Ola Pessoal ! Seguem mais tres solucoes. Coloquei apenas 3 porque duas delas tem diversos itens e fica cansativo escrever. Reitero tres coisas :
1) As solucoes sao exclusivamente minhas, feitas ao longo da semana nos (poucos) momentos de lazer. Assim, qualquer erro encontrado e unica e exclusivamente culpa minha 2) O espirito que preside esta publicacao e o mesmo do projeto DEBIAN / GNU Linux, vale dizer, qualquer pessoal esta desta ja autorizada a copiar, transmitir , aperfeiçoar e ensinar livremente, sem onus ou obstaculo algum 3) As questoes estao propostas no Livro : Curso de Analise - Volume 1 Projeto Euclides - IMPA Autor : Elon Lages Lima 11 edicao - 2 impressao "O que foi, torna a ser. O que, perde existencia. O palpavel e nada : o nada assume essencia !" ( Fausto, de Goethe ) Read Fausto Here : http://www.ebooksbrasil.org/eLibris/faustogoethe.html INICIO ( EXERCICIO 4.17) Sejam dadas duas sequencias xn e yn, limitadas. Entao definimos : Xn = { xn, xn+1, ... } e Yn = {yn, yn+1, ... }. Alem disso, adotaremos : an = INF Xn, An = SUP Xn, bn = INF Yn e Bn = SUP Yn zn = xn + yn, wn =xn*yn, Zn = {zn, zn+1, ... } e Wn={wn, wn+1, ... } raiz_N(P) = raiz N-esima de P ITEM A Dado E > 0. Como LIM SUP xn = LIM An = INF {An} = A entao A+(E/2) nao pode ser uma cota inferior de {An}, pois A+(E/2) > A e "A", sendo o infimo, e a maior das cotas inferiores. Segue que existe N0 tal que An0 < A + (E/2). Mas An0=SUP{xn0, xn0+1, ... }. Assim, n > N0 => xn < A + (E/2). Igualmente, como LIM SUP yn = LIM Bn = INF {Bn} = B entao B + (E/2) não pode ser cota inferior de Bn, pois B+(E/2) > B e "B", sendo infimo, e a maior das cotas inferiores. Segue que existe N1 tal que Bn1 < B+(E/2). Mas Bn1=SUP{yn1, yn1+1, ...}. Assim, n> N1 => yn < B+(E/2) Tomando N2=max{ N1, N0} teremos que n > N2 => xn+yn < A+B+E. Eu afirmo que este resultado estabelece que LIM SUP(xn + yn) =< A+B ... Com efeito, se supormos que C=LIM SUP(xn + Yn)=INF SUP {Zn } > A+B basta tomarmos um real positivo E tal que A + B + E < C que, pelo que vimos, havera um correspondente N2 tal que n > N2 implicara xn+yn < A+B+E, vale dizer : n>N2, SUP {Zn} =< A+B+E < C=INF SUP{Zn} ... ABSURDO ! Nao podendo ser LIM SUP(xn + yn) > A+B segue que LIM SUP(xn + yn) =< A+B, como queriamos demonstrar. *** Como LIM INF xn = LIM an = SUP { an } = a, a – (E/2) nao pode ser uma cota superior de { an }, pois a-(E/2) < a e "a", sendo supremo, e a menor das cotas superiores. Segue que existe N0 tal que an0 > a-(E/2). Mas an0=INF{xn0, xn0+1, ... }. Assim, n>N0 => xn>a- (E/2). Igualmente, como LIM INF yn = LIM bn = SUP { bn } = b, b – (E/2) nao pode ser uma cota superior de { bn }, pois b-(E/2) < b e "b", sendo supremo, e a menor das cotas superiores. Segue que existe N1 tal que bn1 > b-(E/2). Mas bn1=INF{yn1, xn1+1, ... }. Assim, n>N1 => yn>b-(E/2) Tomando N2=max{N1,N0} teremos que n > N2 => xn+yn > a+b - E Eu afirmo que este resultado estabelece que LIM INF(xn+yn) >= a+b ... Com efeito, se supormos que c=LIM INF(xn + Yn)=SUP INF {Zn } < a+b basta tomarmos um real positivo E tal que c < a + b - E que, pelo que vimos, havera um correspondente N2 tal que n > N2 implicara xn+yn > a+b-E, vale dizer : n>N2, INF{Zn} >= a+b-E > c=SUP INF {Zn} ... ABSURDO ! Assim, não podendo ser LIM INF(xn+yn) < a+b segue que LIM INF(xn+yn) >= a+b, como queriamos demonstrar. DESIGUALDADES ESTRITAS ( Item A ) : Sejam xn=(-1)^N e yn= -xn. Temos que LIM SUP xn=LIM SUP yn = 1, LIM INF xn = LIM INF yn = -1 e LIM SUP(xn+yn)=LIM INF(xn+yn)= 0. Logo : 0 = LIM SUP (xn+yn) < LIM SUP xn + LIM SUP yn = 2 . 