Cara Alininha, Podemos provar isso por contradicao: se T nao e' continua, existe uma sequencia de vetores v_n em X com ||v_n||=1 e ||T(v_n)||>=4^n. Existe tambem, por Hahn-Banach, para cada n>=1 um funcional linear f_n em Y* com ||f_n||=1 tal que ||f_n(T(v_n))||=||T(v_n)||>=4^n, e, para n>=2, podemos escolher esse f_n de modo que f_n(T(v_n)) tenha o mesmo sinal que soma(k=1 a n-1)(f_k(T(v_n))/3^k) (escolhemos no inicio todos os v_n e ja' escolhemos os f_k para 1<=k<=n-1). Agora consideramos y*=soma(k=1 a infinito)((1/3^k).f_k). Temos ||y*||<= <=soma(k=1 a infinito)(1/3^k)=1/2, logo y* pertence a Y*. Vamos ver que y*(T(x)):X->R nao e' continua: para isso vamos estimar |y*(T(v_n))|. Como f_n(T(v_n)) tem o mesmo sinal que soma(k=1 a n-1)||f_n(T(v_n))||, temos ||soma(k=1 a n)(f_k(T(v_n))/3^k)||>=||f_n(T(v_n))||/3^n. Por outro lado, para cada k, como ||f_k||=1, temos ||f_k(T(v_n))||<=||T(v_n)||, donde ||soma(k=n+1 a infinito)(f_k(T(v_n))/3^k)||<= <= ||T(v_n)||.soma(k=n+1 a infinito)(1/3^k) = ||T(v_n)||/(2.3^n), donde |y*(T(v_n))|>= >=||soma(k=1 a n)(f_k(T(v_n))/3^k)||-||soma(k=n+1 a infinito)(f_k(T(v_n))/3^k)|| >= ||f_n(T(v_n))||/3^n-||f_n(T(v_n))||/(2.3^n)=||f_n(T(v_n))||/(2.3^n)>= >=4^n/(2.3^n)=((4/3)^n)/2, pois ||f_n(T(v_n))||>=4^n. Portanto, como lim(n->infinito)(((4/3)^n)/2)=infinito, segue que lim(n->infinito)(|y*(T(v_n))|)=infinito, e, logo, como ||v_n||=1 para todo n, temos que y*(T(x)):X->R nao e' limitada, e portanto nao e' continua.
Abracos, Gugu Quoting Alininha <[EMAIL PROTECTED]>: > (...) > > Aproveito para perguntar um outro problema que acredito > seja bem simples também. > > Seja T:X -> Y uma aplicação linear ( X é Banach e Y é > normado) e Y* o dual de Y. Mostrar que se > y*(T(x)):X -> R é contínua para cada y* pertencente a Y* > então T é contínua. > > Mais uma vez Gugu muito obrigada! > > ------------------------------------------------- This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================