor que os seus vertices estao disposto tais que A esta em (0,0), B em (c,0) e C em (X,Y). E natural supor que a densidade linear de massa e constante em cada lado, donde decorre que os respectivos centros de massa dos seus lados estarao nos pontos medios destes lados. Seja d esta densidade liner. As forcas que atuam em cada ponto medio sao : No lado AB, cdg, atuando em (c/2,0) - aqui, g e a aceleracao da gravidade No lado AC, bdg, atuando em (X/2,Y/2) No lado BC, adg, atuando em ( (c+X)/2 , Y/2 ) Assim VERTICALMENTE, temos uma forca de cdg em 0, uma forca bdg em Y/2 e uma forca adg em Y/2, vale dizer, uma forca, (bdg+adg) em Y/2. A forca que equilibra tudo isso tem modulo, obviamente, igual adg + bdg + cdg atuando na posicao vertical m ( Varignon agora ) tal que : m*(adg + bdg + cdg) = cdg*0 + (bdg + adg)*(Y/2) m =( (a+b) / (a+b+c) )*(Y/2) Resultado 1 HORIZONTALMENTE, temos uma forca cdg em c/2, uma forca bdg em (X/2) e uma forca adg atuando em (c+X)/2. Para equilibrar isso devemos ter uma forca de modulo obviamente, igual adg + bdg + cdg e atuando na posicao horizontal n ( Varignon agora ) tal que : n*(adg + bdg + cdg) = cdg*(c/2) + bdg*(X/2) + adg*( (c+X)/2) n = ( (a+c)*(c/2) + (b+c)*(X/2) ) / (a + b + c) Resultado 2 Os dados em Resultado 1 e 2 sao conhecidos, bastando construir o sistema de coordenadas indicado ( traca-se por A uma perpendicular a AB, Esta perpendicular e o eixo Y; o eixo X sera a reta que suporta o lado AB). Os valores de m e n sao facilmente construtiveis. Logo: O PONTO PROCURADO Traca-se por m uma paralela ao eixo X e por n uma paralela ao eixo Y. O ponto de encontro e o ponto procurado. Um Abracao a Todos ! PSR,11005091409 pois isto afastara aqueles estudantes preguicosos , para que aqueles que nos acompanham 2009/5/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Santa Rita, obrigado pelo elogio. Mas o culpado foi voce mesmo, ao trazer problemas interessantes para a lista. Parabens! Alias, o Nehab e' outro provocador - vide o probleminha que ele propos (e que eu reescrevo abaixo): Dado o desenho de uma armacao triangular, feita de arame extremamente fino (unidimensional), encontre o seu centro de gravidade, utilizando-se apenas de desenho geometrico. (ou seja, a solucao tem que ser tracada, nao podendo ser apenas expressa por meio de equacoes.) Abracos a todos, Rogerio Ponce 2009/5/9 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. Math. Mag. 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se : S = a1 + a2 + a3 + ... = L Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas , conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral, PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez, considerar as reduzidas. A resposta mais geral seria, entao, assim: Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido 2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev 3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ). Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema ... 4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce ja fez ou se e uma nova questao : PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas medianas e o seu perimetro sejam 2P. OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues Um Abracao PSR, 40605090832 2009/5/5 Luís Lopes qedte...@escolademestres.com: Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Bernardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1 ) Muito boa a sua mensagem, mas note que nao foi isso que o Luis Lopes perguntou e, portanto, nao foi sobre o que eu respondi. Pelo que eu entendi, o Luis quer saber se a colocao arbitraria de colchetes vai afetar o valor original da serie ( sua soma), vale dizer, NAO HA A HIPOTESE DE MESMO NUMERO DE TERMOS e, pior ainda, OS SINAIS DOS TERMOS SAO PRESERVADOS, ou seja, ele simplesmente introduz colchetes e outros delimitadores, SEM ALTERAR OS SINAIS ORIGINAIS, o que afeta o resultado ainda mais. 2 ) Nao, amigo, descupe. Devo ter me expressado mal. Quero dizer : Dado 2P, construa o triangulo tal que : Soma das medianas = 2P perimetro = 2P Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um Mestre consumado no assunto, queria saber se tal questao ja constava no livro dele ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao, caso exista. Um Abracao PSR, 40605091048 2009/5/6 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: Grande Paulo ! Mas eu gostaria de tentar dar um palpitezinho... e vou acabar dando dois : 2009/5/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se : S = a1 + a2 + a3 + ... = L Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas , conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral, PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez, considerar as reduzidas. A resposta mais geral seria, entao, assim: Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido 2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev Eu tenho muito pouca prática com Sobolev, mas se você pudesse detalhar... Eu vou detalhar o que eu pensei quando escrevi : Temos uma soma S, com termos a1, a2, a3, ... Faça a seguinte hipótese : a_n tende a zero. Então, agrupando os termos SEMPRE EM MESMO NUMERO, se a primeira soma existir, a agrupada também, e vale o mesmo valor. A idéia, é exatamente voltar à definição que o Paulo deu mais acima, e notar que um grupo equivale a somar N termos sucessivos. Logo, somar n grupos, equivale a tomar a nN-ésima parcial. Sabemos que a seqüência das parciais converge, logo a das N-parciais também, e para o mesmo valor, pois é uma subseqüência. Muito mais interessante é tentar a recíproca : se a soma dos agrupamentos converge, o que acontece com a soma original ? E é aí que a hipótese inicial tem todo o seu sentido: sabemos que a subseqüência S_{Nk} converge para S, e queremos estudar a seqüência completa S_n. Ora, como os termos tendem a zero, de S_{Nk + 1} = S_{Nk} + a_{Nk + 1}, tomando o limite no termo da direita (que existe !), vemos que lim S_{Nk + 1} existe também, e vale S + lim a_{Nk + 1} = S. Como, além disso, temos um número finito de restos modulo N, e todas as subseqüências S_n{Nk + a} convergem para S (faça uma depois da outra !!), a seqüência original também converge para S, pois a partir de um certo N_0, todos os S_{Nk} estão a epsilon de S, para um N_1, os S_{Nk + 1}, etc e tal, logo para o máximo dos N_a, todo mundo está a epsilon de S. Note que a finitude (que vem da regularidade dos parênteses) é crucial, bem como a hipótese que os termos tendem a zero !! 3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ). Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema ... 4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce ja fez ou se e uma nova questao : PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas medianas e o seu perimetro sejam 2P. Não entendi, você quer que a soma das medianas seja 2P, e o perímetro também seja 2P ? Ou a soma a+b+c + m_a+m_b+m_c = 2P ? Porque, se for esse último (que foi como eu interpretei de chofre) parece que tem uma solução para 3a + 3a\sqrt{3}/2 = 2P ... OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues Um Abracao PSR, 40605090832 Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola Luis e Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bom, eu nao conheci qualquer dos grandes Mestres citados abaixo e, muito menos, tive o prazer de estudar por qualquer dos livros deles. Assim, se por omissao cometi alguma injustica, asseguro que foi involuntária. Eu so estudei em escolas publicas. Tive um pessimo 1 grau e o 2 grau foi pior ainda. Lembro que na antiga 7 serie eu estava totalmente decepcionado com a miseravel Matematica que ensinavam e estudava por conta propria sobretudo Filosofia e Filologia( Lia W Durant,, As obras completas do Freud, Os Pensadores, Goethe e Shakespeare etc ). Foi mais ou menos no fim desta serie que me deparei com um livro que veio modificar totalmente a minha vida ... Comprei no Sebo um livrinho sem capa, sobre Geometria, do Prof Eduardo Wagner ( e acho que falecido Prof Morgado tambem era autor ). A leitura deste livro me mostrou algo que, naquela epoca, eu nem suspeitava : que a Matematica podia ser bela, que poderiamos penetrar no desconhecido a partir de algumas nocoes basicas e que, enfim, a Matematica era uma ciencia digna da minha atencao. Eu me lembro que fiquei tao impressionado com aquelas coisas que, daquele momento em diante, eu nao conseguia pensar em mais nada. Perdi todos os amigos, pois nem todo mundo gosta destas coisas e passei sistematicamente a devorar tudo que eu podia estudar : Calculo, Algebra, Teoria de Galois etc. Li Hardy e Ramanujam e dai em diante. E por esta razao que o Prof Eduardo Wagner e uma pessoa que sem duvida tem um lugar muito especial na minha vida de Matematico. Inclusive a minha primeira descoberta de infancia em matematica, eu a batizei com o seu nome como uma forma de agradecer o que ele representava para mim naquele momento : ***INICIO*** ( DESIGUALDADE WAGNER ) EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO. Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice. 1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD igual AB. 2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE igual a AC 3) Ligando D com E Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois : 1) AD = AB (por construcao) 2) AE = AC (por construcao) 3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice) Segue que DE=BC. Trancando por A uma paralela a BC. Seja r esta paralela. Agora, seja F o pe da perpendicular a r tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a r tracada por E. Entao, claramente : DE = AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG) Mas : 1)DE = BC = a 2)AD = AB = c 3)AE = AC = b 4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C 5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B Portando : a = c*cos(C) + b*cos(B) Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, chegaremos a : b = a*cos(A) + c*cos(C) c = b*cos(B) + a*cos(A) Somando estas tres desigualdades : a + b + c = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) 2p = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) Portanto : DESIGUALDADE WAGNER : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) ***FIM*** Estou falando isso porque , dado que ninguem duvida do verdadeiro e belissimo talento do Prof Wagner e FOI ELE, POR E-MAIL, QUE ME FALOU DO LIVRO DO LUIS LOPES, classificando tal livro como o que havia de melhor em geometria do traingulo. Assim, caro Luis, quem me falou sobre a excelencia do seu trabalho foi o Wagner e, concorde comigo, O Prof Wagner sabe perfeitamente do que fala quando o tema e a Geometria Euclidiana... Assim, a minha referencia infantil mais forte foi este ilustre Prof Eduardo Wagner. Ele acendeu o estopim, disparou o Processo. Por que ? Porque o Prof Wagner e um artista, as solucoes que ele apresenta tem um que de beleza, tal como o Lagrange fazia. Assim, o trabalho dele encanta e com ele aprendi a nao so matematica, mas sobretudo a buscar a Matematica Bonita. Sobre o problema, como ocorre com frequencia, ele simplesmente surgiu na minha cabeca. Se ele for realmente inedito e dele pudermos extrair alguma coisa valiosa, eu me sentirei estimulado a pensar nele. Vou aguardar o carissimo Nehab se pronunciar. Note que eu gostaria de ver UMA CONSTRUCAO de um triangulo com tal propriedade, vale dizer, se o problema for indeterminado e houver muitos triangulos assim, gostaria de ver a construcao de um deles. Um Abracao a Todos ! PSR, 40605092050 Em Tempo : prometo que da proxima vez vou escrever sobre Matematica. Esta mensagem so tem texto porque estava parecendo que eu cometera uma imensa injustica esquecendo outros grandes mestres. Nao foi isso. Apenas realmente nunca ouvi falar ou li os livros destes grandes professores. 