Ola Pessoal ! Seguem mais algumas solucoes para exercicios de analise. E importante reiterar o seguinte :
1) As solucoes sao exclusivamente minhas, feitas ao longo da semana nos (poucos) momentos de lazer. Assim, qualquer erro encontrado e unica e exclusivamente minha culpa 2) O espirito que preside esta publicacao e o mesmo do projeto DEBIAN/ GNU Linux, vale dizer, qualquer pessoal esta desta ja autorizada a copiar, transmitir, aperfeiçoar e ensinar livremente, sem onus ou obstaculo algum 3) As questoes estao propostas no Livro : Curso de Analise - Volume 1 Projeto Euclides - IMPA Autor : Elon Lages Lima 11 edicao - 2 impressao 4) E muito importante que voce reflita sobre as questoes, tentando resolve-las sozinho(a), antes de ver as minhas solucoes. 5) Devido as limitacoes de alguns browsers, escreverei sempre sem acentos. INICIO ( EXERCICIO 4.20) Em primeiro lugar, e facil ver que sendo X1=1 e Xn+1 =1 + (1/Xn) entao Xn >= 1 para todo N. Agora, sejam P = | Xn+2 - Xn+1 | e Q = | Xn+1 - Xn |. Trocando o Xn+2 por 1+(1/Xn+1) e, a seguir, trocando todos os Xn+1 em P e Q por 1+(1/Xn) chegaremos a : P = | ( (Xn)^2 - Xn - 1 ) | / | ( (Xn)^2 + Xn ) | e Q = | ( -(Xn)^2 + Xn + 1 ) | / | Xn | Fazendo K = | ( (Xn)^2 - Xn - 1 ) | , fica claro que : P = K / | ( (Xn)^2 + Xn ) | e Q = K / | Xn |. Como Xn >= 1 entao podemos retirar os modulos dos denominadores. Teremos : P = K / ( (Xn)^2 + Xn ) e Q = K / Xn A inequacao X^2 + X >= 2X e sempre verdadeira para todo X >= 1. Como todos os termos da sequencia (Xn) sao tais que Xn >= 1 entao todos os seus termos satisfazem a inequacao, isto e : (Xn)^2 + Xn >= 2*Xn => 1/ ( (Xn)^2 + Xn ) =< K/ (2*Xn) => K/ ( (Xn)^2 + Xn ) =< 1/ (2*Xn) => P =< (1/2)*Q. Portanto : | Xn+2 - Xn+1 | =< (1/2)* | Xn+1 - Xn |, conforme nos pediram para verificar. Pelo item B do exercicio anterior ( EXERCICIO 4.19 ) a ultima desigualdade implica que (Xn) tem variacao limitada. Pelo item A do mesmo exercicio segue que existe o LIM Xn. Assim, seja M = LIM Xn. Como toda sequencia convergente e de Cauchy, fazendo Yn=(Xn)-(Xn-1) temos que LIMYn=0. Por outro lado, Xn-1 = 1/( (Xn) - 1 ). Logo : LIM Xn = LIM ( 1/( (Xn) - 1 ) => M = 1/(M-1) => M =(1 + raiz_2(5) ) / 2 ou M =(1 - raiz_2(5) ) / 2 A raiz negativa nao serve pois sendo Xn >= 1 para todo N entao M=LIM Xn >= 1. Logo : M = LIM Xn = (1 + raiz_2(5)) / 2 ( EXERCICIO 4.21 ) Como X1 = 1 e Xn = 1 + raiz_2(Xn-1), onde raiz_2(Xn-1) > 0 entao e claro que Xn >= 1 para todo N. Isto estabelece uma cota inferior para a sequencia. Para exibir uma cota superior, seja L = ( 3 + raiz_2(5) ) /2. Entao : Se, para algum N > 1, Xn > L => ((Xn) - 1)^2 > L => Xn-1 >L pois ((Xn) - 1)^2 =Xn-1 Assim, Xn > L => Xn-1 > L. Evidentemente que uma consequencia obvia desta implicacao e que Xn-1 > L => Xn-2 > L => ... => X1 > L ... ABSURDO ! pois ja sabemos que X1 = 1 < L. Assim, para nenhum N > 1 pode ocorrer que Xn > L, vale dizer, Xn =< L para todo N. Isto estabelece uma cota superior para a sequencia. Temos portanto : 1 =< Xn =< L, para todo N, onde L=( 3 + raiz_2(5) ) /2 => (Xn) e limitada. Como as solucoes da inequacao X >= (X - 1)^2 e o intervalo fechado [ (1/L) , L] e, alem