[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: Módulo
Uma coisa que você deve definir é a paridade de n. Vamos reescrever em linguagem de congruências : 2^n==1 (mod 3). Sabendo que 2== -1 (mod 3), então (-1)^n == 1 (mod 3). O que só será verdade se n for par. Então, para n = 2k, temos 4^k = 3x +1. Por experimentação, você pode concluir alguns pares (k, x) de solução, (0, 0); (1, 1); (2, 5); (3, 21)...Então, seu trabalho é mostrar que o par (k, (4^k-1)/3 ) é uma solução. Em qui., 11 de ago. de 2022 às 17:38, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em qui, 11 de ago de 2022 16:12, Esaú Gomes > escreveu: > >> Alguém poderia me falar o que estudar mais especificamente na questão >> abaixo? >> >> Para quais valores naturais de *n* e *x*, existe solução >> 2^n = 3x + 1. >> > > Provas antigas. > > Esses problemas são resolvidos geralmente apelando para fatos padrão de > congruências, em especial potenciação, ordem etc. > > E, no geral, a melhor maneira de entender e aplicar estes fatos é mediante > treino, treino e mais treino. > > -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função phi de Euler
Saudações a todos da lista. É um fato que para primos p ímpares, a função de Euler phi(p)=p-1 é sempre um valor par. Os primos 7, 13, 19, 31, 37, 67, 73, 79, 97, ... tem valores pares múltiplos de 3. Existe algum caminho a tomar para determinar quando phi(p) = 3 .(2k)? Agradeço qualquer solução ou informação ou indicação de leituras sobre o problema. Att -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Muito interessante, não faço a mínima ideia de como fazer, mas como você disse vou me divertir pesquisando. Não sei se tem alguma coisa a ver mas, se dividir o período desses exemplos ao "meio" e somar (1/11 deu essa ideia) o resultado parecem ser 9's. Outra coisa que percebi é que a ordem desses denominadores módulo 10 é igual ao tamanho do período ( de novo 1/11 deu essa ideia). E como alguns são raízes primitivas de 10 o período é o maior possível... Com certeza se for verdade, são fatos já provados, vou tentar encontrar as fontes. Obrigado pela atenção [[ ]]'s Em dom., 10 de jul. de 2022 às 16:38, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Se quiser se divertir mais com isso, veja o seguinte: > 1/7 = 0,142857142857142... > O período é 142 857 e 1+8 = 4+5 = 2+7 = 9. > > 1/11: o período é 09 e 0+9 = 9. > > 1/13: o período é 076 923 e 0+9 = 7+2 = 6+3 = 9. > > Determine, com demonstração, para quais números N, o período de 1/N tem > esta propriedade. > > > > > On Sun, Jul 10, 2022 at 8:41 AM Rubens Vilhena Fonseca < > rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: > >> Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os >> ótimos esclarecimentos. >> [[ ]]'s >> >> Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim: >>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n. >>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide >>> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. >>> >>> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira >>> wrote: >>> >>>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos >>>> que x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.* >>>> ---///--- >>>> >>>> MAIS SPOILERS ABAIXO >>>> >>>> >>>> ... >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> ... >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito: >>>> ---///--- >>>> LEMA: >>>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma >>>> 111...111 que é múltiplo de n. >>>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo >>>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho >>>> do período (fundamental) da dízima em 1/n. >>>> PROVA: >>>> >>>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n >>>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir. >>>> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos, >>>> B>>> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas >>>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por >>>> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n. >>>> >>>> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com >>>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na >>>> dízima de 1/n. >>>> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p * >>>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se >>>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em >>>> particular, p>=k. >>>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - >>>> (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com >>>> m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem >>>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5, >>>> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto >>>> k>=p. >>>> >>>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n = >>>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas >>>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no >>>> primeiro dígito! >>>> >>>> ---///--- >>>> Agora fica tudo bem simples: >>>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p >>>> dígitos. >>>>
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os
ótimos esclarecimentos.
[[ ]]'s
Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira <
ralp...@gmail.com> escreveu:
> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>
> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira
> wrote:
>
>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que
>> x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.*
>> ---///---
>>
>> MAIS SPOILERS ABAIXO
>>
>>
>> ...
>>
>>
>>
>>
>>
>> ...
>>
>>
>>
>>
>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
>> ---///---
>> LEMA:
>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
>> 111...111 que é múltiplo de n.
>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
>> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
>> PROVA:
>>
>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
>> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
>> B> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
>> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>>
>> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
>> dízima de 1/n.
>> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
>> particular, p>=k.
>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
>> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
>> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
>> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
>> k>=p.
>>
>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
>> primeiro dígito!
>>
>> ---///---
>> Agora fica tudo bem simples:
>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
>> dígitos.
>> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>>
>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
>> no lema:
>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
>> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
>> primeiro dígito!). Portanto k>=q.
>>
>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
>> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
>> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
>> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
>> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>>
>> Foi?
>>
>>
>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>>> Comentário:
>>> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 (
>>> k=6 1's).
>>> Essa parte consegui provar.
>>> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>>> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração
>>> dos dois fatos.
>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>> [[ ]]'s
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em Repunits
Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
*Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
Comentário:
Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6
1's).
Essa parte consegui provar.
Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
{10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração dos dois
fatos.
Agradeço qualquer ajuda.
[[ ]]'s
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