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nos podemos pensar em A como os coeficientes numeros das incoginitas de um sistema ( linear ) de tres equacoes a tres incognitas. Olhando assim : I ) Obviamente verdadeira, pois um sistema homogeneo so admite solucao diferente da trivial ( solucao trivial : (0,0,0) ) se o determinante da matriz dos coeficientes das incognitas e diferente de zero. II) Obviamente falsa, pois basta tomar um Y tal que a segunda e terceira coluna da matriz dos coeficientes das incoginitas juntas com o Y forme uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero. Neste caso, as caracteristicas da matriz principal e secundaria serao diferente e, pelo teorema de rouche, teremos um sistema impossivel. O Teorema de Rouche permite discutir um sistema linear considerando as caracteristicas da matriz principal ( matriz dos coeficientes das incoginitas, caracteristica = X ) e da matriz segundaria ( matriz principal + coluna dos termos independentes, caracteristica = Y ). Vale o seguinte : X=Y=N = sistema possivel e determinado X=Y N = sistema possivel indeterminado X # Y = sistema impossivel NOTA : caracteristica de uma matriz ( tambem chamada de outros nomes. Estou usando esta expressao porque voce parece ser estudante de nivel medio ) e a ordem da matriz de maior ordem com determinante diferente de zero contido na matriz sob consideracao. Um Abracao PSR 3050509120F 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Ola Pessoal, Correcao : No item I) eu quis dizer : o determinante da matriz dos coeficientes da incognitas E IGUAL A ZERO 2009/5/5 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nos podemos pensar em A como os coeficientes numeros das incoginitas de um sistema ( linear ) de tres equacoes a tres incognitas. Olhando assim : I ) Obviamente verdadeira, pois um sistema homogeneo so admite solucao diferente da trivial ( solucao trivial : (0,0,0) ) se o determinante da matriz dos coeficientes das incognitas e diferente de zero. II) Obviamente falsa, pois basta tomar um Y tal que a segunda e terceira coluna da matriz dos coeficientes das incoginitas juntas com o Y forme uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero. Neste caso, as caracteristicas da matriz principal e secundaria serao diferente e, pelo teorema de rouche, teremos um sistema impossivel. O Teorema de Rouche permite discutir um sistema linear considerando as caracteristicas da matriz principal ( matriz dos coeficientes das incoginitas, caracteristica = X ) e da matriz segundaria ( matriz principal + coluna dos termos independentes, caracteristica = Y ). Vale o seguinte : X=Y=N = sistema possivel e determinado X=Y N = sistema possivel indeterminado X # Y = sistema impossivel NOTA : caracteristica de uma matriz ( tambem chamada de outros nomes. Estou usando esta expressao porque voce parece ser estudante de nivel medio ) e a ordem da matriz de maior ordem com determinante diferente de zero contido na matriz sob consideracao. Um Abracao PSR 3050509120F 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Ola Jorge, Albert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Talvez esteja ocorrendo alguma confusao aqui ... E possivel fazer o seguinte : 1/3 1/4 1/4 = 1/4 somando as duas desgigualdades : 1/3 + 1/4 1/4 + 1/4 = 1/2 1/5 1/8 1/6 1/8 1/7 1/8 1/8 = 1/8 somando as 4 desigualdades : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 Prosseguindo assim vamos concluir que : 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... 1 + 1/2 + 1/2 + ... Como a segunda serie, obviamente, diverge, pelo criterio de comparacao segue que a primeira serie ( serie harmonica ) tambem diverge. E entao jorge, e isso o que voce queria dizer ? Eu conheco um problema sobre series, bonitinho e nao-trivial. Ele e assim : Seja S=A1 + A2 + A3 + ... uma serie ( de numeros reias ) condicionalmente convergente. Sabemos, pelo teorema de Riemann, que com um arranjo inteligente dos indices podemos fazer com que esta serie convirja para um real r qualquer. Seja b:N - N uma bijecao. Caracterize as bijecoes b tais que Ab(1) + Ab(2) + Ab(3) + ... converge OBS : aqui, Ab(n) deve ser entendido com A con indice b(n) Um Abracao a Todos PSR, 10305090E24 2009/5/1 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce gostou do Conto ? Fico Feliz ! Ser casado com uma escritora traz algumas vantagens ... Aqui vai uma implicacao do sonho : Eu precisaria, previamente, ter caracterizados as folheacoes ou faces ocultas do triangulo de Pascal que descrevi no sonho. Usando a notacao que la introduzi as coisas ficam mais faceis e diretas. Mas vou seguir um atalho aqui. Estarei imaginando o Triangulo de Pascal ( doravante chamado de TP ) com a seguinte disposicao : Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) . . . As colunas sao entendidas como numeradas da esquerda para a direita a partir de zero. Verifique que se tomarmos 3 elementos consecutivos Ai+1, Ai e Ai+1 da coluna 2 teremos : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = 1^2 = 1 Exemplo : Bi(2,2) - 2Bi(3,2) + Bi(4,2) = 1 - 2*3 + 6 = 1 Se tomarmos 4 elementos consecutivos Ai+2, Ai+1, Ai e Ai-1 da coluna 3 termos que : Ai+2 - 3Ai+1 + 3Ai _ Ai-1 = 1^3 = 1 E, de maneira geral, se tomarmos N+1 elementos consecutivos da coluna N, usamos os coeficientes numericos do desenvolvimento de (a+b) ^N, com os sinais alternativamente trocados, teremos que a soma do tipo acima exemplificada resulta em 1 : ( nao vou provar estas coisas aqui porque isso e muito mais coisas deriva naturalmente das diversas faces ocultas do TP ) Esse numero 1, um valor constante em todo TP, sera chamado de NIC* ( ele e muito importante ). Assim, o TP e um triangulo aritmetico com NIC = 1 O fato de no TP o NIC ser 1 esconde muitas coisas ... De fato, a expressao geral para o NIN de um triangulo aritmetico e um polinomio de coeficientes interessantes ( que depende das faces, conforme ja falei ) na variavel NIC. No TP, ao introduzirmos meios aritmeticos em todos o triangulo, vale dizer, usar os coeficientes de (a+b) ^(N/2), N = ... -2,-1,0,1,2,..., teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/2)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/2)^3 na coluna 3 e assim sucessivamente Se, no TP, introuzirmos os termos aritmeticos, vale dizer, colocarmos entre as linhas os coeficientes de (a+b)^(N/3), N = ... -2, -1, 0, 1, 2, ... teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/3)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/3)^3 na coluna 3 Agora, va introduzindo meior, tercos, quartos etc aritmeticos no TP e use este resultado para obter algo inedito, vale dizer, a expressao de 1 + (1/2)^3 + (1/3) ^3 + ... Como uma soma de coeficiente binomiais ( conforme ja propus aqui ) sem nenhuma NENHUMA potencia negativa. Isso, que por si so e inedito e que levaria muito matematico correr para publicar, e uma mera e simples aplicacao do sonho de uma noite de verao *O NIC e o nucleo dessa teoria. Nao e tao simples descobrir a expressao dele. Um primeiro passo e descobri as faces ocultas de ja falei. O Termo NIC deriva de NICOLAU SALDANHA. Eu descobri e desenvolvi estas coisas pouco antes de ingressar nesta lista, ha cerca de 10 anos atras. O Nicolau, alem de criar este maravilhoso espaco de discussao, me recebeu ( como recebe a todos ) muito bem e foi o meu modelo de Inicial de Matematico. Assim, nada mais justo que dar a um elemento importante da minha teoria o nome do amigo e mestre que no inicio me guiou e que desde sempre mereceu e merce a minha mais elevada estima e consideracao.. Assim, e uma forma de um Matematico ( Eu, Paulo Santa Rita ) homenagear outro Matematico ( Nicolau Saldanha ). Um Abraco a Todos PSR, 10305091629 2009/5/3 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Oi, Paulo, Simplemente delicioso o texto e o conteúdo, mas... implore a sua esposa para não acordá-lo quando dormir sobre o teclado... Sonhe mais, por favor... Abraços, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Benedito e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) From: benedito bened...@ufrnet.br para paulo.santar...@gmail.com data 2 de maio de 2009 09:16 assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz Paulo, Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem. Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os íntimos Paulinho. Por engano, repassei a mensagem para obm-lista. Desculpe-me. Benedito Tudo bem, nao fiquei chateado. Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos decolar. Vamos ver os elementos iniciais de um sonho de uma noite de verao. Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima ( http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux ( http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como Problema 2N+1 ). Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido sobre o teclado. Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
LEIBNITZ, a expansao de (a+b+c)^N era um PIRAMIDE TRIANGULAR REGULAR, na qual cada face era um UM PARTICULAR TRIANGULO DE PASCAL. Assim, por exemplo, para sabermos os coeficientes de (a+b+c)^3, bastava seccionar a piramide de Leibniz pelo plano X+Y+Z=3. As interseccoes assim obtidas eram simultaneamente os lugares e os valores dos coeficientes dos monomios que constituem a expansao de (a+b+c)^3 Como exemplo, o ponto V=(1,1,1) e o lugar do monomio (a^1)*(b^1)*(c^1) e o coeficiente deste monomio e o numero [1,1,1] = (1+1+1) ! / ( 1! * 1! * 1! ) = 6 . O ponto R=(2,0,1) e o lugar do monomio (a^2)*(b^0)*(c^1)=(a^2)*(b^1) e o coeficiente deste monomio e o numero [2,0,1]=[2,1]=(2+1)! / (2! * 1!) = 3. E assim sucessivamente. Para mim, neste ponto, ficou claro como representar a expansao de (X1 + X2 + ... + Xm) ^N. Bastava, obvio, ir para o R^M e seccionar a correspondente PIRAMIDE DE LEIBNIZ com o plano X+Y + ... ( M variaveis ) = N. As solucoes inteiras e nao-negativas desta equacao sao os lugares e os valores dos coeficientes da expansao. A VERDADEIRA RIQUEZA ESTA NO INTERIOR Mas, no inicio do sonho, uma voz havia me dito que tudo aquilo era para que eu pudesse ver as faces ocultas do traingulo de Pascal. Lembrei-me disso, no sonho. E eis que aquela mesma voz fixou os meus olhos num ponto V=(1,1,1), lugar de abc na expansao de (a+b+c)^3 e no qual devemos por o coeficiente [1,1,1]=6. Sob este ponto, ao aproximar os meus olhos, vi as letras V.I.T.R.I.O.L. Minha formacao Iniciatica me permitil deduzir imediatamente que aquilo era uma abreviacao para : Visita Interiora Terrae Retificando que Invinies Occultum Lapidem E, fiat luz, a luz se fez. Numa fracao de segundos, tudo ficou claro. Entendi tudo : O ponto V=(1,1,1) nao pertence a qualquer da faces da Piramide de Leibniz, pois ele nao contem um ou mais zeros. Ao seccionar esta piramide pelo plano X+Y+Z=4 com o objetivo de encontrar os lugares e coeficientes de (a+b+c)^4, acharemos os pontos I=(1,2,1) , T=(1,1,2) e R=(2,1,1). Ora, os pontos V, I, e T definem UM PLANO PARALELO ao plano YoZ, os pontos V, I e R definem UM PLANO PARALELO ao plano XoY e, finalmente, os pontos V, T e R definem UM PALNO PARALELO ao plano XoZ, ou seja, a partir de V=(1,1,1) surgira, no interior da piramide de Leibniz, UMA NOVA PIRAMIDE CUJAS FACES SAO PARALELAS AS FACES DA PIRAMIDE DE LEIBNIZ. Ficou claro para mim naquele ponto do sonho que para todo N=3K, K=1,2,3, ... a interseccao de X+Y+Z=N com a piramide de Leibniz faria surgir um ponto (K,K,K) que daria origem a uma nova piramide, mais interna, cujas faces seriam paralelas as faces das piramides mais externas. A intuicao infantil, o sonho, tinham confirmado as minhas suspeitas. Eu tinha VISTO ou ADVINHADO as faces ocultas do triangulo de Pascal. Agora era tudo simples e maravilhoso. Por que ? Por que apos ver o objeto, bastaria eu caracterizar estas folheacoes discretas e proceder como Arquimedes fez ... ( A area do circulo é pi*(r^2) = ( (2pi*r)*r ) /2 = area de um triangulo retangulo que tem para altura o raio do circulo e para base o comprimento da circunferencia = volume da esfera = volume de um cone que tem para altura o raio e para base a area da esfera = (4/3)pi*(r^3) = (1/3)r* S = S=4pi*(r^2) ) Ou seja, na validade de uma relacao qualquer entre numeros binomiais do triangulo de Pascal, supor que isto seja um caso particular das piramides de Leibniz e extrapolar a relacao para os numeros multinomiais quaisquer, dado a imensa simetria do objeto que contemplamos. Assim, o meu trabalho naquele momento era caracterizar as faces ocultas e estudar como poderia aplicar suas propriedades, que esperava serem notaveis, na solucao de problemas que sem tal visualizacao ficam muito dificeis. Mas, que balanco e esse ? Diante de tao maravilhosa visao algo me arrancava brutalmente daquele paraiso. Seria Satanas, que nao gosta que o homem aprecie as coisas de Deus ? ... Que nada, era a minha mulher me acordando e me tirando de cima do teclado. Eu havia dormido no escritorio la de casa e, ja tendo amanhecido, precisava me arrumar para ir trabalhar ... Um Abracao a Todos ! PSR, 70205091830 2009/4/29 benedito bened...@ufrnet.br: Show de bola, Paulinho. Benedito - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 29, 2009 10:54 AM Subject: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz Ola Pessoal, O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui nesta. Um aspecto curioso deste tema e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, numa ordem implicita. Assim : (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros falam em algo como
[obm-l] Re: [obm-l] demonstrações