disso, (1/L) < 1, entao todos os valores da sequencia atendem a inequacao, ou seja : Xn >= ((Xn) - 1)^2 => Xn >= Xn-1 => (Xn) e monotona nao-decrescente Assim, (Xn) e monotona e limitada => (Xn) e convergente. Seja M=LIM Xn. Como toda sequencia convergente e de Cauchy, fazendo Yn=(Xn)-(Xn-1) temos que LIM Yn = 0. Por outro lado, Xn-1=((Xn) - 1)^2, logo : LIM Xn = LIM ((Xn) - 1)^2 => LIM Xn = (LIM Xn - 1)^2 => M = (M - 1)^2 => M = L ou M=1/L. M=1/L nao serve pois sendo 1/L < 1 =< Xn => LIM Xn >= 1 > 1/L Logo, LIM Xn = L = ( 3 + raiz_2(5) ) /2 ( EXERCICIO 4.22 ) 1) A condicao e necessaria Seja A > 0 e B = { Todos os N tais que -A =< Xn =< A }. Eu afirmo que B e finito. Com efeito, se B fosse infinito, digamos, B= { N1 < N2 < ... < Ni < ... }, entao teriamos uma subsequencia (Yn) de (Xn), Yi = Xni, que em si seria uma sequencia limitada e portanto admitiria ao menos uma subsequencia convergindo para LIM SUP Yi. Como esta subsequencia convergente seria tambem uma subsequencia de (Xn), pois todo Yi e um Xni, entao (Xn) teria ao menos uma subsequencia convergente, o que contraria a hipotese. Assim, B e finito, como afirmamos. Seja N0=max B. Entao, para todo n > N0 => Xn < -A ou Xn > A => |Xn| > A O A que escolhemos e generico, o argumento valendo para todo A > 0. Entao podemos afirmar que para todo A > 0 existe N0 tal que n > N0 => |Xn| > A. Isto estabelece que LIM |Xn| = +INF, como queriamos demonstrar. 2) A condicao e suficiente Dado um r real qualquer. Escolhendo um real E > 0 qualquer, definimos um conjunto A pondo : A = max{ |r -E| , |r+E| }. Claramente que A > 0. Alem disso : A >= |r+E| >= r+E => A >= r + E A >= |r-E| => -A =< -| r - E|. Como | r-E|=| E-r| >= E-r => -|r-E| =< r - E => -A =< r-E Como LIM | Xn | = +INF entao existe N0 tal que n> N0 => |Xn| > A, ou seja, para todo n>N0 implica que Xn < -A ou Xn > A. Pelo que vimos, para todo n>N0 implica Xn < r-E ou Xn > r+E. Segue portanto que apenas os Xn com indice n=<N0 podem pertencer ao intervalo aberto I=(r-E,r+E), ou seja, existe apenas um numero finito de indices N tais que Xn pertence ao intervalo aberto I=(r-E,r+E). Isto - conforme foi demonstrado no livro que nos serve de referencia - implica que r nao e valor de aderencia de (Xn) Como o r escolhido e generico, entao nenhum real r pode ser valor de aderencia de Xn, vale dizer, Xn nao admite subsequencia convergente, como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 4.23 ) Neste exercicio, representarei por fi^(-1)(N) o conjunto das imagens inversas ( preimagens ) de N. Assim, se fi:N->N for injetiva e fi(N)=M, entao fi^(-1)(M) = { N }. A palavra UNI rpresenta o operador de UNIAO. a) => b) Suponhamos, por absurdo, que para algum K natural o conjunto B= fi^(-1)(K) seja um conjunto infinito. Facamos B={ N1 < N2 < ... < Ni < ... }. Entao : fii(N1) = fi(N2) = ... = fi(Ni) = ... = K Dado um natural A > K. Como B e um conjunto de numeros naturais infinito, entao e ilimitado. Segue que para todo N0 fixado existira um Ni pertencente a B tal que Ni > N0. Para este Ni, fi(Ni) = K < A. Logo, existe A tal que para todo N0 fixado existe Ni > No tal que fi(Ni) < A => LIM fi(N) # +INF ... ABSURDO ! O conjunto B, portanto, nao pode ser infinito => B e finito b) => c) Seja F={M1, M2, ...,Mj} e Ni o numero de elemento do conjunto fi^(-1)(Mi), i=1,...,j E obvio ululante que fi^(-1)(F) = fi^(-1)(M1) UNI ... UNI fi^(-1)(Mj). Como, por hipotese, cada fi^(-1)(Mk) e finito e tem Nk elementos, k=1,...,j, segue, pelo corolario 2 do Teorema 6 do capitulo 2 que fi^(-1)(F) e finito e possui no maximo N1+N2+...