Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Pedro José]

Boa noite!

Bela e simples solução!

Saudações,
PJMS

Em 29 de junho de 2017 18:21, Julio César Saldaña <saldana...@pucp.edu.pe>
escreveu:

>
>
> Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH,
> então
> AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi
> desenhar a
> perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei
> PN até
> K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também.
>
> Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum
> tempo
> mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o
> circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30
> então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois
> BC é
> mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se
> encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o
> circuncentro do
> triângulo ABK.
>
> Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto
> anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo
> BEC.
> Resposta: anguloMEC=60
>
> Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou
> tentar
> lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK
>
> Julio Saldaña
>
>
> -- Mensaje original ---
> De : obm-l@mat.puc-rio.br
> Para : obm-l@mat.puc-rio.br
> Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300
> Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
> >Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.
> >
> >Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com>
> escreveu:
> >
> >> Bom dia!
> >>
> >> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de
> ângulos
> >> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
> >> Não faltou definir o ponto F?
> >>
> >> Sds,
> >> PJMS
> >>
> >> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
> >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
> >>>
> >>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
> >>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40
> graus,
> >>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
> >>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
> >>>
> >>> GRATO!!
> >>> Douglas Oliveira.
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >--
> >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
>
>
> __
> Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese
> a:
> http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Julio César Saldaña]

Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, então 
AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi desenhar a 
perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei PN até 
K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também.


Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum tempo 
mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o 
circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 
então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois BC é 
mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se 
encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o circuncentro do 
triângulo ABK.


Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto 
anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BEC. 
Resposta: anguloMEC=60


Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou tentar 
lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300
Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.

Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com> escreveu:


Bom dia!

O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos
aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
Não faltou definir o ponto F?

Sds,
PJMS

Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:


Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:

Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.

GRATO!!
Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Douglas Oliveira de Lima]

Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.

Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José"  escreveu:

> Bom dia!
>
> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos
> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
> Não faltou definir o ponto F?
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
>>
>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
>>
>> GRATO!!
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Pedro José]

Bom dia!

O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos
quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
Não faltou definir o ponto F?

Sds,
PJMS

Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
>
> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
>
> GRATO!!
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:

Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.

GRATO!!
Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.