[obm-l] Re: [obm-l] fórmula geral para a soma S
S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1) Este eh um problema clássico. é soh fazer: 1/1x2 = 1/1 - 1/2 1/2x3 = 1/2 - 1/3 1/3x4 = 1/3 -1/4 1/4x5 = 1/4 -1/5 . . . 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1) somando tudo temos : 1 - 1/(n+1) = n/(n+1) Espero ter ajudado. Os outros problemas ficam como desafios. Abraços - Original Message - From: Tales Prates Correia [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 23, 2007 8:02 PM Subject: [obm-l] fórmula geral para a soma S Olá integrantes da lista, Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês - o qual pedia para determinar a seguinte soma: S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1) Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos: S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1) S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1) Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a soma das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório: S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . . onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é diferente -A/q , com q natural não nulo. E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula: S = (n-1)/(A1)x(An) Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada. Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para o mesmo problema. Agradeço desde já, Átila Prates Correia. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei em alguma coisa assim: 1) Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser escolhida. Seja X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela primeira vez. P(X=1)=1/n P(X=2)=1/n*1/(n-1) P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2) . . . P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k) Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na primeira, fiz besteira. 2) Encontrei 0,037 e 0,2702 Na segunda, concordamos. 3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está errada na minha resposta anterior)... A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não entendi a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais? Um abraço. Valdoir Wathier. ALguém confirma esses valores?! -- Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões: 1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n). Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a 1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para qualquer chave. A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das anteriores abra a porta e que ela abra. Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta? A primeira chave não abre: (n-1)/n. A segunda chave não abre: (n-1)/n. A terceira chave abre: 1/n. A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre, ou seja: [(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n - 1)^(k-1) / n^k Acho que é algo nessa linha. 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C. Probabilidade de ser defeituosa: Para isso você pega o percentual de produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito que cada uma produs. ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está bem claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também). Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina A). Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina B). Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E
[obm-l] Re: [obm-l] fórmula geral para a soma S
An = A(n+1) + r 1/A1xA2 = 1/rA1 - 1/rA2 = (A2 - A1)/rA1A2 = r/rA1A2 = 1/A1A2 1/A2xA3 = 1/rA2 - 1/rA3 1/A3xA4 = 1/rA3 - 1/rA4 1/A4xA5 = 1/rA4 - 1/rA5 1/n(n+1) = 1/rAn - 1/rA(n+1) Soma seria= 1/rA1 - 1/rA(n+1) = (A(n+1) - A(1))/rA1A(n+1) A(n+1) = A1 + nr n/A1A(n+1) desta forma difere apenas o termo r da razão no denominador: e tal soma seria: - Original Message - From: Tales Prates Correia [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 23, 2007 8:02 PM Subject: [obm-l] fórmula geral para a soma S Olá integrantes da lista, Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês - o qual pedia para determinar a seguinte soma: S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1) Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos: S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1) S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1) Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a soma das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório: S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . . onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é diferente -A/q , com q natural não nulo. E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula: S = (n-1)/(A1)x(An) Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada. Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para o mesmo problema. Agradeço desde já, Átila Prates Correia. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei em alguma coisa assim: 1) Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser escolhida. Seja X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela primeira vez. P(X=1)=1/n P(X=2)=1/n*1/(n-1) P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2) . . . P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k) Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na primeira, fiz besteira. 2) Encontrei 0,037 e 0,2702 Na segunda, concordamos. 3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está errada na minha resposta anterior)... A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não entendi a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais? Um abraço. Valdoir Wathier. ALguém confirma esses valores?! -- Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões: 1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n). Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a 1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para qualquer chave. A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das anteriores abra a porta e que ela abra. Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta? A primeira chave não abre: (n-1)/n. A segunda chave não abre: (n-1)/n. A terceira chave abre: 1/n. A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre, ou seja: [(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n - 1)^(k-1) / n^k Acho que é algo nessa linha. 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C. Probabilidade de ser defeituosa: Para isso você pega o percentual de produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito que cada uma produs. ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está bem claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também). Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina A). Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina B). Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] fórmula geral para a soma S
Olá novamente, Stuart, muito interessante seu raciocínio. Obrigado por ter respondido. Abraços, Átila P. Correia From: Giuliano (stuart) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re:[obm-l] fórmula geral para a soma S Date: Wed, 23 May 2007 20:49:17 -0300 Acho q eh isso: 1/(A_(n-1))x(A_n) = [A_n - A_(n-1)]/q * 1/(A_(n-1))x(A_n)= =1/q * [ 1/A_(n-1) - 1/A_n] entaum a soma irá telescopar (cortar os termos do meio e irá sobrar: =1/q * [1/A_1 - 1/A_n) = 1/q *[A_n - A_1]/(A_n*A_1)= (n-1)/(A1)x(An) c.q.d Olá integrantes da lista, Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês - o qual pedia para determinar a seguinte soma: S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1) Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos: S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1) S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1) Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a soma das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório: S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . . onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é diferente -A/q , com q natural não nulo. E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula: S = (n-1)/(A1)x(An) Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada. Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para o mesmo problema. Agradeço desde já, Átila Prates Correia. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