+Nj elementos. c) => a) Dado um natural qualquer A > 0. Seja F={1, 2, ..., A }. Entao, por hipotese, fi^(-1)(F) e finito. Seja N0=max fi^(-1)(F). Entao, n>N0 => fi(n) nao esta em F => fi(n) > A. Assim, para todo natural A > 0 existe N0 tal que n > N0 => fi(n) > A. Isto estabelece que LIM fi(N)=+INF, como queriamos demonstrar. De fato. Se fi:N->N for injetiva entao para todo F finito e contido em N, fi^(-1)(F) tem, no maximo, tantos elementos quanto F. Logo, fi^(-1)(F) e finito => LIM fi(N) =+INF ( EXERCICIO 4.24 ) Representarei por X_fi(n) o termo da sequencia (Xn) com indice fi(n) Dado E > 0. Como LIM Xn=a entao existe um natural N0 tal que n>N0 => | Xn - a | < E. Usando este natural N0, seja F={ 1, 2, ..., N0 }. Como fi:N->N atende todas as condicoes enunciadas no exercicio anterior, entao, em particular, fi^(-1)(F) e finito. Seja N1 = max fi^(-1)(F). E obvio que para todo n>N1, fi(n) nao pertence a F. Se este fato nao esta suficientemente claro, entao suponha que existe algum N2 > N1 tal que fi(N2) pertence a F. Neste caso, N2 pertence a fi^(-1)(F) e como N1=max fi^(-1)(F) temos que N1 >= N2 ... ABSURDO ! Assim, para todo natural n>N1 => fi(n) nao pertence a F. Daqui segue automaticamente : fi(n) > N0 => |X_fi(n) - a | < E => |Yn - a| < E. Isto estabelece que LIM Yn = a, como queriamos demonstrar. NOTA : Antes do exemplo, cabe observar que no enunciado da questao ( o livro que uso e a 11 edicao - 2 impressao ) falta acrescentar a hipotese que (Xn) e uma sequencia NAO-CONSTANTE. Com efeito, se Xn = a para todo n entao LIM Xn=a e PARA TODA funcao fi:N->N, a sequencia (Yn) definida por Yn=X_fi(n) e tal que LIM Yn = a. Assim, se (Xn) e uma sequencia constante entao NAO E POSSIVEL dar um exemplo de uma funcao fi:N->N tal que LIM Xn = a mas LIM Yn # a. EXEMPLO : Sejam, portanto, (Xn) uma sequencia NAO CONSTANTE tal que LIM Xn = a e fi:N->N uma funcao definida por : A) fi(1) = 1. B) Se N > 1, fi(N) = numero de fatores primos distintos de N E obvio ululante que a funcao fi e sobrejetiva. Como (Xn) NAO E CONSTANTE existem Xi e Xk tais que Xi # Xk. Seja entao E um real positivo tal que E < |Xi - Xk|. Agora, para cada natural N, representemos por Pn o produto dos N primeiros numeros primos. E facil ver que os conjuntos Vn={ (Pi)^N, N=1,2, ... } e Wn={ (Pk)^N, N=1, 2, ... } sao infinitos e, portando, ilimitados. Assim, para todo natural N0 fixado existem V e W pertencentes respectivamente a Vn e Wn tais que V > N0 e W > N0. Para estes V e W temos que fi(V)=i e fi(W)=k => |Yv - Yw| = |X_fi(v) - X_fi(w) | = |Xi - Xk| > E. Acabamos de exibir um E > 0 tal que para todo natural N0 fixado existem naturais V e W maiores que N0 tal que |Yv-Yw| > E. Isto obviamente implica que (Yn) nao e uma sequencia de cauchy. Ora, no Universo das sequencias de numeros reais, "ser de Cauchy" e uma condicao NECESSARIA e SUFICIENTE para a convergencia. Portanto : (Yn) nao e convergente => LIM Yn # r, para todo numero real r => LIM Yn # a, como queriamos demonstrar. ( EXERCICIO 4.25 ) Representarei por Pi[1,N:F(i)] = P(1)*P(2)*...