Ola Johnson e demais colegas desta lista ... )BM-L, Em primeiro lugar, parabens pela sua escolha ! O livro ao qual voce se refere, EM MINHA OPINIAO, e a melhor introducao a Analise produzida por um brasileiro ... Prossiga nele. E no caso de alguma duvida, publique-a aqui, pois nesta lista ha muitas pessoas que apreciam a Analise Matematica. Em segundo lugar, uma dificuldade inicial e absolutamente normal e um caminho valido, mesmo louvavel, e justamente o pelo qual parece que voce encetou, vale dizer, ler e reler tantas vezes quantas forem necessarias ao um entendimento pleno. Tenha certeza que preguicoso nao aprende matematica avancada ... e com o passar do tempo, voce prosseguindo num estudo sistematico, tudo vai ficando mais familiar e mais facil. Mas e muito importante que apos uma leitura voce seja capaz de responder a pergunta : exatamente e com precisao, o que eu nao estou entendendo ? Nao adiantA ler, nao entender e nao ser capaz de identificar QUE PARTE DA DEMONSTRACAO NAO ENTENDEU. Por exemplo, eu quase apostaria que a dificuldade que voce sente na demonstracao mencionada e que voce ainda nao percebeu que os conceitos de funcao injetiva, bijetiva e inversa SAO ANTERIORES a definicao de numero natural. Rigorosamente falando, nao existe tecnicas de demonstracao. A demonstracao e a maneira como nos provamos, de forma irrefutavel, aquilo que vemos, independente dos meios pelos quais chegamos a ver aquilo que desejamos demonstrar. O que existe e um tipico modo de pensar relativo a uma area do conhecimento. Por exemplo : um Analista costuma usar, muito, a ideia de LIMITE, pois a maioria dos conceitos com que ele rotineiramente trabalha ( diferenciabilidade, integrabilidade, etc ) foram, originalmente, definidas usando este conceito; um algebrista, por outro lado, vai procurar caracterizar as coisa pela ideia de GRUPO, um conceito que na Algebra desempenha papel equivalente ao de LIMITE em Analise. E assim sucessivamente. EU ACREDITO que e altamente saudavel a pessoa estudar ao menos dois ramos relativamente distantes, pois a grandes ideias costumam surgir, justamente, da convergencia de mais de um ramo. No seu caso, por exemplo, tente se concentrar em Algebra e Analise. Em sintese, o que voce deve fazer e justamente o que esta fazendo e propor aqui as demonstracoes que nao entendeu MENCIONANDO EXPLICITAMENTE o ponto onde esta a sua duvida. Um abraco PSR,53004091230 2009/4/30 johnson nascimento johnson_h...@yahoo.com.br: Olá amigos! Eu venho aqui na humildade pedir dicas de como melhorar minhas tecnicas em demonstrações. Sendo sincero com voces, tenho muita mais muita dificuldade em entender as demonstrações dos livros e se em cada demonstração eu parar quase 5,6 ou ate 15 dias para entender eu não termino o livro. Eu estou lendo o livro do Elon Lages um curso de analise. O fato é que eu ja compreendo tudo de forma intuitiva e sei fazer todos os exercicios mais de uns anos para ca eu estou interessado em adquirir tecnicas de demonstração pois para mim é o que tem de mais lindo na matematica. Ja conseguir entender como funciona o metodo axiomatico as custas de muito esforço já li livros de logica e tenho um livro da teoria dos conjuntos que ja li e é show mais, o fato é que não consigo entender as demonstrações de forma imediata. Eu agora estou tentando enteder a demonstração de um teorema no comecinho do livro 1 que fala sobre uma bijeção b: A - I tal que I = {p pertence N : 1 p n} sendo A contido em I então A = I. E vou dizer as voces ta roça. O que devo fazer para realmente ficar bom nisso e não perder tanto tempo conseguindo vizualizar a demonstração quase que imediatamente? Obrigado Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questões de Mat. B ásica
Ola Bruno e demais colegas desta lista ... OBM-L, A mensagem do Bruno e muito boa. Este espaco e uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA, nao e lugar para se propor problemas de vestibulares ou concursos publicos. Digo isso, em primeiro lugar, porque esse era o objetivo original deste ambiente, conforme pode se ver na pagina da OBM. Se o Prof Nicolau nao alterou este objetivo, ele continua o mesmo ... Alem disso, estudantes de concursos e vestibulares tem inumeros outros espacos na Internet para colocarem e discutirem seus problemas especificos, ao contrario dos estudantes que se preparam para Olimpiadas, com muito poucas opcoes. Ha alguns anos, estudantes de olimpiadas de diversas partes do Mundo assistiam as nossas discussoes. Eu receibia mensagens de alunos de paises da America do Sul, dos EUA e da Europa interessados nos nossos problemas, discussoes e solucoes. Me lembro que na traducao dos problemas russos : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/ Eu precisei disponibilizar a traducao na pagina do Prof Nicolau, tantos e tao diversificados eram os pedidos. E o que estamos vendo agora ? A nossa tao estimada lista cheia de problemas triviais, altamente distantes do ideal olimpico e verdadeira fonte de solucoes para alunos preguicosos que nao querem pensar. Isso afugenta os alunos serios, os Prof's competentes e muitas outras pessoas que poderiam estar colocando aqui belas questoes e belas solucoes, ajudando assim aquele nosso amigo de um estado distante, que gostaria de se preparar para as Olimpiadas de Matematica e que nao dispoe de locais de treinamento proximo as suas casas. A maneira mais sabia de combater estas coisas, eu penso, e nao responder a estas questoes, desestimulando assim aqueles que estao, conscientes ou nao, desvirtuando este espaco de seu belo ideal original. Um abraco a Todos PSR, 42904090841 EM TEMPO : O Euler nos ensinou a calcular a soma dos inversos dos quadrados dos numeros naturais. Nomeadamente ele mostrou que : 1 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + ... = (pi)^2 /6 Mas tambem e verdade que ele tentou somar os inversos dos cubos dos numeros naturais sem sucesso. Parece mesmo que esta soma ainda hoje e um problema em aberto. Pois bem. Expresse T = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + ... Como uma soma de numeros binomiais na qual NENHUM dos numeros binomias aparece em denominador ou elevado a potencias diferentes de 1. 2009/4/29 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com: Luciano, teoricamente esta lista tem por objetivo a discussão de problemas olímpicos (afinal de contas, veja o nome da lista), e não a resolução de lista de exercícios. Questões mais abertas, que exigem mais reflexão do que simplesmente cálculo bobo, são sempre bem recebidas pela maioria. Infelizmente, nos últimos tempos a lista tem se transformado nisso. Há pessoas que só fazem isso por aqui, colocam suas listas de exercícios para que os outros resolvam, sem nem sequer colocar uma mensagem (começa com a lista de exercícios e assina em baixo, com um apelido). Finalmente, muitos dos problemas colocados aqui já foram discutidos, e estão nos arquivos da lista. Claro que se o intuito for promover uma nova abordagem a um problema antigo, isso é fantástico. Agora, só pra saber a resposta, ou para discutir a mesma coisa, seria preferível consultar os arquivos. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/29 Luciano de Siqueira Pimentel luciano@gmail.com 1) Numa certa cidade, foi adotado o seguinte sistema de rodízio de carros: duas vezes por semana, de segunda a sexta, cada carro fica proibido de circular, de acordo com o final de sua placa (alg. das unidades). O número médio de finais de placa proibidos diferentes para cada dia de proibição é: A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) indefinido 2) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 36% 3) O número de soluções reais da equação x^2 = 2^x é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 P.S.: Nessa questão aí eu só achei 2 soluções: x=2 ou x=4 Gostaria de saber mais ou menos como funciona a lista. Estou me preparando para o vest. do ITA, portanto gostaria de participar da lista mandando outros tipos de exercícios (de Matemática, é claro). Eu poderia fazer isso ou seria muito inconveniente? Abraços! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Pessoal, O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui nesta. Um aspecto curioso deste tema e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, numa ordem implicita. Assim : (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros falam em algo como, excontre o decimo termo da expansao de (2x-3y)^15, implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o decimo termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais algumas informacoes. Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o triangulo de Pascal ... Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) ... Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao consistente, um lugar onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 + + Xm)^N ? Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da suporte ... Entao : como e a parte imersa do iceberg ? Um Abraco a Todos ! PSR, 42904091050 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quanto Apostar ?
Ola Bernardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Parabens pela sua mensagem ! Muito boa ! Ela se coaduna perfeitamente ao espirito original desta lista ! Quanto ao B, eu usei B^2 porque assim era no problema original : eu apenas traduzi para uma linguagem elementar, adeguada para ser publicada aqui. O fato de nunca haver encontro significa para mim que as orbitas nunca atingem um ponto de equilibrio, mas isso e outra historia ... O caminho que eu segui foi diferente. Apos caracterizar - como voce fez - os intervalos In eu passei a caracterizacao do formato das moedas cuspidas. Descobri que a N-esima moeda cuspida tem o formato : Mn = (Fn)^2 - 2*Fn*Fn+1*X + ((Fn+1)^2)*(X^2) onde Fn e o N-esimo termo da sequencia de Fibonacci. Daqui, considerando que nesta sequencia (F1)^2 + (F2)^2 + ... + (Fn)^2 = (Fn)*(Fn+1), a soma M1 + ... + Mn fica calculavel e passivel de ser comparda com os valores presentes em In. Vamos trabalhar para subir o nivel das discussoes. Um abracao pra voce, tambem. PSR, 42904091432 2009/4/29 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2009/4/28 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Bernardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos) Voce gostou do problema ? Que bom ! Fico contente por isso. Vou ficar aguardando que voce publique aqui nesta nossa lista a sua solucao. Bom, aí vai uma idéia do problema. Está bem (beem) desorganizado, mas eu acho que é a melhor coisa a fazer para mostrar como a gente pode pensar no problema :) Comece vendo que, para a máquina te devolver alguma coisa, você tem que apostar suficientemente alto. Afinal de contas, se você der só 0.1, a máquina calcula B = 0.9 X, e paf, você perdeu. Resultado, aposte pelo menos 0.5 + um pouquinho (repare que, da forma como o Paulo escreveu, dar 0.5 exatamente faz B = 0.5 que não é estritamente menor do que X = 0.5). O Paulo ajudou bastante escrevendo o algoritmo pra nós todos de forma extremamente clara, o que permite montar uma recorrência : a_{n+1} = x_n x_{n+1} = a_n - x_n e a coisa continua se b_n = a_n - x_n x_n, ou seja, a_n 2 * x_n (repare que aqui temos de novo o primeiro resultado do 0.5 !) Bom, recorrências de segunda ordem cheiram sempre a Fibonacci, principalmente quando os coeficientes são sempre 1 ou -1. Bom, daí eu montei a matriz de mudança de índices : 0 1 1 -1 e calculei algumas potências: 1 -1 -1 2 -1 2 2 -3 2 -3 -3 5 Bom, aqui estava claro que a solução era uma sequência de Fibonacci, com sinais trocados. Um jeito de provar é fazer por indução, mas um modo muito mais legal é ver que essa sequência em questão também satisfaz uma recorrência de segunda ordem (multiplicar por um (-1)^n só muda o sinal das raízes !) e portanto, se duas recorrências de 2a ordem coincidem em dois termos, elas coincidem *sempre*. Ou seja, provamos sem precisar fazer contas. Legal. Os coeficientes da matriz de passagem para n termos adiante é, portanto : G_{n-1} G_n G_n G_{n+1} onde G_n = -(-1)^n F_n, F_n a sequência de Fibonnaci clássica F_0 = 0, F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2 e assim por diante, e a gente tem (por exemplo, pra verificar o (-1)^n) G_3 = 2 = F_3, portanto coincide para n ímpar, por isso o -(-1)^n. Esse problema surgiu como uma questao secundaria na abordagem de um tema bastante distante do tipo habitual de problemas tratados aqui. A roupagem original, formal, era muito sisuda. Foi entao que eu lhe dei esta apresentacao contextualizada em uma maquina de apostas. Vou falar um pouquinho sobre o problema : Seja 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... a sequencia de Fibonacci. Para n par considere o intervalo In=(Fn/Fn+1, Fn-1/Fn). Se n for impar, considere In=(Fn-1/Fn,Fn/Fn+1). Usando as propriedades conhecidas desta sequencia, e facil ver que I1 C I2 C I3 C ... C In C In+1 C ..., onde C significa ESTA CONTIDO. Alem disso, e possivel provar o seguinte : Daí, eu pensei nos intervalos encaixados do Paulo (mas a posteriori) e resolvendo a recorrência e impondo condição de continuar (a_n 2x_n), a gente obtém (a_n, x_n) = (-1)^n (F_{n-1} - F_n * x , F_{n+1} x - F_n) logo (-1)^n (F_{n-1} - F_n * x ) (-1)^n 2(F_{n+1}x - F_n) (-1)^n (F_{n-1} + 2 F_n) (-1)^n (2F_{n+1} + F_n) x e lembrando da definição dos fibonacci : (-1)^n (F_n + F_{n+1}) (-1)^n (F_{n+1} + F_{n+2}) x (-1)^n F_{n+2} (-1)^n F_{n+3}x que dá, pra n=0, realmente 1 2x, e depois para n=1, 3x 2. Ufa, deu certo! E ainda mais, coincide com o que faz o Paulo : para n par, é x F_{n+2}/F_{n+3}, para n ímpar, é x F_{n+2}/F_{n+3} (basta subtrair dois e juntar as equações em pares) Se X esta em In entao a maquima cospe ao menos N moedas Daí, eu fui pro computador :) Um programinha rapidinho em C me permitiu implementar o algoritmo (não com precisão infinita, o que é ainda melhor para ele terminar, já que vai cair cedo ou tarde fora do intervalo que converge pra phi =( \sqrt(5) - 1 )/ 2 o número de ouro !) e ver que nunca ia
[obm-l] Quanto Apostar ?
