Provar que (2005!)^(1/2005)=(2006!)^(1/2006).
2005! 2006^2005 == (2005!) * (2005!)^2005 2006^2005 *
2005!^2005 = (2006*2005!)^2005 = (2006!)^2005 == (2005!)^2006
(2006!)^2005 == (2005!)^(1/2005) (2006!)^(1/2006)On 12/5/05, Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED]
wrote: Provar que (2005!)^(1/2005)=(2006!)^(1/2006).
-- Bruno França dos
Interessante essa demonstração. Tinha pensado em algo mais complexo usando o fato de que n*ln(n)-n+1=ln(n!)=ln(n)+n*ln(n)-n+1, usar essa relação pra n e pra n+1 pra tentar forçar ln(n!)/n=ln[(n+1)!]/(n+1) e aí é so mostrar que a função f(x)=ln(x)/x+ln(x)+1/x é crescente, o que é imediato, basta
Pensei em algo assim tb assim que vi a questão... mas achei que ia dar
mais trabalho e que talvez desse pra fazer de algum jeito mais rápido.
A propósito, fica para o pessoal da lista brincar: quem é maior? e^pi ou pi^e? Prove!
Abraço,
BrunoOn 12/5/05, Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote:
Usando a desigualdade do ln(n!), acredito que pode-se estimar melhor a desigualdade. O que você acha?
Seja f(x)=ln(x)/x-1/e para todo x real tal que x=e. f(e)=0 e f´(x)=(1-ln(x))/x^2=0 para todo x tal que x=e. Como pie = ln(pi)/pi-1/ef(e)=0 = ln(pi)/pi1/e = e*ln(pi)pi =
ln(pi^e)ln(e^pi) = pi^ee^pi.
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