5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.z^3 = -8
modulo de z = 2
As imagens das raizes da equaçao sao vertices de um triangulo equilatero inscrito num circulo de centro na origem e raio 2. O lado vale 2raiz de3 e a area vale 3raiz de 3.
6) (x+yi)^2 = x-yi
x^2-y^2 +2xyi = x-yi
x^2-y^2 = x e 2xy = -y
A segunda equaçao dah y=0 ou x = -(1/2)
Substituindo na primeira, x=0 ou x=1 no primeiro caso, y = (+-) [raiz de3]/2 no segundo.
Ha quatro soluçoes: 0 ; 1 ; - 1/2 + (sqrt3)/2 ; - 1/2 - (sqrt3)/2
Desde quando 0 nao eh complexo?
Morgado
-------- Original Message --------
| From: | - Mon Sep 02 20:06:02 2002 |
|---|---|
| X-UIDL: | F5;!!GlU!!\?e"!I:m!! |
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| Received: | from localhost ([EMAIL PROTECTED] [200.158.118.125]) by smtp.ieg.com.br (IeG relay/8.9.3) with SMTP id g82LSDfE067536 for <[EMAIL PROTECTED]>; Mon, 2 Sep 2002 18:28:13 -0300 (BRT) |
| From: | Tonik <[EMAIL PROTECTED]> |
| To: | [EMAIL PROTECTED] |
| Date: | Mon, 02 Sep 2002 18:31:23 -0300 |
| X-Priority: | 3 (Normal) |
| Organization: | Tonik |
| In-Reply-To: | <003201c2529c$f2084800$0200a8c0@dois> |
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| Subject: | Re: [obm-l] Números Complexos |
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| Reply-To: | [EMAIL PROTECTED] |
| X-UIDL: | F5;!!GlU!!\?e"!I:m!! |
| Status: | U |
02/09/02 13:22:18, Gabriel Pérgolawrote:
>E aí pessoal, > >Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não >consegui fazer: Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas! >1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º obviamente, 40º >2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n é um numero real para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0º ou 180º ou k180º, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, temos: modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2 argumento = arccos(1/2) = 60º entao temos (2*(cos60º+isen60º))^n = = 2^n*(cos(60º*n)+isen(60º*n) para que o argumento (60º*n) de 0º ou 180º com n>0, n E Z: 60*n=360º, n=6 6 0*n=180º, n=3 Logo a resposta eh 3. >3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n é um numero real positivo. a mesma coisa, só que agora 180º nao serve (pois eh real negativo) 60*n=360, n=6 >4) Obtenha as raizes complexas das equacoes: > a) x^5 = 1 > b) x^6 = 1 x^5 = 1 x= raizquintupla(1*(cos0+isen0)) x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0<=k<5, k E Z as raizes: x= cos0º+isen0º = 1 (nao eh complexa) x= cos72º+isen72º x= cos144º+isen144º x= cos216º+isen216º x= cos288º+isen288º >5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real z= raizcubica(-8) z= raizcubica( 8*(cos180º+isen180º) ) z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0<=k<3 z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k)) as raizes: k=0, z=2*(cos60º+isen60º) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3) k=1, z=2*(cos180º+isen180º) = 2*(-1 + i*0) = -2 k=2, z=2*(cos300º+isen300º) = (sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a terceira raiz) entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo: A(1, sqrt(3)) B(-2, 0) C(1, -sqrt(3)) Seja D a matriz: |Ax Ay 1| |Bx By 1| |Cx Cy 1| Area = modulo do determinante de D sobre 2 Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2 Area = 3sqrt(3) >6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu >conjugado é? Seja z um numero complexo, vc quer a qtde de nº complexos que z^2 = conjugado de z pela forma trigonometrica, seja m o modulo e a o argumento: m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)-isen(a)) sabemos que -sen(x) = sen(-x) m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)+isen(-a)) sabemos que m eh diferente de zero, pois senao o numero nao sera complexo. dividimos ambos os l ados por m. m*(cos(2a)+isen(2a)) = (cos(a)+isen(-a)) pela identidade: (1) mcos2a = cosa (2) msen2a = sen-a (1) 2m*cos^2(a) - m = cosa (2) 2m*cosa*sena = -sena sabemos que sena nao eh zero, pois senao o numero nao sera complexo. (1) m = cosa / (2cos^2(a) - 1) (2) 2mcosa = -1 (2) cosa = -1/2m (1) m = (-1 / 2m) / ( 2*(1/4m^2) - 1) (1) m = (-1 / 2m) / ( 1/(2m^2) - 1) (1) m = (-1 / 2m) / ((1-2m^2)/(2m^2)) os extremos pelos meios (1) m = (-1 * 2m^2) / (2m * (1-2m^2)) (1) m = -2m^2 / (2m - 4m^3)) (1) 2m^2 -4m^4 = -2m^2 (1) -4m^4 + 4m^2 = 0 (1) m^4 -m^2 = 0 y = m^2 (1) y^2-y=0 (1) y(y-1) = 0 (1) ou y=0 --> m^2=0 --> m=0 o que nao devemos levar em conta no exercicio (1) ou y=1 --> m^2=1 --> m=1 ou m=-1 para m=1: (2) cosa = -1/2 (2) a = 120º formando o numero complexo: z = 1*(cos120º+isen120º) z = -1/2 + i*sqrt(3)/ 2 para m=-1: (2) cosa = 1/2 (2) a = 60º formando: z = -1*(cos60º+isen60º) z = 1*(cos240º+isen240º) z = -1/2 - i*sqrt (3)/2 Entao temos dois numeros complexos z tal que z^2 = conjugado de z e eles sao cos60º+isen60º e cos240º+isen240º ufa, quanta conta, acho melhor tirar a prova... z^2 = conjugado de z (isqrt(3)/2 - 1/2)^2 = -1/2 -isqrt(3)/2 -3/4 - isqrt(3)/2 +1/4 = -1/2 -isqrt(3)/2 -1/2 - isqrt(3)/2 = -1/2 -isqrt(3)/2 (verdade) z^2 = conjugado de z (-1/2 -isqrt(3)/2)^2 = -1/2 +isqrt(3)/2 1/4 + isqrt(3)/2 - 3/4 = -1/2 +isqrt(3)/2 -1/2 + isqrt(3)/2 = -1/2 +isqrt(3)/2 (verdade) >É isso! Agradeço qualquer ajuda. > >Gabriel Pérgola ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é================================================ =========================
