Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414 21.732 * 1.732 3De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6de onde, pi 3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio Ponce--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio. ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
Ola' Diego, ja' que a inequacao e' sabidamente verdadeira, o interessante deste problema e' arranjar uma demonstracao que possa ser feita 'na mao' . Isto significa que as contas nao devem ultrapassar as 4 operacoes, e que o processo nao deve ser longo. Entretanto, se voce quiser usar a soma dos termos da serie 1/n^2 , mais de mil termos sao necessarios para se chegar `a casa dos milesimos correta. Fora o fato de que voce estara' chegando a PI com uma aproximacao "por baixo" . E no nosso problema, voce precisa chegar com uma aproximacao "por cima". Repare que, na serie que eu sugeri, voce consegue isso com apenas 3 termos. Mas outras series parecidas (de ordem superior) tambem poderiam ser usadas. Mas, como em todas elas, os 3 primeiros termos eram necessarios, preferi usar a de menor ordem. Grande abraco, Rogerio Ponce PS: ontem, um colega me perguntou "afinal, qual a dificuldade em se provar que raiz(2) + raiz(3) PI , ja' que raiz(2) 1.414 , raiz(3) 1.732 , e 3.146 3.14159...= PI " ? Obviamente mostrar que 3.146 3.14159... nao tem nada de mais. A questao aqui e' como calcular PI ( em vez de "olhar o valor de PI" ), com uma precisao suficiente que nos permita fazer a afirmacao original. diego andres [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414 21.732 * 1.732 3De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6de onde, pi 3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio Ponce--- "claudio.buffara" escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio. ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
é realmente, pelo fato de a ter uma potencia sexta ela converge primeiro por isso é bem melhor...Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Diego, ja' que a inequacao e' sabidamente verdadeira, o interessante deste problema e' arranjar uma demonstracao que possa ser feita 'na mao' . Isto significa que as contas nao devem ultrapassar as 4 operacoes, e que o processo nao deve ser longo. Entretanto, se voce quiser usar a soma dos termos da serie 1/n^2 , mais de mil termos sao necessarios para se chegar `a casa dos milesimos correta. Fora o fato de que voce estara' chegando a PI com uma aproximacao "por baixo" . E no nosso problema, voce precisa chegar com uma aproximacao "por cima". Repare que, na serie que eu sugeri, voce consegue isso com apenas 3 termos. Mas outras series parecidas (de ordem superior) tambem poderiam ser usadas. Mas, como em todas elas, os 3 primeiros termos eram necessarios, preferi usar a de menor ordem. Grande abraco, Rogerio Ponce PS: ontem, um colega me perguntou "afinal, qual a dificuldade em se provar que raiz(2) + raiz(3) PI , ja' que raiz(2) 1.414 , raiz(3) 1.732 , e 3.146 3.14159...= PI " ? Obviamente mostrar que 3.146 3.14159... nao tem nada de mais. A questao aqui e' como calcular PI ( em vez de "olhar o valor de PI" ), com uma precisao suficiente que nos permita fazer a afirmacao original. diego andres [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414 21.732 * 1.732 3De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6de onde, pi 3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio Ponce--- "claudio.buffara" escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio.
Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
Ola' Claudio e Bernardo, nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PI foi tirado da cartola. Como provar que PI vale 3.141592653...? Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que 1.414 * 1.414 2 1.732 * 1.732 3 De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve ser maior que PI' - foi isto que tentei provar quando tambem resolvi 'fazer na marra'... Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o 'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou de pi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47, a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os dois termos principais do numerador sempre sao uma diferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com cara de sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao. Tambem tentei usar alguma integral que o resultado fosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao, alterando 'conveniente' o integrando, talvez fosse possivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisa intermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem nao consegui. Entao apelei para a soma dos termos da serie (-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale (31/30240)*pi^6 Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer: 1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6 de onde, pi 3.142 . Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nada melhor... []s, Rogerio Ponce --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo NA MARRA): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio. ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade com Pi
Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de umpoligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto: Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 7/15/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
