On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote: > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e > suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para > todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = > a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. > > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
As seqüências a_k e b_k são limitadas: suponha que |a_k|, |b_k| < B para todo k. Dado e > 0 seja N1 tal que n > N1 -> |b_(N1+1)|+...+|b_n| < e/(2B). Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|. Seja N2 tal que n > N2 -> |a_n| < e/(2C). Tome N = N1+N2 e n > N. |c_n| <= |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1| Na primeira linha temos |a_k| < B. Temos n+1-N1 > N2 donde na segunda linha temos |a_k| < e/(2C). Assim |c_n| <= B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) + (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|) < Be/(2B) + Ce/(2C) = e concluindo a demonstração. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================