Ola a todos ! IMAGINEM um pais no qual para todo real X, 0 X 1, cunham moedas de valor X. Neste pais ha uma maquina de apostas que opera recebendo, a principio, uma moeda de valor X (a aposta) , podendo devolver zero, uma ou diversas moedas, segundo o algoritmo : Passo 1) Faz A = 1 Passo 2) Calcula B = A - X Passo 3) Se B X, faz : * Entrega ao apostador (cospe) uma moeda valendo B^2 * Faz : A = X * Faz : X = B * Volta a executar o algoritmo a partir do passo 2 Senao ( Se B = X) , a maquina PARA. Para qual(is) valor(es) de X e vantajoso apostar ? Um Abraco a Todos ! PSR, 22704092032 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjectura com numeros de Fibonacci
Ola carissimo Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Vamos IMAGINAR que os possiveis totais acumulados apos o N-esimo lancamento da moeda estao dispostos ao longo de uma coluna, numerados de cima para baixo, de 1 ate 2^N. Represetaremos por Tn o total de resultados possiveis distintos; por Tni um particular resultado. Exemplos 1) coluna 1 : 0,1 T1=2, T11=0 e T12=1 2) coluna 2 : 0,1,0.5,2 T2=4, T21=0, T22=1, T23=0.5 e T24=2 3) coluna 3 : 0, 1, 0.5, 2, 0.25, 1.5, 1, 3 T3=7, T31=0,T32=1, T33=0.5, T34=2, T35=0.25, T36=1.5, T37=1 e T38=3 Note que estou convencionando que os Tni com i impar promanam da fortuna acumulada anteriormente pela multiplicacao por 0.5; com i par, pela adicao de 1. Agora vou introduzir uma representacao para os possiveis totais acumulados Representarei por A o ato de multiplicar por 0.5; O ato de somar 1 sera representado por B. Os exemplos anteriores ficarao assim : Exemplos 1) coluna 1 : A,B T1=2, T11=A e T12=B 2) coluna 2 : AA,AB,BA,BB T2=4, T21=AA, T22=AB, T23=BA e T24=BB 3) coluna 3 : AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB T3=7, T31=AAA,T32=AAB,...,T37=BBA e T38=BBB E facilver que a N-esima coluna sera representada por TODOS os arranjos de comprimento N que podemos fazer dispondo de 2 letras ... E igualmente claro que metade dos arranjos da N-esima coluna iniciam com A, a outra metade iniciando com B. Ora, e obvio que podemos descartar os A's iniciais dos arranjos iniciados com A, pois eles equivalem a multiplicar por 0.5 o valor inicial zero. Exemplo AABB = 0*(0.5)*(0.5) + 1 + 1 = 1 + 1 = BB ABABB=(((0*(0.5)+1)*(0.5))+1)+1=1*(0.5)+1+1=BABB Assim, se tomarmos todos os arranjos da coluna N iniciados com A ( a metade superior da coluna N ) e descartarmos o primeiro A de cada um, restara, claramente, TODOS OS ARRANJOS DA COLUNA n-1, cujo numero de elementos distintos ja convencionamos designar por Tn-1. portanto : Tn = Tn-1 + VALORES INEDITOS DA METADE INFERIOR DA COLUNA N (1) Os valores ineditos surgem na metade inferior da coluna N, sao todos eles arranjos iniciados com a letra B. Todavia, e claro que nem todo arranjo iniciado com a letra B representa um valor inetido. Por exemplo, na coluna 3 temos que T37=BBA=1 e um valor que nao e inedito. Vamos portanto introduzir um novo conceito. Para ver a motivacao para ele considere os exemplos abaixo : Exemplos 1) BBA = (1+1)*(0.5)=2*(0.5)=1 = BBA=B 2) BBBA=(1+1+1)*(0.5) = 1*(0.5)+1 = 1.5 = BBBA=BAB 3) BABBA=((0.5)+2)*(0.5)=(0.25)+1 = 1.25 = BABBA=BAAB Pensando um pouco sobre os exemplos acima e facil perceber que quando A ESQUERDA DE ALGUM A HA DOIS OU MAIS B CONSECUTIVOS, o valor numerico representado pelo arranjo pode ser representado por um arranjo de comprimento menor. Isso motiva a seguinte definicao : DEFINICAO : Um arranjo e dito ser IRREDUTIVEL se a esquerda de qualquer de suas letras A nao existe duas ou mais letras B consecutivas. Um arranjo que nao e IRREDUTIVEL e dito ser REDUTIVEL Os arranjos redutiveis, cujo valor numerico intrinseco pode ser representado por um arranjo de comprimento menor, nao nos interessam, pois, pela relacao (1) deduzida acima, eles ja foram computados. Interessa-nos os arranjos irredutiveis, pois sao deles que promanam valores ineditos. Ora, os arranjos irredutiveis iniciam sempre com um unico B e a esqueda de qualquer A que porventura nele exista ha, no maximo, um B. Sao portanto exemplos de arranjos irretudiveis : Exemplos : 1) BABABA, BAAA, BABAB, BAAABAABA, BB Os arranjos irredutiveis permitem uma representacao mista interessante : todos as letras B que estao a direita da letra A mais a direita representam um numero natural, nomeadamente igual ao numero de letras B que lá existam; a parte restante do arranjo (a esquerda da letra A mais a direita, inclusive esta letra A ) representa um numero binario decimal. Exemplos 1) BABABBB = BABA + BBB = BABA + 3 = ((1*(0.5)+1)*0.5) + 3 = 3 + [0.11], onde a parte entre colchetes e um numero real em sua representacao na base dois. 2) BAABA = (1*((0.5)^2)+1)*(0.5) = [0.101] Assim, toda arranjo irredutivel R pode ser colocado na forma R = I + [D], onde I e a PARTE INTEIRA e D a PARTE DECIMAL - em base 2- da representacao mista. Considerando esta representacao mista, fica facil ver que : LEMA 1 - Todo arranjo irredutivel representa um valor inedito, vale dizer, um valor que nao surgiu em qualquer das colunas anteriores LEMA 2 - Dois arranjos irredutiveis distintos de mesmo comprimento representam valores distintos Os fenomenos 1) e 2) acima nos permitem melhorar a relacao (1) deduzida acima, colocando-a como : Tn = Tn-1 + TOTAL DE ARRANJOS IRREDUTIVEIS da coluna N (2) Vejam que agora este despretencioso problema nos conduzia a consideracao de um belo problema de Analise Combinatoria, nomeadamente o calculo do numero de arranjos irredutiveis de comprimento N : PROBLEMA : Usando duas letras, quantos arranjos distintos - de comprimento N - podemos fazer de maneira que
[obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)
Ola Marcone e demais colegas desta lista ... OBM-L, Para quem quer partir do zero, o livro abaixo e interessante : 1) http://www.impa.br/opencms/pt/publicacoes/colecao_matematica_universitaria/livro_introducao_a_teoria_dos_numeros/index.html Veja tambem : 2) http://www.mat.unb.br/~maierr/tnotas.pdf O livro abaixo seria um curso mais avancado, para voce estudar quando ja tiver aprendido as coisas basicas dos link's 1) ou 2) acima : 3) http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf Um abraco a todos PSR, 51604090944 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of marcone augusto araújo borges Sent: Saturday, April 04, 2009 12:44 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph) Peço ao Albert ou outro interessado em teoria dos numeros para me indicar livros acessíveis a um iniciante,escrito em potugues,sobre o assunto,que me é de grande interesse.Ficarei muito grato a quem praticar tal gentileza.Aguardo.Obrigado. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME
Ola Silas e demais colegas desta lista ... OBM-L, O rapaz pode esclarecer as duvidas dele aqui conosco. Basta voce inscrever ele na lista. Quanto ao seu problema, eis aqui um raciocinio valido : OBS : Nao e dito quantas cadeiras ha em uma fila ... vou supor que na fila ha exatamente 7 cadeiras.. Se nao for assim, a solucao deve tomar outro rumo. Vamos IMAGINAR que as cadeiras estao numeradas de 1 ate 7. Quais as posicoes que as mocas podem ocupar ? As seguintes : (1,3, 5), (1,3,6), (1, 3, 7), (1,4,6), (1,4,7), (1,5,7), (2,4,6), (2,,4,7), (2,5,7) e ( 3,5,7). Escolhida uma destas 10 possibilidades, podemos permutar as mocas de 3!=6. As quatro posicoes restantes podem ser ocupadas pelos rapazes de 4!=24 modos. Assim, o total T de maneiras de dispor estas pessoas, atendidas as exigencias do problema, e : T=10* 3! * 4! = 10*6*24 = 1440 Um abraco a todos ! PSR, 21304091802 2009/4/13 Silas Gruta silasgr...@gmail.com: Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que: a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440 b) ... A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fwd: Por favor me ajudem nessa
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce deve estar fazendo alguma confusao. O problema ou e impossivel ou e muito simples. Explico. Quando a reta r corta o angulo AOB nos pontos C e D, supondo que OC OA e OD OB teremos que a igualdade entre os angulos ( correspondentes ) AOB e ACD implica que a reta r e paralela a reta que contem OB, nao podendo pois ocorre intersecao entre estas duas retas (na geometria euclidiana) . Logo, o ponto D nao pode existir, ele um absurdo. ... Se voce supor que OC OA e OD OB entao a igualdade entre os angulos AOB e ACD implica que o triangulo OCD e isosceles = DC=DO. Ao tracar as bissetrizes CE e OE teremos que ECO = EOC = o triangulo CEO e isosceles = CE=OE. Por outro lado, os angulos ECD e EOD sao iguais, pois sao metades de angulos iguais. Assim : CE=OE ECD = EOC DC=DO Pelo caso LAL os triangulos CDE e ODE sao iguais ( congruentes ). Logo : CDE=BDE. Um abraco a todos PSR,4150409 2009/4/15 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com: Honestamente, já tentei de tudo, acredito que haja algum teorema do baú da vovó, por favor me ajudem!E se ouver esse teorema, me digam qual é. Obrigado! Seja o ângulo AOB formado por duas semi-retas, tal que AOB é agudo. Traça-se uma reta r que intercepte o ângulo AOB nos pontos C e D respectivamente sobre as semi-retas AO e AB, de tal forma que 0 AOB ACD. Traça-se as bissetrizes de AOB e de ACD que se interceptarão num ponto E, e traça-se outro segmento, DE. O ângulo CDE será denominado Beta, e o seu adjacente, BDE, de Alfa. Pode-se afirmar que a relação entre Alfa e Beta é: Resposta: São iguais. -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de combinatória
Ola Tadeu e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) O problema esta um pouco ambiguo. Vou dizer o motivo mais adiante. Podemos escolher 5 cores de um total de 9 de Binom(9,5) maneiras. Fixadas cinco cores, elas fornecem Binom(5,2) combinacoes de duas cores. Podemos escolher 4 destas combinacoes de Binom(Binom(5,2),4) maneiras. Portanto, a numero de maneiras de pintar o tetraedro sera : R=Binom(9,5)*Binom(Binom(5,2),4) eu acho que o problema esta um tanto ambiguo porque nao sabemos, a priori, se as bolinhas dos vertices sao indistinguiveis. Alem disso, existe uma unica maneira de pintar uma bolinha com 1 cor, mas existem diversas maneiras de pintar um bolinha com duas cores ... Usando duas cores, de quantas maneiras seria possivel colorir uma esfera de maneira que cada cor cor ocupasse CONTINUAMENTE 50% da superficie esferica ? um abraco a todos ! PSR,21304091120 2009/4/9 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma professora disse que sonhou (veja só!) o seguinte problema. Suponha que nos vértices de um tetraedro haja uma bolinha que tenha que ser pintada de duas cores diferentes. Há 9 cores disponíveis, mas de cada vez são selecionadas cinco cores que tem que ser utilizadas no tetraedro. De quantas formas isso é possível? Que sonho! Abraços e Boa Páscoa! -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema!!
