Ola Pessoal,
Seguem mais 3 exercicios
( EXERCICIO 4.3 )
Dado E > 0. Como lim X2n=a, existe um natural par N1 tal que para todo
numero par "n" com n > N1 teremos | Xn – a | < E. Igualmente, como lim
X2n-1=a, existe um natural impar N2 tal que para todo numero impar "n"
com n > N2 teremos | Xn – a | < E. Seja N3=max{N1,N2}. Se n > N3, seja
"n" par ou impar, | Xn – a | < E, isto e, para todo natural "n" tal
que n > N3 => | Xn – a | < E => lim Xn = a
( EXERCICIO 4.4 )
Vou representar por Nij os naturais do conjunto Ni. Assim,
exemplificando, os naturais pertencentes a N3 são N31, N32, ...
Dado E > 0.
1) Como LIM Xn = a, n em N1, existe um N10 tal que para todo n em N1
e n > N10 teremos | Xn – a | < E
2) Como LIM Xn = a, n em N2, existe um N20 tal que para todo n em N2 e n > N20
teremos | Xn – a | < E
...
K) Como LIM Xn = a, n em Nk, existe um Nk0 tal que para todo n em Nk e n > Nk0
teremos | Xn – a | < E
Seja N0 = max{ N10, N20, ..., NK0 }. Seja n um natural qualquer tal
que n > N0. Como n estara em algum Ni ( pois a uniao de todos os Ni e
o conjunto de todos os naturais ) segue que n > N0 = max{ N10, N20,
..., NK0 } >= Ni0 => N > Ni0 => | Xn – a | < E.
Assim, para todo E > 0 exibimos um natural N0 = max{ N10, N20, ...,
Nk0 } tal que para todo n > N0 teremos | Xn – a | < E, isto e, LIM Xn
= a
( EXERCICIO 4.5 )
O autor da uma SUGESTAO, vale dizer, da a SOLUCAO. Para que voces
possam se enriquecer ainda mais, aqui vai uma solucao diferente, sem
usar a sugestao do Autor.
Para cada k natural, seja Pk o K-esimo numero primo. Assim, a titulo
de exemplificacao, teriamos P1=2, P2=3, P3=5, ... Definimos agora a
sequencia de conjuntos :
Nk = { Pk } uniao { todos os naturais NAO-PRIMOS divisiveis por
exatamente K primos }
k = 1, 2, ...
Assim, por exemplo :
N1 = { 2 } uniao { 2^L, 3^L, 5^L, ..., (NUMERO PRIMO)^L, ... } , onde L > 1
N2 = { 3 } uniao { ( (P1)^L)*( (P2)^M ) onde P1 e P2 são primos }, L,M > 0
e assim sucessivamente.
OBS : coloque o 1 em N1
E facil ver que N = N1 uniao N2 uniao ... uniao Nk uniao ... e que
cada Nk e por si um conjunto infinito. Assim, decompomos N, conjunto
dos numeros naturais, numa infinidade de conjuntos infinitos tal como
o autor pede. Alias, fizemos mais que isso : decompomos N numa
infinidade de conjuntos infinitos dois a dois disjuntos !
Agora, seja "a" um real fixo qualquer. Para cada n em Nk facamos :
1) Xn = Pk se n = Pk
2) Xn = ((N – 1) / N)*a se n # Pk
Fazendo "n" variar dentro de Nk e facil ver que LIM Xn = a, bastando
considerar os "n" de Nk tais que n > Pk, pois LIM Xn = a*LIM((N-1)/N)
= a e este limite não se altera se retirarmos uma quantidade finita (
os "n" =< Pk ) de termos. Assim, em todo Nk temos que LIM Xn = a, "n"
variando em Nk.
Mas não ocorre que LIM Xn = a, "n" variando nos Naturais ...
Para ver isso claramente, seja dado E > 0. Como "a" e fixo e o
conjunto dos numeros primos e ilimitado, para todo natural N0 fixado
existe um primo Pk > max{ N0, a+E}. Como, por definicao, Xpk = Pk => |
Xpk – a | > E, ou seja, para todo No fixado e possivel encontrar um
natural "n" tal que | Xn – a | > E, vale dizer, LIM Xn # a, como
queriamos demonstrar.
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
5,0C0D,1B0308
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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