0 = LIM INF (xn+yn) > LIM INF xn + LIM INF yn = -2 *** ITEM B Seja -Xn = { -xn, -xn+1, ... }. Afirmamos que : SUP -Xn = -INF Xn INF -Xn = -SUP Xn Com efeito, SUP Xn >= xp, para todo p >= n => - SUP Xn =< - xp, para todo p >= n => -SUP Xn e cota inferior de -Xn. E facil ver que trata-se da maior cota inferior, pois, se existisse um M > -SUP Xn tal que M =< -xp, para todo p >=n entao teriamos imediatamente que -M < SUP Xn e -M >= xp, para todo p >= n => -M e uma cota superior de Xn menor que SUP Xn ... ABSURDO ! Assim, - SUP Xn e a maior cota inferior de -Xn, isto e, -SUP Xn = INF -Xn, como afirmamos. Igualmente, temos que INF Xn =< xp, para todo p >=n => -INF Xn >= -xp, para todo p>=n => -INF Xn e cota superior de -Xn. E igualmente facil ver que trata-se da menor cota superior, pois, se supormos que existe um N < -INF Xn tal que N >= -xp, para todo p >=n, entao teriamos imediatamente que -N > INF Xn e -N =< xp, para todo p >= n => N e uma cota inferior de Xn maior que INF Xn ... ABSURDO ! Assim, -INF Xn e a menor cota superior de -Xn, isto e, -INF Xn = SUP -Xn, como afirmamos. Agora, variando "n", olhamos para SUP Xn, INF Xn, SUP -Xn e INF -Xn como conjuntos, seguira : SUP -Xn = -INF Xn => INF SUP -Xn = INF{-INF Xn} => LIM SUP (-xn) = -SUP INF xn => LIM SUP -xn = - LIM INF xn => LIM SUP -xn = -a INF -Xn = - SUP Xn => SUP INF -Xn= SUP{-SUP Xn} => LIM INF -xn = -INF SUP xn => LIM INF -xn = - LIM SUP xn => LIM INF -xn = -A Como queriamos demonstrar. *** ITEM C Aqui estaremos supondo que xn >= 0 e yn >= 0 para todo n. Segue que "a", "A", "b" e "B" nao sao negativos. A linha de raciocinio sera semelhante a adotada no item A. Seja r1 um real, r1 > 1. Como LIM SUP xn = LIM An = INF {An} = A entao A*r1 nao pode ser uma cota inferior de {An}, pois A*r1 > A e "A", sendo o infimo, e a maior das cotas inferiores. Segue que existe N0 tal que An0 < A*r1. Mas An0=SUP{xn0, xn0+1, ... }. Assim, n > N0 => xn < A*r1. Seja agora r2 um real, r2 > 1. Igualmente, como LIM SUP yn = LIM Bn = INF {Bn} = B entao B*r2 não pode ser cota inferior de Bn, pois B*r2 > B e "B", sendo infimo, e a maior das cotas inferiores. Segue que existe N1 tal que Bn1 < B*r2. Mas Bn1=SUP{yn1, yn1+1, ...}. Assim, n> N1 => yn < B*r2 Tomando N2=max{ N1, N0} teremos que n > N2 => xn*yn < AB*r1*r2 = AB*r, onde r > 1. Eu afirmo que este resultado estabelece que LIM SUP(xn*yn) =< A*B ... Com efeito, se supormos que C=LIM SUP(xn*yn)=INF SUP {Wn } > A*B basta tomarmos um real positivo r, r > 1, tal que AB*r < C que, pelo que vimos, havera um correspondente N2 tal que n > N2 implicara xn*yn < AB*r, vale dizer : n>N2, SUP {Wn} =< AB*r < C=INF SUP{Wn} ... ABSURDO ! Assim, não podendo ser LIM INF(xn*yn) > AB segue que LIM INF(xn*yn) =< AB, como queriamos demonstrar. *** Seja r1 um real, 0 < r1 < 1. Como LIM INF xn = LIM an = SUP { an } = a, a*r1 nao pode ser uma cota superior de { an }, pois a*r1 < a e "a", sendo supremo, e a menor das cotas superiores. Segue que existe N0 tal que an0 > a*r1. Mas an0=INF{xn0, xn0+1, ... }. Assim, n > N0 => xn > a*r1. Seja agora r2 um real, 0 < r2 < 1. Como LIM INF yn = LIM bn = SUP { bn } = b, b*r2 nao pode ser uma cota superior de { bn }, pois b*r2 < b e "b", sendo supremo, e a menor das cotas superiores. Segue que existe N1 tal que bn1 > b*r2. Mas bn1=INF{yn1, xn1+1, ... }. Assim, n>N1 => yn > b*r2 Tomando N2=max{N1,N0} teremos que n > N2 => xn*yn > ab*r1*r2=ab*r, onde 0 < r < 1. Eu afirmo que este resultado estabelece que LIM INF(xn*yn) >= a*b ... Com efeito, se supormos que c=LIM INF(xn*yn)=SUP INF {Wn } < a*b basta tomarmos um real positivo r, 0 < r < 1, tal que c < ab*r que, pelo que vimos, havera um correspondente N2 tal que n > N2 implicara xn*yn > ab*r, vale dizer : n>N2, INF{Wn} >= ab*r > c=SUP INF {Wn} ... ABSURDO ! Assim, não podendo ser LIM INF(xn*yn) < ab segue que LIM INF(xn*yn) >= ab, como queriamos demonstrar. DESIGUALDADES ESTRITAS ( Item C ) : Sejam xn=raiz_2(2) - cos((pi*N)/2) e Yn = raiz_2(2) + cos((pi*N)/2). Temos que LIM SUP xn=LIM SUP yn = raiz_2(2) + 1, LIM INF xn = LIM INF yn = raiz_2(2) -1 e LIM SUP(xn*yn)=2 e LIM INF(xn*yn)= 1. Logo : 2 = LIM SUP (xn*yn) < (LIM SUP xn)*(LIM SUP yn) = 3 + 2*raiz_2(2) . 1 = LIM INF (xn*yn) > (LIM INF xn )*( LIM INF yn ) = 3 - 2*raiz_2(2) ( EXERCICIO 4.18 ) Seja wn = tn*xn + (1 - tn)*yn. Vamos colocar assim : Wn = tn*(xn-yn) + yn. E obvio ululante que LIM (xn-yn) = 0. Como a sequencia tn e limitada, pois | tn | =< 1 segue que LIM (tn*(xn-yn))=0. Portanto : LIM wn = LIM (tn*(xn-yn)) + LIM yn = 0 + a = a ( EXERCICIO 4.19 ) NOTACAO : Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N) , | r | = modulo do real r E facil ver que sendo vn=Si[1,N:|xi+1 - xi| } entao vn = vn-1 + |xn+1 - xn|, vale dizer, teremos sempre vn >= vn-1. Segue que {vn} e monotona. Sendo, alem disso, limitada, entao e convergente. ITEM A Vimos acima que {xn} tendo variacao limitada implica que { vn } e convergente. Ora, como toda sequencia convergente e de Cauchy, segue que { vn } e uma sequencia de Cauchy, vale dizer, para todo real E > 0 fixado, existe um natural N0 tal que para quaisquer naturais M, N > N0 implica | vm - vn | < E. Por outro lado, e facil ver que : |vm - vn| = Si[ N+1,M :| xi+1 - xi| ] >= | Si[ N+1,M :( xi+1 - xi) ] | = | xm+1 - xn+1 | Assim : |vm - vn | < E => | xm+1 - xn+1 | < E, ou seja, para todo real E > 0 fixado existe um natural N0 tal que para quaisquer naturais p=m+1, q=n+1 > N0 implica | xp - xq | < E. Isto prova que { xn } e uma sequencia de Cauchy. Como todo sequencia de numeros reais que e de Cauchy e convergente, segue que { xn } e convergente. Existe portanto o LIM Xn, como queriamos demonstrar. ITEM B Usarei Pi[ 1,N: F(i) ] = F(1)*F(2)* ...*F(N), onde " * " e o sinal de multiplicacao. Como 0 =< | xn+2 - xn+1 | =< c*| xn+1 - xn |, as propriedades dos numeros reais nos permitem escrever : Pi[1,P : |xi+2 - xi+1| ] =< Pi[1,P : c*|xi+1 - xi| ]. Daqui, apos eliminarmos os fatores positivos comuns aos dois lados da desigualdade, chegaremos a : | xp+2 - xp+1 | =< (c^P)*| x2 - x1 | Aplicando o somatorio, P variando de 1 a N -1 : Sp[1,N-1:| xp+2 - xp+1 | ] =< Sp[1,N-1:(c^P)*| x2 - x1 | ] => |x2 - x1| + Sp[1,N-1:| xp+2 - xp+1 | ] =< |x2 - x1| + Sp[1,N-1:(c^P)*| x2 - x1 | ] vn =< (1+ c + c^2 +...