Ola Antonio e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) E bem conhecido que um numero natural pode ser escrito como soma de dois quadrados se, e somente se, na sua decomposicao em fatores primos os fatores da forma 4N+3 tenham expoente par . Como 96=(2^5)*3, ve-se que o fator primo 3 ( que e da forma 4N+3 ) nao tem expoente par. Logo, o numero 96 nao pode ser representado como soma de dois quadrados. Este tema da representacao de numeros como soma de dois quadrados e bem conhecido e, em geral, abordado nos cursos iniciais sobre teoria dos numeros. um abraco a todos PSR, 21304091042 Um n 2009/3/24 Antonio Manuel Castro del Rio antoniomcdel...@gmail.com: Ola, boa noite. Preciso de ajuda para resolver um problema. COMO FAZER 96 VIRAR UMA SOMA DE DOIS QUADRADOS? Desde já, obrigado Antonio del Rio = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] demonstração Geom Plana
Olá Thelio de demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) As medianas de um triangulo qualquer se encontram no centro de gravidade do triangulo, tambem chamado de baricentro. Esse baricentro, portanto, divide cada mediana em duas partes, a saber : a primeira parte, que vai do vertice onde se origina a mediana ate o baricentro, a segunda, que vai do baricentro até o ponto medio do lado oposto. E bem sabido que a primeira parte tem medida igual ao dobro da segunda ... Assim, chamando de Ma a medida da mediana que termina no ponto medio do lado a, segue que : (2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mb) c( pela desigualdade triangular ) (2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mc) b( idem ) (2/3)*(Mb) + (2/3)*(Mc) a( idem ) Somando tudo : Ma + Mb + Mc (3/4)*(a+b+c) Um abraco a todos PSR, 21304091430 2009/3/13 Thelio Gama teliog...@gmail.com: Caros professores gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração: Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4 do perímetro Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui. Obrigado Thelio = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Neste caso as caixas seriam distinguiveis. O raciocinio original que voce empregou seria válido. Um problema de alguma forma proximo ao que voce propos, porem nao tao simples, pode ser formulado assim : IMAGINE 10 pequenas bolas, duas a duas indistinguiveis. Dispondo de 4 cores e suponto que cada bola sera pintada de uma unica cor, quantos colares distintos podemos fazer ? SUGESTAO : IMAGINE uma pintura qualquer das bolas. Essa pintura corresponde a uma solucao da equacao A+B+C+D=10. Todavia, com esta particular pintura, em geral, sera possivel fazer diversos colares ... Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 30704091200 2009/4/7 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Olá Professor Paulo, bom dia. Muito obrigado por sua preciosa explicação, entendi..bem a utilização da quádrupla para se obter as soluções não negativas, onde a ordem não é relevante (este foi o meu erro). Muito Obrigado, abração, Marcelo. Queria lhe perguntar uma outra dúvida. Se as caixas fossem numeradas de 1 a 10 ou em outras palavras, importa 2009/4/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Sejam : A - caixas na cor azul B - caixas na cor amarelo C - caixas na cor verde D - caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A 0 ( A e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma formula, para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Sejam : A - caixas na cor azul B - caixas na cor amarelo C - caixas na cor verde D - caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A 0 ( A e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma formula, para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] livro de Análise V1 do Elon pagina 29
Ola Prof Roberto, Alguem ( nao foi eu ) disponibilizou na internet as solucoes destesexercicios. Veja no link abaixo : http://www.ebah.com.br/elon-capitulo-1-exercicios-resolvidos-por-paulo-santa-rita-zip-a4600.html Um AbracaoPaulo Santa Rita 2009/4/2 prof.roberio prof.robe...@bol.com.br: Questão 6) Se A, X está contido em E são tais que A ∩ X = Ø e A U X = E, prove que X = Complementar de A. Questão 7 ) Se A está contido em B, então B ∩(A U C ) = (B∩C) U A para todo conjunto c. Por outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita, então A está contido em B. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida simples - valor de aderência
Ola Carlos, Ele nao deu DOIS termos : ele definiu uma sequencia DESTACANDO duas desuas subsequencias. A sequencia esta bem definida e comporta umainfinidade de subsequencias. Agora, no que concerne diretamente com aquestao, ha um resultado classico e basico da analise real que podeser enunciado da seguinte maneira : Se uma sequencia converge, entao TODAS as suas sub-sequencias tambemconvergem PARA O MESMO VALOR. Entenda bem. Se uma seqquencia converge, entao 1) todas as suassubsequencia convergem 2) todas as subsequencias convergem para omesmo valor a que a sequencia converge. Uma implicacao obvia e imediata e a seguinte : se sabemos que umasequencia converge, para sabermos para que valor ela converge bastacalcular o limite de qualquer uma de suas subsequencias. Voltando ao seu problema, vemos que a subsequencia formada pelostermos impares diverge. Logo, a sequencia nao converge. A subsequenciaformada pelos termos pares converge para ZERO. Logo, zero e um valorde aderencia da sequencia. Eu afirmo que trata-se do UNICIO valor deaderencia. Para ver isso rapida e claramente, seja r # 0 um realqualquer 1) se r 0 entao r nao pode ser valor de aderencia porque toda asequencia, por definicao, tem termos positivos e sabemos - por umaaplicacao direta do teorema da permanencia do sinal - que se umasequencia converge para um valor negativo, a partir de um certo pontotodos os seus termos devem ser negativos. Assim, nenhum r 0 pode servalor de aderencia desta sequencia 2) se r 0, tome E 0 tal que r-E 0. Seja N1 um natural tal quenN1, X2n r-E ( isto e possivel porque X2n - 0 ) e seja N2 outronatural tal que n N2, X2n-1 r+E (isto e possivel porque X2n+1 tendeao infinito ). Para N3 = max{N1,N2} temos Xn nao esta em I=(r-E,r+E)para todo n N3 ( pois os termos impares estarao a direita de I eos termos pares estarao a esquerda de I ). Isto mostra que apenas umnumero finito de termos esta neste invervalo I, vale dizer, r nao evalor de aderencia de Xn. Note que estou aqui usando o fato de que se r e o valor de aderenciade uma sequencia (Xn) entao para todo E 0 o intervalo (r-E,r+E)contem uma infinidade de termos da sequencia. Eu diria que esteresultado e obvio ululante, mas pode ser provado com rigor. Voce querfazer isso ? Um AbracaoPSR, 51501091845 2009/1/15 Carlos Silva da Costa carlossilvadacost...@gmail.com: No livro do Elon (pequeno), tem uma questão assim: quais os valores de aderência da sequeência (xn) tal que x2n-1=n e x2n=1/n? Está sequência converge? o valor de aderência é zero, até ai tudo bem. Agora a sequência converge?, qual é minha dúvida ele me deus dois termos dela, tal que x2n-1 - oo e x2n vai para zero porém é divergente (harmonica), a análise que tem que ser feita é essa mesma? []'s Carlos = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequências Elon / Análise 1
1) E claro que para todo N temos que Xn = Yn, pois a media geometricanunca e maior que a media aritmetica. Desta desigualdade pontualdecorre imediatamente o seguinte : Xn+1 = (Xn*Yn)^(1/2) = (Xn*Xn)^(1/2)=Xn = (Xn) e uma sequencianao-decrescenteYn+1 =(Xn+Yn)/2 = (Yn+Yn)/2 = Yn = (Yn) e uma sequencia nao-crescente E tambem o seguinte : Yn = Xn para todo N, Xn = X1 para todo N = X1 = (Yn) = Y1 paratodo N = (Yn) e limitada.Xn = Yn para todo N, Yn = Y1 para todo N = X1 = (Xn) = Y1 paratodo N = (Xn) e limitada E concluimos : (Xn) e (Yn) sao monotonas e limitadas = (Xn) e (Yn) sao convergentes. Sejam A = lim Xn= sup{X1, X2, ... } e B = lim Yn = inf{Y1, Y2, ...} Nao pode ser B A porque sendo B um infimo isto implicaria aexistencia de um Yp A e a monotonicidade de (Yn) implicaria que Yn A para todo n = p. Ora, tomando um E 0 tal que A-E Yp teriamosque Xn Yp para todo N suficientemente grande = Xn Yn para Nsuficientemente grande ... ABSURDO ! Nao pode ser B A porque teriamos Yn+1 =(Xn+Yn)/2 = B , para todo N= Xn = B + (B-Yn), para todo N. Para N suficientemente grante temosque B-Yn tende a zero pois LIM Yn = B = para N suficientemente grandeXn A ... ABSURDO ! Assim, nao podendo ser A B ou A B segue que A=B, como queriamos demonstrar ! 2) Sem perda de generalidade vou supor que a = b 0. Os detalhesdos casos em que a=0 ou/e b=0 sao triviais e fica como exercicio. Xn=(a^n+b^n)^(1/n) = [a^n(1+(b/a)^n]^(1/n)=a[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)Lim Xn = a*LIM[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n) Note agora que a = b = (b/a) = 1 = (b/a)^N = 1 =1+(b/a)^N = 1+1 = 1 = 1+(b/a)^N = 2= 1 =[1+(b/a)^N]^(1/N) = 2^(1/N)Aplicando o teorema do confronto ( teorema do sandwich ) temos que LIM [1+(b/a)^N]^(1/N) = 1. Logo : LIm Xn= a*1 = a = max{a,b} Fica com Deus !PSR, 51501092019 OBS : Da pra tornar mais claro os dois ultimos argumentos, sendotalvez mais prolixo. Isso fica como exercicio.2009/1/15 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: prezados amigos da lista, Poderiam me ajudar com algumas questões de séries? 1) dados a,b pertencente a R+ defina indutivamente as sequências (xn) e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1= (xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite. 2) seja a =0, b=0, prove que lim(a^n + b^n)^(1/n) = max { a, b} abs, Murilo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender. (estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Ola Murilo, No seu enunciado esta SEQUENCIAS DE NUMEROS NATURAIS e nao SEQUENCIASCRESCENTES DE NUMEROS NATURAIS. Mas se voce que que a sequenciaconstruida seja crescente e facil : Faca t(1) # s1(1)para i natural tal que i 1, faca t(i) = K, onde K e um natural talque K { t(i-1), si(i) }. Isto garante que a sequencia T e crescentee que e diferente da sequencia Si precisamente no ponto i [pois t(i) si(i) ], vale dizer, a sequencia T nao consta da enumeracao onde,erradamente, estamos supondo que estao TODAS as sequencias. Nistoconsiste o absurdo. Este raciocinio e conhecidissimo e foi elaborado pela primeira vezpelo Cantor. E o raciocinio diagonal que o Cantor usou para provarque o conjunto dos numeros reais e nao-enumeravel. Quanto a construir explicitamente nao e possivel, pois as enumracoessao arbitrarias e temos que raciocinar em cima DE QUALQUER ENUMERACAOQUE SEJA FEITA. Alem disso, aqui penetramos em uma discussao secular,vale dizer, se podemos ou nao podemos admitir em matematica objetoscuja construcao exige um numero de passos infinitos. Neste particulareu penso como o Hilbert : ninguem nos tirara do paraiso que Cantorcriou para nos ! Um AbracoPSR, 31301091116 2009/1/13 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Oi Paulo, muito obrigado pela solução, porém uma dúvida que eu fiquei é, não é preciso construir explicitamente a a sequência que não vai constar na lista?, grande abraço e obrigado novamente, Murilo 2009/1/13 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 ! # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender.! (estou tentando deixar a construção de soluções e o fo! rmalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como! sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
chamada de Diagonalização, ou algo parecido? abraços, Salhab 2009/1/13 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, po! rtanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender. (estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo a! purado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enu! nciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim f! ormamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arquivos fontes - Material do IME
