A gente pode considerar as duas parábolas da seguinte forma, sem perda de generalidade:
i) y = alfa . x ^ 2 ii) x - a = beta . (y - b) ^ 2 Nessa equação, alfa, beta e b são positivos. A constante a é negativa e, pra termos 04 pontos na interseção das duas parábolas, basta que a < - raiz(b / alfa). Desenvolvendo ii): beta . y ^ 2 - 2b . beta . y + beta . b ^ 2 - x = - a -> beta . y ^ 2 - 2b . beta . y - beta / alfa . y + beta . x ^ 2 - x = - a - beta . b ^ 2 -> beta . y ^ 2 - beta . (2b + 1 / alfa)y + beta . (b + 1 / (2 . alfa)) ^ 2 + beta . x ^ 2 - x + 1 / (4 . beta) = - a - beta . b ^ 2 + beta . (b + 1 / (2 . alfa)) ^ 2 + 1 / (4 . beta) -> (y - (b + 1 / (2 . alfa))) ^ 2 + (x - 1 / (2 . beta)) ^ 2 = b / alfa + 1 / (4 . alfa ^ 2) + 1 / (4 . beta ^ 2) - a / beta. E essa última equação é a de uma circunferência. c.q.d Sent from my iPad On 02/09/2012, at 17:27, Marcelo de Moura Costa <mat.mo...@gmail.com> wrote: > Foi-me apresentado o seguinte problema: > > Mostre que se duas parábolas, com retas focais perpendiculares entre si, se > intersectam em quatro pontos, então estes pontos pertencem a um círculo. > > O problema começa em que o fato das retas focais serem perpendiculares não > garante > que haverá 4 pontos de intersecção entre as parábolas, é necessário pelo > menos que os focos de ambas > encontrem-se no mesmo quadrante formado pelas perpendiculares e a uma > determinada distância. > Ou eu estou enganado? Gostaria muito de uma orientação quanto a esse problema. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
