[obm-l] RES: [obm-l] Espaços Métricos
Mostre que se X inter K é fechado de K para todo compacto K C ou igual
M, então X é fechado do espaço M
(inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual a)
Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja fechado. Entao, X possui um
ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X. Adicionalmente, existe
uma sequencia (x_n) em X que converge para x (propriedade de espacos
metricos).
O conjunto A = (x1, x2x_n} nao eh fechado, pois x eh ponto de
acumulacao de A mas nao pertence a A.
Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1, x2x_n...} eh compacto (qualquer
cobertura aberta de K contem um membro que contem x e que, desta forma, com
possivel excecao de um numero finito de elementos de K, cobre a totalidade
dos elementos de K. Isto decorre do fato de que x_n - x).
Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto K tal que X inter K = A
nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a afirmacao eh verdadeira.
No outro problema, observe que as duas metricas geram exatamente os mesmos
conjuntos abertos, ou seja, geram a mesma toplogia.
Artur
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Sobre o conjunto não vazio M, considere uma métrica qualquer d e também
a métrica (x,y) ---d'--- d(x,y)/(1+d(x,y)). Mostre que uma sequência em
M é de Cauchy com relação a d se e somente se ela for de Cauchy com
relação a d'.
Obrigado
Maurizio
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] espaços métricos
Isso tem na maioria dos livros de Analise ou Topologia, mas OK. Seja x pertencente a X. Para toda vizinhanca W, em Z, de gof(x), existe, pela continuidade de g em f(x) , uma vizinhanca V, em Y, de f(x) tal que g(v) pertence a W para todo v de V. Pela continuidade de f em x, existe uma vizinhanca U de x, em X, tal que g(u) pertence a V para todo u de U.Logo, para todo u de U, f(u)pertence a V e, portanto. g(f(u)) = gof(u)pertence a W. Concluimos assim, em ultima analise, que, para toda vizinhanca W de gof(x), existe uma vizinhanca U de x tal que gof(u) pertence a W para tod u de U.Pela definicao, concluimos que gof eh continua em x. Esta eh uma demonstracao puntual, ou seja , mostramos que se f eh continua em x e e g eh continua em f(x), entao gof eh continua em x.Como tais condicoes valem em todo o X e todo o Y, a coontinuidade de gof em Xsegue automaticamente. Outra forma de mostrar isso, baseados no fato de que sabemos das continuidades de f em X e de g em Y, eh usar o fato de que imagens inversas de conjuntos abertos por funcoes continuas sao conjuntos abertos. Seja A eh um aberto de Z.Temos que gof^(-1)(A) = f^(-1)(g^(-1)(A)). Pela continuidade de g em Y, temos queg^(-1)(A) eh um aberto de Y; e pela continuidade de f em X, temos que . f^(-1)(g^(-1)(A)) = gof^(-1)(A) eh um aberto de X. Logo, gof eh continua em X Obeserve que, embora se tratem de espacos metricos, estas demonstracoes valem em qualquer espaco topologico. Artur. [-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de cleber vieiraEnviada em: terça-feira, 31 de maio de 2005 14:42Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] espaços métricos Os amigos poderiam me enviar uma demonstraçãoclara e rigorosa do seguinte teorema: Se (X,d),(Y,p) e (Z,w) forem espaços métricos e se f :X--- Y , g :Y --- Z forem (d,p)-contínua e (p,w)-contínua, respectivamente, então gof:X---Z será (d,w)--contínua. Muito Obrigado. Vieira Yahoo! Mail: agora com 1GB de espaço grátis. Abra sua conta!
Re: [obm-l] RES: [obm-l] espaços métricos
Muito obrigado Arthur.Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Isso tem na maioria dos livros de Analise ou Topologia, mas OK. Seja x pertencente a X. Para toda vizinhanca W, em Z, de gof(x), existe, pela continuidade de g em f(x) , uma vizinhanca V, em Y, de f(x) tal que g(v) pertence a W para todo v de V. Pela continuidade de f em x, existe uma vizinhanca U de x, em X, tal que g(u) pertence a V para todo u de U.Logo, para todo u de U, f(u)pertence a V e, portanto. g(f(u)) = gof(u)pertence a W. Concluimos assim, em ultima analise, que, para toda vizinhanca W de gof(x), existe uma vizinhanca U de x tal que gof(u) pertence a W para tod u de U.Pela definicao, concluimos que gof eh continua em x. Esta eh uma demonstracao puntual, ou seja , mostramos que se f eh continua em x e e g eh continua em f(x), entao gof eh continua em x.Como tais condicoes valem em todo o X e todo o Y, a coontinuidade de gof em Xsegue automaticamente. Outra forma de mostrar isso, baseados no fato de que sabemos das continuidades de f em X e de g em Y, eh usar o fato de que imagens inversas de conjuntos abertos por funcoes continuas sao conjuntos abertos. Seja A eh um aberto de Z.Temos que gof^(-1)(A) = f^(-1)(g^(-1)(A)). Pela continuidade de g em Y, temos queg^(-1)(A) eh um aberto de Y; e pela continuidade de f em X, temos que . f^(-1)(g^(-1)(A)) = gof^(-1)(A) eh um aberto de X. Logo, gof eh continua em X Obeserve que, embora se tratem de espacos metricos, estas demonstracoes valem em qualquer espaco topologico. Artur. [-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de cleber vieiraEnviada em: terça-feira, 31 de maio de 2005 14:42Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] espaços métricos Os amigos poderiam me enviar uma demonstraçãoclara e rigorosa do seguinte teorema: Se (X,d),(Y,p) e (Z,w) forem espaços métricos e se f :X--- Y , g :Y --- Z forem (d,p)-contínua e (p,w)-contínua, respectivamente, então gof:X---Z será (d,w)--contínua. Muito Obrigado. Vieira Yahoo! Mail: agora com 1GB de espaço grátis. Abra sua conta!__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