Ola Sérgio, Parabéns ! Este seu trabalho é digno de louvor em diversos sentidos.Tenha certeza que ele já é e será útil em diversos níveis e paradiversos tipos de estudantes. Se precisar de ajuda na solução dealguma questão, conte comigo. Um AbraçãoPSR, 60901091709 2009/1/9 Sergio Lima Netto sergi...@lps.ufrj.br: Caros colegas da lista, Estou disponibilizando no site www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime TODOS os arquivos-fonte de LaTeX (.tex para os textos e .eps para as figuras) do material com as provas de matematica do vestibular do IME. O uso pessoal/individual deste material eh livre (para edicao, correcao, complementacao, divulgacao etc.) O uso institucional deve ser solicitado por email. Considero que este foi um grande projeto, feito com muito carinho. Gostaria muito de ve-lo continuado, expandido, melhorado, divulgado, ou seja, usado, por varias outras pessoas. Abraco, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] off topic: polinomio de taylor
Olá Hermann e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos) O livro Um Curso de Calculo, Volume 1, do Prof Hamilton Guidorizzi, tem um capitulo - o cap. 15 - inteiramente dedicado ao polinomio de Taylor. EM MINHA OPINIAO, este livro e, ao menos, um dos melhores dentre todos os livros de calculo escritos por brasileiros ... muitissimo melhor que algumas porcarias estrangeiras adotadas em conhecidas e boas Universidades e Faculdades do Brasil. E e muito dificil nao entender o que e o polinomio de Taylor estudando por ele, pois o autor e altamente didatico. Parece que foi ou ainda e adotado no ITA. EM MINHA OPINIAO, se voce quer estudar calculo seriamente e criar alicerces seguros para um posterior aprofundamento, vale a pena ter os 4 volumes e estudar por ele. ME PARECE que a sua fraqueza esta nos exercicios, em pouca quantidade e triviais. Mas exercicios voce pega em outros, ja classicos e bem conhecidos. Um Abracao PSR, 62111081917 2008/11/19 Hermann [EMAIL PROTECTED]: Boa noite, gostaria de falar sobre 3 assuntos: 1) Mais uma vez agradecer a todos que participam dessa lista, tirar dúvidas ou ler as dúvidas dos outros ensina bastante. 2) Estou achando que há algo de errado com o servidor pois não estou recebendo mensagens. (só consigo lendo no site) 3) Meu problema - (Preciso de ajuda para encontrar um texto (se possível em português) que explique Polinômios de Taylor. Nos livros que tenho de cálculo, o assunto é passado muito superficialmente.) Obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] FATORIAL DE ZERO
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao ha o que justificar ... 0! = 1 e um POSTULADO : tao POSTULADO quanto o quinto postulado de Euclides. E - assim como o famoso postulado euclidiano tambem foi - ele e ainda hoje um dos alicerces da nossa maneira de contar, pois, se o negarmos, as consequencias que dai advem parecem nao corresponder com a realidade com que estamos acostumados a lidar Mas nada pode tolher a nossa liberdade de imaginacao. Quando o Lobachevski negou o quinto postulado de Euclides e afirmou que por um ponto fora de uma reta era possível traçar não uma, mas várias retas paralelas a reta inicial dada, ele chamou os desenvolvimento desta LOUCA HIPOTESE de GEOMETRIA IMAGINARIA simplesmente porque achava que a realidade se conformava com a geometria de Euclides, nao com a Geometria que ela estava descobrindo. Entretanto, com o passar do tempo, ficamos sabendo que a realidade e muito provavelmente NAO-EUCLIDIANA mais provavel que a realidade se Jorge Paulino wrote: Provavelmente esse tópico já foi criado em algum momento. Mesmo assim, como sou novo por aqui, gostaria de alguma contribuição. Sem recorrer à função gama, usando como recurso apenas a interpretação através da problemas de contagem, como justificar que 0!=1?? Eu conheço apenas a interpretação vinculada ao número de subconjuntos. Como Cn,p é igual ao número de subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos, então Cn,0 = 1 indica o número de subconjuntos de 0 elementos, a saber, o vazio. Porém, se C8,3 indica o número de comissões de 3 pessoas num grupo de 8, como aceitar que o número de comissões de zero pessoas é igual C8,0=1? Se A5,3 fornece o número de senhas de 3 letras distintas a partir de um universo de 5, como aceitar que deste mesmo universo é possível obter uma senha de zero letras, isto é, A5,0 = 1? Grato, Jorge = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 7
+1| / (C^N0) ) Fazendo | Xn0+1| / (C^(N0-1) = K, temos que | Xn+1 | K*(C^N ) No Livro em referencia o autor demonstra que LIM C^N = 0, quando C 1. Assim, dado E 0 : Existe N1 tal que nN1 = | C^N - 0 | E / K. Daqui, tomando N2=max{N0,N1} temos que nN2 = |Xn+1| E = | Xn+1 - 0 | E = LIM Xn=0. *** De | X n+1 / Xn | = C 1 tiramos que | Xn+1 | = C*|Xn| para todo nN0. Daqui segue que Pi[ N0+1,N : |Xn+1| ] = Pi[ N0+1,N : C*| Xn | ] para todo nN0. Eliminando os fatores comuns aos dois lados da ultima desigualdade, teremos : | Xn+1 | = (C^(N-N0) )*| Xn0+1| = | Xn+1 | = (C^N )*( | Xn0+1| / (C^N0) ). Fazendo | Xn0+1| / (C^(N0+1) ) = K, temos que | Xn+1 | K*(C^N ) No Livro em referencia o autor demonstra que LIM C^N = +INF, quando C1. Assim, dado qualquer A 0 : Existe N1 tal que nN1 = C^N A/K. Daqui, tomando N2=max{N0,N1} temos que nN2 = |Xn+1| A. = LIM | Xn | = +INF. REOBTENDO O EXEMPLO 21 Seja Xn=(a^N) / N, onde a 1. Entao : | Xn+1 / Xn | = a*(N / (N+1)). Seja N0 o menor natural tal que N0 1/(a-1). Segue : N01/(a-1) = a(N0/(N0+1)) 1. Fazendo C= a(N0/(N0+1)) teremos que N N0 implica que N*N0 + N N0*N + N0 = N*(N0+1) N0(N+1) = (N/(N+1)) (N0/(N0+1)) = (a*N/(N+1)) (a*N0/(N0+1)) = C Assim, para todo N N0 = | Xn+1 / Xn | = a*(N / (N+1)) (a*N0/(N0+1)) = C 1. Daqui concluimos que LIM |Xn| = +INF. Como, neste caso particular, |Xn| = Xn, seguira do resultado demonstrado na solucao do exercicio 4.25 que LIM Xn=+INF. REOBTENDO O EXEMPLO 22 Seja Xn=N! / (a^N), onde a 0. Entao | Xn+1 / Xn | = (N+1) / a. Seja N0 o menor natural tal que N0 = a. Entao (N0+1) / a 1. Facamos C=(N0+1) / a. E claro que se N N0 entao (N+1)/a (N0+1)/a=C. Portanto, N N0 = | Xn+1 / Xn | =(N+1)/a (N0+1)/a=C1. Daqui concluimos que LIM |Xn| = +INF. Como, neste caso particular, |Xn|=Xn, seguira do resultado demonstrado na solucao do exercicio 4.25 que LIM Xn=+INF LIMITE N! / (N^N) = 0 | Xn+1 / Xn | = ( (N+1)! / ( (N+1)^(N+1) ) )*( (N^N) / N! ) = (1 + (1/N))^(-N). Portanto : LIM | Xn+1 / Xn | = 1/e 1/2. Seja E tal que (1/e) + E =1/2. Facamos C=1/2. Como E 0 existe um natural N0 tal que N N0 = | |Xn+1/Xn| - (1/e) | E, vale dizer, NN0 = |Xn+1/Xn| (1/e) + E = C = 1/2 1 . Pela demonstracao do exercicio 4.25 isto estabelece que LIM Xn =0, como queriamos demonstrar. FIM Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 6,0D1A,190408 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 6
definida acima, vale dizer, Vn= Si[1,N:| Xi+1 - Xi | ]. Sabemos que { Vn } e limitada, existindo portanto um L real positivo tal que | Vn | = L, para todo n. Isto posto, definimos : Y1= X1 e Yn = Xn + Vn-1 se n 1 Z1 =0 e Zn = Vn-1 se n 1 Agora, e facil ver que : 1) Yn - Zn = Xn, para todo n 2) Zn e limitada porque, por hipotese, Vn e limitada. Yn tambem e limitada por ser a soma de duas sequencias limitadas : { Xn } e limitada porque, pelo ITEM A, e convergente e {Vn} e limitada porque, por hipotese, {Xn} e de variacao limitada. Assim, tanto {Yn} quanto {Zn} sao limitadas 3) Zn e nao-decrescente porque e soma de modulos de numeros reais. Quanto a Yn, basta ver que : Yn+1 - Yn = (Xn+1 - Xn) + |Xn+1 - Xn|. Se Xn+1 = Xn entao teremos que |Xn+1 - Xn| = Xn+1 - Xn = Yn+1 - Yn = 2(Xn+1 - Xn) = 0. Se Xn+1 Xn entao teremos que |Xn+1 - Xn| = Xn - Xn+1 = Yn+1 - Yn = 0 = Yn+1 = Yn. Portanto, sob qualquer hipotese, Yn+1 = Yn = Yn e nao-decrescente. Os itens 1), 2) e 3) estabelecem a implicacao direta. (VOLTA, =) Seja Xn = Yn - Zn onde {Yn} e {Zn} sao limitadas e nao-decrescente. Queremos mostrar que { Xn } e de variacao limitada. Seja Di = | Xi+1 - Xi |. Entao Vn = Si [1,N:Di ]. E facil ver o seguinte : Di = |Yi+1 -Zi+1 - Yi + Zi| = |Yi+1 - Yi + Zi - Zi+1| = |Yi+1 - Yi| + |Zi - Zi+1| Di = |Yi+1 - Yi| + | Zi+1 - Zi| = (Yi+1 - Yi) + (Zi+1 - Zi) Portanto ( agrupando os Y's e Z's do somatorio ) : Vn = Si[1,N:Di] = (Yn+1 - Y1) + (Zn+1 - Z1) Como {Yn} e {Zn} sao limitadas, existem reais positivos L1 e L2 tais que |Yn| = L1 para todo n e |Zn| = L2. para todo n. Alem disso, as sequencias sao tambem naodecrescentes, vale dizer : -L1 = Y1 = Y2 = ... = Yn = ... = L1 = Yn - Y1= L1 -(-L1) = 2*L1, para todo n -L2 = Z1 = Z2 = ... = Zn = ... = L2 = Zn - Z1 = L2 -(-L2) = 2*L2, para todo n Logo : | Vn | = 2*(L1+L2) para todo n = { Vn } e limitada = {Xn} e de variacao limitada, como queriamos demonstrar. ITEM D Seja r um real qualquer. Definimos : Xn = r + ( ( (-1)^N ) / N ). E obvio ululante que esta sequencia e convergente e LIM Xn = r. Entretanto : Di = | Xi+1 - Xi | = | ( ( (-1)^(i+1) ) /(i+1) ) - ( ( (-1)^i ) / i ) | 2/(i + 1) Portando : Vn = Si[1,N : Di ] 2*( (1/2) + (1/3) + ... + (1/(N+1)) ) Como a serie harmonica e divergente, vale dizer, torna-se e se mantem maior que qualquer grandeza dada, segue que Vn nao e limitada. Assim, {Xn} e um exemplo de sequencia convergente que nao e de variacao limitada. FIM Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 6,0B21,120408 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar : Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao e^N = Xn + RL, onde RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte : Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N)) = LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N)) Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao. EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em seus valores naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em pontos naturais. Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 3,080A,080408 2008/4/7 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Gostei do argumento! Vou pensar na questao do meio da serie. De imediato, nao sei. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) O difícil desse argumento é a famosa convergência uniforme. Eu acho (como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está certo, um pouco pelo fato de parecer meio roubado pegar o limite assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos importantes da soma estão no meio da série... e a gente truncou ! Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma prova de que a resposta é 1/2 ) : Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1). Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica : (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n) + ... + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n) + (1 - 1/n )(1 - 2/n ) + (1 - 1/n ) + 1 + 1 ( os termos do meio n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! ) + (1 - 1/(n+1) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) ) + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) ) + ... Note que quando n - inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra 1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os de baixo convergem para os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos depois aos termos antes do meio e com isso dá pra ver que na verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo depois, mas veja que tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar errado com n - infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple / mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em torno!) Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do meio da série ? Rogério : passo a bola pra você me convencer ! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2008/4/5 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]: Oi Marcelo, quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o Nehab tambem vai :-) Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo. A questao original e' calcular lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da expansao de Taylor para e^n. O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n). Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 , simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n. Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que estabeleco que o limite vale 1. Grande abraco, Rogerio Ponce. Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Ponce, quanto tempo... eu penso um pouco diferente, vejamos: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k