*P(N), onde " * " e o sinal de multiplicacao. De | Xn+1 / Xn | =< C < 1 tiramos que | Xn+1 | =< C*| Xn | para todo n>N0. Daqui segue que Pi[ N0+1,N : |Xn+1| ] =< Pi[ N0+1,N : C*| Xn | ] para todo n>N0. Eliminando os fatores comuns aos dois lados da ultima desigualdade, teremos : | Xn+1 | =< (C^(N-N0) )*| Xn0+1| => | Xn+1 | =< (C^N )*( | Xn0+1| / (C^N0) ) Fazendo | Xn0+1| / (C^(N0-1) = K, temos que | Xn+1 | < K*(C^N ) No Livro em referencia o autor demonstra que LIM C^N = 0, quando C < 1. Assim, dado E > 0 : Existe N1 tal que n>N1 => | C^N - 0 | < E / K. Daqui, tomando > N2=max{N0,N1} temos que n>N2 => |Xn+1| < E => | Xn+1 - 0 | < E => LIM Xn=0. *** De | X n+1 / Xn | >= C > 1 tiramos que | Xn+1 | >= C*|Xn| para todo n>N0. Daqui segue que Pi[ N0+1,N : |Xn+1| ] >= Pi[ N0+1,N : C*| Xn | ] para todo n>N0. Eliminando os fatores comuns aos dois lados da ultima desigualdade, teremos : | Xn+1 | >= (C^(N-N0) )*| Xn0+1| => | Xn+1 | >= (C^N )*( | Xn0+1| / (C^N0) ). Fazendo | Xn0+1| / (C^(N0+1) ) = K, temos que | Xn+1 | > K*(C^N ) No Livro em referencia o autor demonstra que LIM C^N = +INF, quando C>1. Assim, dado qualquer A > 0 : Existe N1 tal que n>N1 => C^N > A/K. Daqui, tomando N2=max{N0,N1} temos que n>N2 => |Xn+1| > A. => LIM | Xn | = +INF. REOBTENDO O EXEMPLO 21 Seja Xn=(a^N) / N, onde a > 1. Entao : | Xn+1 / Xn | = a*(N / (N+1)). Seja N0 o menor natural tal que N0 > 1/(a-1). Segue : N0>1/(a-1) => a(N0/(N0+1)) > 1. Fazendo C= a(N0/(N0+1)) teremos que N > N0 implica que N*N0 + N > N0*N + N0 => N*(N0+1) > N0(N+1) => (N/(N+1)) > (N0/(N0+1)) => (a*N/(N+1)) > (a*N0/(N0+1)) = C Assim, para todo N > N0 => | Xn+1 / Xn | = a*(N / (N+1)) > (a*N0/(N0+1)) = C > 1. Daqui concluimos que LIM |Xn| = +INF. Como, neste caso particular, |Xn| = Xn, seguira do resultado demonstrado na solucao do exercicio 4.25 que LIM Xn=+INF. REOBTENDO O EXEMPLO 22 Seja Xn=N! / (a^N), onde a > 0. Entao | Xn+1 / Xn | = (N+1) / a. Seja N0 o menor natural tal que N0 >= a. Entao (N0+1) / a > 1. Facamos C=(N0+1) / a. E claro que se N > N0 entao (N+1)/a > (N0+1)/a=C. Portanto, N > N0 => | Xn+1 / Xn | =(N+1)/a >(N0+1)/a=C>1. Daqui concluimos que LIM |Xn| = +INF. Como, neste caso particular, |Xn|=Xn, seguira do resultado demonstrado na solucao do exercicio 4.25 que LIM Xn=+INF LIMITE N! / (N^N) = 0 | Xn+1 / Xn | = ( (N+1)! / ( (N+1)^(N+1) ) )*( (N^N) / N! ) = (1 + (1/N))^(-N). Portanto : LIM | Xn+1 / Xn | = 1/e < 1/2. Seja E tal que (1/e) + E =1/2. Facamos C=1/2. Como E > 0 existe um natural N0 tal que N > N0 => | |Xn+1/Xn| - (1/e) | < E, vale dizer, N>N0 => |Xn+1/Xn| < (1/e) + E = C = 1/2 < 1 . Pela demonstracao do exercicio 4.25 isto estabelece que LIM Xn =0, como queriamos demonstrar. FIM Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 6,0D1A,190408 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================