[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Tá bom... o próx. termo é sin(75°) veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: 15 de março de 2012 11:44 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas Mas quem disse que o proximo termo eh sin(60°)? ;) Abraco, Ralph 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função sin não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc- rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Tá bom... o próx. termo é sin(75°) — veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Você sabe que eu gosto de análise, né? Complexa é melhor ainda. sin(pi/2 + I* arcsinh(1/8 * 1/sin(pi/12)^2) está na PG, assim como sin(pi/2 + I*arcsin(1/16 * 1/sin(pi/12)^3)), etc, etc. Ah, e se você acha arcsinh feio (porque o resto é bonitinho, mesmo o seno de 15° que eu não expandi pra economizar espaço), é só um logaritmo de uma raiz de uma equação de segundo grau, então é bem explícito ;) Observações: 1) a função seno nos complexos tem exatamente o mesmo problema da exponencial, ou seja, arco seno não é bem definido, da mesma forma que o logaritmo, afinal de contas, ela continua sendo 2pi periódica! Assim, não apenas esses valores, mas infinitos mais (como acima) fazem parte da seqüência. O mais estranho é que começa no eixo real, e termina numa vertical imaginária sobre pi/2. 2) Aliás, assimptoticamente, os argumentos estarão em PA, porque afinal de contas sin(pi/2 + iy) = sinh(y) que é quase igual à exponencial exp(y)/2, ainda mais quando y - infinito, e como os termos da PG também formam uma função exponencial a*exp(k*n), tudo fica bonitinho. Exercício: calcular o erro da falsa PA das ordenadas imaginárias no resto da seqüência, e encontrar o limite log(erro_n)/n (ou seja, a velocidade do decaimento, e a dica é que a ordem é exponencial, o que é de se esperar). O primeiro que responder esse exercício ganha o doce do Bouskela :). Abraços reais e imaginários, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Olá, Ralph! Jogo a toalha! Você merece o doce! Devo, não nego, pagarei quando puder! Mas eu posso me justificar (só pra não ficar coberto de vergonha!): Qdo. vi a questão, vi assim: [ sin(15°), sin(30°)... ] e, não, [ sin(15°), sin(30°), ... , ]. A diferença é sutil, reconheço! Entretanto, embora correta, a questão me induziu ao erro e isto não é correto! Afinal, qualquer cristão (sou materialista dialético!), ao olhar para [ sin(15°), sin(30°), ... ], enxerga [ sin(15°), sin(30°), sin(60°)... ]. Repare que a questão refere-se a uma PG, então o termo PG ficou martelando na minha cabeça! Bem, ao ler isto aí de cima, soa como uma desculpa pra lá de esfarrapada é verdade! Contudo, há um fato incontrastável (palavra bonita!): eu erraria a questão! Mas eu tenho todos (todos!) os conhecimentos necessários para resolvê-la fácil e rapidamente! Mesmo assim eu erraria! Só posso concluir que questão esteja mal formulada. Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com -Mensagem original- De: ralp...@gmail.com [mailto:ralp...@gmail.com] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: 15 de março de 2012 13:02 Para: bousk...@msn.com Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas Oi, Bouskela. Os termos sao sin15 sin30 2sin30cos15 4sin30(cos15)^2 8sin30(cos15)^3 ... :P Concordo contigo que fica dificil fazer uma P.A. com um bando de senos (bom, especialmente com os argumentos em P.A. ou P.G.) -- voce demonstrou isso ali em cima. Mas eles colocaram ... no terceiro termo. Ninguem falou que os termos sao um bando de senos, muito menos de senos de arcos em P.A. Eles disseram que eh uma P.G., e que os dois primeiros termos sao (raiz(6)-raiz(2))/4 e 1/2, soh isso. Alias, acho que eh o contrario -- o PONTO da questao eh exatamente que nao se faz uma P.G. simplesmente botando P.G. ou P.A. nos argumentos dos senos. Note a resposta errada (C) -- se algum aluno achar que sina.sinb = sin(ab), ele marca sin2 como resposta, e acha que a P.G. eh sin15, sin30, sin60, sin120, sin240 -- que, como voce disse seria absurdo. Em suma, acho que a questao estah corretissima, e ela estah tentando ensinar exatamente o que voce afirma corretamente. Ela concorda contigo! Abraco, Ralph P.S.: Quero meu doce! ;) 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Tá bom... o próx. termo é sin(75°) veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Veja o e-mail que enviei ao Bernardo (está abaixo) Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com E-mail enviado ao Bernardo: Olá! O que quis dizer é: PG: [ a, a(r), a(r^2), a(r^3) ... a(r^n) ] , um polinômio de grau n (estou me referindo a uma PG finita). sin: [ sin(arg1), sin(arg2), sin(arg3) ... sin(argn) ] , sendo argi = argumento de índice i. Daí, é necessário (necessário para este problema, é claro!) encontrar uma equação recursiva entre argi e argi+1 que satisfaça à: sin(argi) = a(r^k) , para i=a...b e k=c...d , a e b inteiros, assim como também c e d. Veja que se pode fazer k=1...n sem perda de generalidade. Não é possível encontrar esta equação recursiva, porque [ sin(arg1), sin(arg2), sin(arg3) ... sin(argn) ] não é um polinômio para qualquer i (inteiro). É claro que poderíamos fazer: [ sin(15°), sin(30°), sin(75°) ] . Realmente uma PG! Mas não é este o enunciado do problema!!! E mais: O próximo (4°) termo desta PG é maior do que 1 (igual a 1,87). Portanto, já não pode ser expresso como o seno de um ângulo. O enunciado do problema (tal como está!) não faz sentido. É mais fácil ver isto através dos outros argumentos que apresentei: sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 1,93 é diferente de 1,73 (não vou colocar ! para não ficar parecendo o fatorial de 1,73). Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(45°), também não forma uma PG! A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! Toda PG é monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e monotonamente decrescente para razões menores do que 1. Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