[obm-l] Exercicios de Analise 5
demonstrar. ( EXERCICIO 4.16 ) Precisamos mostrar que a e o limite de alguma subsequencia de Xn. Dado um natural qualquer M1. Como LIM an = a, existe um natural N1 tal que n N1 implica que | an - a | 1 / M1 = an E (a - (1/M1),a + (1/M1) ) = I1. Tomando um K1 N1 temos que ak1 E I1 = a - (1/M1)ak1 a + (1/M1). Considerando que e facil ver que F1=min{ ak1 - (a - (1/M1) ), ( a + (1/M1) ) - ak1 } e positivo e a menor das distancias de ak1 aos extremos de I1, segue que (ak1 - F1, ak1 + F1 ) esta contido em I1. Ora, sendo ak1 valor de aderencia de Xn e portanto existindo uma subsequencia Xni de Xn que converge para ak1, correspondendo ao F1 fixado existe um Ni0 tal que todos os Ni Ni0 da subsequencia Xni sao tais que Xni E (ak1 - F1, ak1 + F1 ) = Xni E I1. Tomando um Xni E I1, facamos Xp1=Xni. Seja M2 um natural tal que 1/M2 | a - Xp1 |. Como LIM an= a, existe um natural N2 tal que n N2 = | an - a | 1 / M2 = an E (a - (1/M2),a + (1/M2) ) = I2. Tomando um K2 N2 temos que ak2 E I2 = a - (1/M2)ak2 a + (1/M2) Considerando que e facil ver que F2=min{ ak2 - (a - (1/M2) ), ( a + (1/M2) ) - ak2 } e positivo e a menor das distancias de ak2 aos extremos de I2, segue que (ak2 - F2, ak2 + F2 ) esta contido em I2. Ora, sendo ak2 valor de aderencia de Xn e portanto existindo uma subsequencia Xni de Xn que converge para ak2, correspondendo ao F2 fixado existe um Ni0 tal que todos os Ni Ni0 da subsequencia Xni sao tais que Xni E (ak2 - F2, ak2 + F2 ) = Xni E I2. Tomando um Xni E I2, facamos Xp2=Xni. Seja M3 um natural tal que 1/M3 |a - Xp2|. Repetindo o mesmo raciocinio desenvolvido antes, encontraremos um Xp3, depois um Xp4 e assim sucessivamente. Mas o que e importante perceber e que a construcao que fizemos e tal que a subsequencia Xpi cumpre : (1/M1) |a - Xp1 | (1/M2) | a - Xp2 | ... (1/Mi) | a - Xpi | ... ou seja : | a - Xpi | 1/Mi com Mi natural e (1/Mi+1) |a - Xpi| para i = 1, 2, 3, ... Assim, dado E 0, tomando um Mj da sequencia dos Mi tal que 1/Mj E temos que | a - Xpi | (1/Mi) E para todo i j, vale dizer, a subsequencia Xpi converge para a, ou seja, a e valor de aderencia de Xn, como queriamos demonstrar. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,0D2C,080408 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Em primeiro lugar, obrigado : palavras de incentivo nos motivam a prosseguir. A ideia me parece muito boa por tres razoes : 1) Todas as solucoes ficariam armazenadas em um mesmo lugar, o que facilitaria consultas. 2) Outras pessoas poderiam aperfeicoar e/ou corrigir as provas 3) Esta nossa lista receberia o link a medida que eu fosse postando as solucoes. Um problema que ocorre e que eu so posso ir colocando as solucoes na medida em que vou arranjando tempo livre, o que significa que eu posso ficar, as vezes, varias semanas sem publicar nada. Se estas ausencias nao ijmplicarem algum problema maior, podemos tocar este projeto ( o Arthur Steiner, que gosta muito de Analise, pode querer ajudar. E bom perguntar a ele ), sem problemas Eu nao tenho nenhum interesse financeiro, holofotes naome atraem e so desejo contribuir para o progresso e elevacao desta maravilhosa ciencia : sou um Matematico, do dedao do pe ate os cabelos da cabeca. Alem disso, tenho uma divida de gratidao tanto para com o Nicolau, que aqui me recebeu com lhaneza, respeito e dignidade bem como com outros professores, com os quais aprendi muito ( Ralph, Gugu, Eduardo Wagner e o falecido Morgado, so para citar alguns ). Assim, esta lista estara sempre sob os meus cuidados, mesmo que muitas vezes, por falta de tempo, eu nao possa dar a ela a devida atencao. Um Abracao Paulo santa Rita 7,0B23,050408 Muitos estudantes de outros paises da America do Sul e mesmo de outros paises costumam nos acompanhar. Vi isso quando traduzi os problemas russos e recebia em off muitos pedidos. 2008/4/4 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]: Olá Paulo, gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas soluções diretamente em uma wiki? Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;) Pensei em criarmos alguma coisa assim: == Análise na reta - Elon == * Capítulo 1 ** Exercício 1 ** Exercício 2 ** : * Capítulo 2 ** ... e assim por diante. Se quiser, crio para você e mando o link por pvt. Um grande abraço, Salhab 2008/4/3 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]: Ola Pessoal, Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do excelente Livro : Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA 11 edicao - 2 impressao Autor : Elon Lages Lima Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores, principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples. Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3 exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes : NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal que ( EXERCICIO 1.14) NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por f(-1)(b) ITEM A : Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a)) = a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como queriamos demonstrar. ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6 } tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X ITEM B : No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso por reducao ao absurdo. Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X, vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X. Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO ! Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA. Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio ! Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir : as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista. Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa. A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas similares. Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a solucao do problema 4.12 ( EXERCICIO 4.12 ) Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao : Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N) Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a. Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn – a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn, vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n N0 ) : 0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) ( (Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) ) Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] = 0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] || Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue : ( DESIGUALDADE 1 ) |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*| Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a| Dado um E 0 ( DESIGUALDADE 2 ) : Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das desigualdades chegamos a : n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar. *** Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas : LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos colchetes há P fatores. Logo : LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q) LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q) O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de - OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri. Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus colegas. Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 6,0630,040408 2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]: Oi Paulo. Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim. Abraços, Claudio Gustavo. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal, Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do excelente Livro : Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA 11 edicao - 2 impressao Autor : Elon Lages Lima Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores, principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples. Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3 exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes : NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal que ( EXERCICIO 1.14) NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por f(-1)(b) ITEM A : Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a)) = a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como queriamos demonstrar. ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Joao ! Tranquilo. Fique a vontade : o meu interesse e que aqui nesta lista seja praticado Matematica de Qualidade. Assim, um bom exemplo e fazer as questoes do Projeto Euclides, IMPA. Se achar valido, apenas cite que trata-se de solucao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA da PUC-RIO. Um Abracao Paulo Santa Rita 6,0911,040408 2008/4/4 João Luís [EMAIL PROTECTED]: Paulo, Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes. Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um arquivo Latex com elas. Voce permite? Um abraco, Joao Luis - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4 Oi Claudio ! Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir : as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista. Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa. A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas similares. Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a solucao do problema 4.12 ( EXERCICIO 4.12 ) Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao : Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N) Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a. Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn – a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn, vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n N0 ) : 0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) ( (Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) ) Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] = 0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] || Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue : ( DESIGUALDADE 1 ) |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*| Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a| Dado um E 0 ( DESIGUALDADE 2 ) : Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das desigualdades chegamos a : n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar. *** Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas : LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos colchetes há P fatores. Logo : LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q) LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q) O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de - OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri. Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus colegas. Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 6,0630,040408 2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]: Oi Paulo. Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim. Abraços, Claudio Gustavo. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal, Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do excelente Livro : Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA 11 edicao - 2 impressao Autor : Elon Lages Lima Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores, principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples. Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3 exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora
Re: [obm-l] Inteiros!!!