+c^(N-1) )*|x2 - x1| Fazendo d=|x2 - x1| e notando que 1+c+...+c^(N-1) e uma progressao geometrica de razao 0 =< c < 1 e que portando 1+c+...+c^N < 1/(1-c) para todo N, teremos : vn =< d / (1-c) para todo N => | vn | =< d/(1-c) => { vn } e limitada => { xn } e de variacao limitada, ITEM C (IDA, =>) Seja { Xn } uma sequencia de variacao limitada e Vn como definida acima, vale dizer, Vn= Si[1,N:| Xi+1 - Xi | ]. Sabemos que { Vn } e limitada, existindo portanto um L real positivo tal que | Vn | =< L, para todo n. Isto posto, definimos : Y1= X1 e Yn = Xn + Vn-1 se n > 1 Z1 =0 e Zn = Vn-1 se n > 1 Agora, e facil ver que : 1) Yn - Zn = Xn, para todo n 2) Zn e limitada porque, por hipotese, Vn e limitada. Yn tambem e limitada por ser a soma de duas sequencias limitadas : { Xn } e limitada porque, pelo ITEM A, e convergente e {Vn} e limitada porque, por hipotese, {Xn} e de variacao limitada. Assim, tanto {Yn} quanto {Zn} sao limitadas 3) Zn e nao-decrescente porque e soma de modulos de numeros reais. Quanto a Yn, basta ver que : Yn+1 - Yn = (Xn+1 - Xn) + |Xn+1 - Xn|. Se Xn+1 >= Xn entao teremos que |Xn+1 - Xn| = Xn+1 - Xn => Yn+1 - Yn = 2(Xn+1 - Xn) >= 0. Se Xn+1 < Xn entao teremos que |Xn+1 - Xn| = Xn - Xn+1 => Yn+1 - Yn = 0 => Yn+1 = Yn. Portanto, sob qualquer hipotese, Yn+1 >= Yn => Yn e nao-decrescente. Os itens 1), 2) e 3) estabelecem a implicacao direta. (VOLTA, <=) Seja Xn = Yn - Zn onde {Yn} e {Zn} sao limitadas e nao-decrescente. Queremos mostrar que { Xn } e de variacao limitada. Seja Di = | Xi+1 - Xi |. Entao Vn = Si [1,N:Di ]. E facil ver o seguinte : Di = |Yi+1 -Zi+1 - Yi + Zi| = |Yi+1 - Yi + Zi - Zi+1| =< |Yi+1 - Yi| + |Zi - Zi+1| Di =< |Yi+1 - Yi| + | Zi+1 - Zi| = (Yi+1 - Yi) + (Zi+1 - Zi) Portanto ( agrupando os Y's e Z's do somatorio ) : Vn = Si[1,N:Di] =< (Yn+1 - Y1) + (Zn+1 - Z1) Como {Yn} e {Zn} sao limitadas, existem reais positivos L1 e L2 tais que |Yn| =< L1 para todo n e |Zn| =< L2. para todo n. Alem disso, as sequencias sao tambem naodecrescentes, vale dizer : -L1 =< Y1 =< Y2 =< ... =< Yn =< ... =< L1 => Yn - Y1=< L1 -(-L1) = 2*L1, para todo n -L2 =< Z1 =< Z2 =< ... =< Zn =< ... =< L2 => Zn - Z1 =< L2 -(-L2) = 2*L2, para todo n Logo : | Vn | =< 2*(L1+L2) para todo n => { Vn } e limitada => {Xn} e de variacao limitada, como queriamos demonstrar. ITEM D Seja r um real qualquer. Definimos : Xn = r + ( ( (-1)^N ) / N ). E obvio ululante que esta sequencia e convergente e LIM Xn = r. Entretanto : Di = | Xi+1 - Xi | = | ( ( (-1)^(i+1) ) /(i+1) ) - ( ( (-1)^i ) / i ) | > 2/(i + 1) Portando : Vn = Si[1,N : Di ] > 2*( (1/2) + (1/3) + ... + (1/(N+1)) ) Como a serie harmonica e divergente, vale dizer, torna-se e se mantem maior que qualquer grandeza dada, segue que Vn nao e limitada. Assim, {Xn} e um exemplo de sequencia convergente que nao e de variacao limitada. FIM Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 6,0B21,120408 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================