Ola Pedro e demais colegas desta lista ... OBM-L, Obviamente que todo par (X,Y) da forma (X,-X) e solucao, pois : X^3 + (-X)^3 = 0 = (X+(-X))/2. Em particular, (0,0) e solucao. Se, porem, X+Y # 0, teremos : X^3 + Y^3 = (X+Y)*(X^2 -XY + Y^2) = (X+Y)/2. = X^2 - XY + Y^2 = 1/2 = (X-Y)^2 = - (X^2 +Y^2) . A possibilidade aqui, logicamente, e : X-Y=0 e X^2+Y^2 = 0. Mas isso da (X,Y)=(0,0) o que contraria a hipotese X+Y # 0 Assim, todas as solucoes inteiras sao {(X,-X) / X e inteiro } Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 6,0A2D,040408 2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: 02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que: x^3 + y^3 = (x + y)^2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 4
definida para todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por : f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b) Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G : 1) e INJETIVA Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e f*2=G(f2). Neste caso, existe a E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe b E B tal que : f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) = f*1(a,b) # f*2(a,b) = G(f1) # G(f2) Assim : f1 # f2 = G(f1) # G(f2) 2) e SOBREJETIVA Dado f* E F(AxB;C). Para cada a E A definimos f_a : B - C pondo f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela aplicacao G já definida. Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma bijecao. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,0E06,030408 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 3
Ola Pessoal, Seguem mais alguns Exercicios de Analise. Estou colocando mais de um numa mesma mensagem porque eles, por enquanto, estao bastante simples. Vou fazendo como diversao mental nas horas livres. O livro em referencia e : Curso de Analise, Vol 1, 11 edicao, 2 impressao, Projeto Euclides, IMPA, Autor : Prof Elon Lages Lima ( EXERCICIO 4.6 ) Dado um E 0 Como LIM Xn = a, existe N0 tal que n N0 = | Xn – a | E/2. Igualmente, como LIM(Xn-Yn) = 0, existe N1 tal que n N1 = | Xn – Yn – 0 | E/2. Vemos portanto que se tomarmos, por exemplo, N2=max{ N0, N1 }, para todo n N2 ambas as desigualdades anteriores ficarao satisfeitas. Adotando este N2 e somando as desigualdades, teremos : n N2 = | Xn – a | + | Xn – Yn | E/2 + E/2 n N2 = | Xn – a | + | Xn – Yn | E = | Xn – a | + | Yn – Xn | E Pela desigualdade dos modulos, sabemos que | A+B | = | A | + | B |. Aplicando este desigualdade na ultima conclusao acima : n N2 = | Xn – a + Yn – Xn | E n N2 = | Yn – a | E Assim, para um E 0 qualquer dado, sempre podemos exibir um natural N2 tal que sempre que n N2 = | Yn – a | E. Isto estabelece que LIM Yn = a, como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 4.7 ) Dado um E 0 De a # 0 concluimos que | a | 0. Daqui sai que ( E / | a | ) 0. Como LIM Yn/a = 1, existe um N0 tal que n N0 = | Yn/a - 1 | E / | a |= | (Yn – a ) / a | E / |a| = |Yn – a | / | a | E / | a | = | Yn – a | E. Assim, para um E 0 qualquer dado, sempre podemos exibir um N0 tal que n N0 = |Yn – a | E. Isto estabelece que LIM Yn = a, como queriamos demonstrar. (EXERCICIO 4.8 ) Considere a sequencia Zn = 1. E claro que LIM Zn = 1. Como b # 0, das propriedades aritmeticas dos limites segue que LIM ( Zn / (Xn/Yn) ) = 1 / b = LIM (Yn / Xn ). Destas mesmas propriedades segue que LIM ( Xn * ( Yn / Xn) ) = a / b = LIM Yn, como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 4.9 ) Considere a sequencia Zn = 1. E claro que LIM Zn = 1. Como a # 0, das propriedades aritmeticas dos limites segue que LIM (Zn / Xn ) = 1 / a = LIM (1 / Xn ). Destas mesmas propriedades segue que LIM ( (1 / Xn)*(XnYn) ) = (1 / a)*b = b / a = LIM Yn, como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 4.10 ) Sejam A e B reais positivos tais que A = B. Usando as propriedades dos numeros reais, é facil provar que para todo natural N teremos A^(1 / N) = B^(1 / N). Aplicando este resultado a desigualdade a = Xn = n^K , seguira : a^(1/N) = (Xn)^(1/N) = (n^K)^(1/N) = a^(1/N) = (Xn)^(1/N) = (n^(1/N) )^K No livro do Prof Elon que estamos considerando aqui, na parte teorica, esta provado que LIM a^(1/N) = LIM n^(1/N) = 1. De LIM n^(1/N) = 1 e facil concluir que LIM (n^(1/N))^K=1. Portanto : a^(1/N) = (Xn)^(1/N) = (n^(1/N) )^K eLIM a^(1/N) = LIM ( n^(1/N) )^K = 1 Do Teorema do Confronto ( Teorema do Sandwich ) segue que LIM (Xn)^(1/N) = 1, como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 4.11 ) Calculando as medias geometrica (G), aritmetica (A) e usando G = A : (1 – (1/N))^(N / (N+1) ) = ( N / (N + 1) ) (1 – (1/N))^(N / (N+1) ) = ( 1 – ( 1/(N+1) ) ) (1 – (1/N))^N = ( 1 – ( 1/(N+1) ) )^(N+1) Este ultimo resultado mostra que Xn = (1 – (1/N) )^N e crescente. Para n=2 temos que X2=1/4. Logo Xn = (1 – (1/N) )^N = 1/4 para todo n = 2. ( EXERCICIO 4.11a ) Xn*Yn=((1+(1/N))^N)*((1 – (1/(N+1)))^(N+1)) Xn*Yn = (((N+1)/N)^N)*((N/(N+1))^(N+1)) = (((N+1)/N)^N)*((N/(N+1))^N)*(N/(N+1)) Xn*Yn = N+1)/N)*(N/(N+1)))^N)*(N/(N+1)) = (1^N)*(N/(N+1)) =N/(N+1) LIM Xn*Yn = LIM N/(N+1) = 1 Como LIM Xn=e entao LIM (1/Xn) = 1/e. Logo : LIM Yn= LIM (1/Xn)*LIM(Xn*Yn) = 1/e Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,0A1A,020408 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 1
Ola Pessoal ! ( vou escrever sem acentos ) O Livro que tenho aqui na minha mesa e o Curso de Analise, Vol 1, Elon Lages Lima, Projeto Euclides, IMPA, 11 edicao, segunda impressao. Considero-o excelente, em verdade, a melhor introducao a Analise feita por um brasileiro. O enunciado das questoes voces deverao encontrar nele. Nao sei se vou conseguir completar este trabalho. As questoes, voces verao, sao simples, mas eu tenho muitas outras ocupacoes que poderao criar dificuldades no prosseguindo da solucoes.As solucoes sao minhas, quero dizer, todos os erros que surgirem sao de minha inteira e exclusiva responsabilidade e voces podem ( e devem ) me corrigir. Nao vou abordar aqui os capitulos 1, 2 e 3. Eles sao muito importantes e vou usar sistematicamente o conhecimente neles transmitido, mas a Analise comeca realmente no capitulo 4, sequencias e series de numeros reais. Os primeiros exercicios, em geral, sao altamente triviais e, portanto, vou fazer mais de um numa mesma mensagem. Eu vou fazendo as questoes conforme vou lendo. Vou tentar publicar ao menos uma mensagem a cada 2 dias. Em geral, e facil ver mais de uma maneira de fazer cada questao, mas sempre vou optar por aquela que me parece mais facil de entender, mesmo que essa solucao mais facil nao seja a mais sintetica ou/e a mais bela. Tornai-me a aparecer, entes imaginários, que me enchíeis outrora os olhos visionários ! Poder-vos-ei fixar ? ... Tenho inda coração capaz de se render à vossa sedução ? ... ( FAUSTO, de Goeth ) ( EXERCICIO 4.1 ) Se lim Xn = a entao, dado um E 0 qualquer, mesmo que muito pequeno, por definicao teremos que : Existe um natural N0 tal que para todo natural n N0 = | Xn - a | E. Como, devido a propriedade dos modulos, | |Xn| - |a| | = | Xn - a | segue, com mais forte razao, que para todo n N0 = | |Xn| - |a| | E, isto e, para todo E 0 dado, existe N0 tal para todo n N0 teremos que | |Xn| - |a| | E, vale dizer, lim | Xn | = | a |, como queriamos demonstrar. Para mostrar a falsidade da afirmacao reciproca, tomemos como contra-exemplo a sequencia definida por : Xn = (1 - N) / N Teremos, sucessivamente lim |Xn| = lim| (1 - N)/N | = lim| (N-1)/N | = lim (1-N)/N = -1 = | 1 |. Assim, lim | Xn | = | 1 |. Mas : lim Xn = lim (1-N)/N = -1. No caso em que a=0 vale a afirmacao reciproca, isto e, lim |Xn| = |0| = lim Xn = 0. Para ver isso claramente, seja lim |Xn| = | 0 |= 0. Entao, dado um E0 qualquer, mesmo que muito pequeno : Existe um natural N0 tal que n N0 = | |Xn| - |0| | E . Daqui seque : | |Xn| - |0| | E = | |Xn| - 0 | E = || Xn|| E = | Xn| E = | Xn - 0 | E = lim Xn = 0 ( EXERCICIO 4.2 ) Como lim Xn = 0 entao, dado E 0 qualquer ; Existe um natural N0 tal que para todo n N0 = | Xn - 0| E, isto e, |Xn| E. Mas, por definicao, Yn = min{ |X1|, |X2|, ..., |Xn| }, vale dizer, Yn e real nao negativo e Yn = | Xn | para todo n natural, ou seja, | Yn | | Xn | para todo n natural. Como |Xn| E para todo n N0 entao entao |Yn| E para todo n N0 = |Yn - 0 | E para todo n N0 = lim Yn = 0. ( EXERCICIO 4.3 ) Suponha que nao fosse lim Xn = a. O que significa dizer isso ? Significa o seguinte : Existe um E 0 tal que para todo N0 fixado existe n N0 tal que | Xn - a | = E Tomemos um tal E 0 e fixemo-nos nos indices n N0 que sao pares. Isto significa que existe um E 0 tal que para todo N0 fixado existe n par N0 tal que |Xn - a| = E. Isto significa que lim X2n nao e a, isto e, lim X2n # a ... ABSURDO ! Assim, nao pode ser lim Xn # a, vale dizer, lim Xn = a como queriamos demonstrar. A todos, com os melhores votos de Paz Profunda, sou Paulo Santa Rita 5,0830,1B0308 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercicios de Analise 2
Ola Pessoal, Seguem mais 3 exercicios ( EXERCICIO 4.3 ) Dado E 0. Como lim X2n=a, existe um natural par N1 tal que para todo numero par n com n N1 teremos | Xn – a | E. Igualmente, como lim X2n-1=a, existe um natural impar N2 tal que para todo numero impar n com n N2 teremos | Xn – a | E. Seja N3=max{N1,N2}. Se n N3, seja n par ou impar, | Xn – a | E, isto e, para todo natural n tal que n N3 = | Xn – a | E = lim Xn = a ( EXERCICIO 4.4 ) Vou representar por Nij os naturais do conjunto Ni. Assim, exemplificando, os naturais pertencentes a N3 são N31, N32, ... Dado E 0. 1) Como LIM Xn = a, n em N1, existe um N10 tal que para todo n em N1 e n N10 teremos | Xn – a | E 2) Como LIM Xn = a, n em N2, existe um N20 tal que para todo n em N2 e n N20 teremos | Xn – a | E ... K) Como LIM Xn = a, n em Nk, existe um Nk0 tal que para todo n em Nk e n Nk0 teremos | Xn – a | E Seja N0 = max{ N10, N20, ..., NK0 }. Seja n um natural qualquer tal que n N0. Como n estara em algum Ni ( pois a uniao de todos os Ni e o conjunto de todos os naturais ) segue que n N0 = max{ N10, N20, ..., NK0 } = Ni0 = N Ni0 = | Xn – a | E. Assim, para todo E 0 exibimos um natural N0 = max{ N10, N20, ..., Nk0 } tal que para todo n N0 teremos | Xn – a | E, isto e, LIM Xn = a ( EXERCICIO 4.5 ) O autor da uma SUGESTAO, vale dizer, da a SOLUCAO. Para que voces possam se enriquecer ainda mais, aqui vai uma solucao diferente, sem usar a sugestao do Autor. Para cada k natural, seja Pk o K-esimo numero primo. Assim, a titulo de exemplificacao, teriamos P1=2, P2=3, P3=5, ... Definimos agora a sequencia de conjuntos : Nk = { Pk } uniao { todos os naturais NAO-PRIMOS divisiveis por exatamente K primos } k = 1, 2, ... Assim, por exemplo : N1 = { 2 } uniao { 2^L, 3^L, 5^L, ..., (NUMERO PRIMO)^L, ... } , onde L 1 N2 = { 3 } uniao { ( (P1)^L)*( (P2)^M ) onde P1 e P2 são primos }, L,M 0 e assim sucessivamente. OBS : coloque o 1 em N1 E facil ver que N = N1 uniao N2 uniao ... uniao Nk uniao ... e que cada Nk e por si um conjunto infinito. Assim, decompomos N, conjunto dos numeros naturais, numa infinidade de conjuntos infinitos tal como o autor pede. Alias, fizemos mais que isso : decompomos N numa infinidade de conjuntos infinitos dois a dois disjuntos ! Agora, seja a um real fixo qualquer. Para cada n em Nk facamos : 1) Xn = Pk se n = Pk 2) Xn = ((N – 1) / N)*a se n # Pk Fazendo n variar dentro de Nk e facil ver que LIM Xn = a, bastando considerar os n de Nk tais que n Pk, pois LIM Xn = a*LIM((N-1)/N) = a e este limite não se altera se retirarmos uma quantidade finita ( os n = Pk ) de termos. Assim, em todo Nk temos que LIM Xn = a, n variando em Nk. Mas não ocorre que LIM Xn = a, n variando nos Naturais ... Para ver isso claramente, seja dado E 0. Como a e fixo e o conjunto dos numeros primos e ilimitado, para todo natural N0 fixado existe um primo Pk max{ N0, a+E}. Como, por definicao, Xpk = Pk = | Xpk – a | E, ou seja, para todo No fixado e possivel encontrar um natural n tal que | Xn – a | E, vale dizer, LIM Xn # a, como queriamos demonstrar. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,0C0D,1B0308 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =