2010/7/26 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis <jorgelrs1...@hotmail.com>: > Um pai, tentando convencer o filho a tornar-se tenista, oferece-lhe prêmio > se ele vencer duas partidas seguidas numa série de três jogos. A única > restrição é que o filho deve jogar alternadamente com o pai e o seu > treinador; devendo escolher então entre uma das duas séries: > pai-treinador-pai ou treinador-pai-treinador. O treinador joga melhor que o > pai. Qual série o filho deve escolher? Esse problema é bem interessante, porque tem dois aspectos. O primeiro, é que parece ser estranho escolher TPT (treinador-pai-treinador) em vez de PTP. Mas veja bem.
Sejam p e t as probabilidades de o filho vencer um jogo contra seu pai e seu treinador, respectivamente. No tênis, não há empate (mas o jogo pode durar muuuuuuuuuuuuuuuuito tempo!), logo a probabilidade de ele ganhar os dois primeiros jogos na configuração PTP é pt. Nesse caso, ele já tem o prêmio. Se ele perder o primeiro jogo, com probabilidade (1-p), ele deve ganhar os dois seguintes, logo com probabilidade tp. Total : pt + (1-p)*tp. (Exercício: veja que essa probabilidade é realmente menor do que 1, e que ela é máxima exatamente quando p=1, o que parece bem razoável). Mas se a configuração for TPT, as probabilidades passam a ser tp + (1-t)*pt. E como "o treinador joga melhor do que o pai" quer dizer que a chance de perder contra o treinador (que vale 1-t, lembre) é maior do que perder contra o pai. Assim, o filho tem mais chances de ganhar se escolher a configuração em que ele joga contra o treinador mais vezes. O que tem uma explicação "intuitiva" simples. Em qualquer dos casos, o filho tem que ganhar uma partida contra o treinador. Mais ainda, na configuração PTP, ele é "obrigado" a ganhar contra o treinador, enquanto que na configuração TPT, ele é obrigado a ganhar do pai (o que é mais fácil) e ele tem "2 chances" para tentar ganhar do treinador. Fim de papo. Mesmo ??? Se você fosse o filho, você escolheria isso ? Eu não... enfim, depende. Se forem jogos realmente "independentes" (como a gente tem mania de pensar por conta dos probleminhas de vestibular), a dedução procede. Mas imagine que o pai não tem todo o tempo do mundo, nem o filho, nem o treinador, e na verdade são três jogos consecutivos. Pode ser um jogo cada dia, mas pode ser muito pior, por exemplo, durante uma sessão de treinamento. Ou imagine que se trata de ping-pong, por exemplo, em que os jogos são mais curtos. O raciocínio acima não leva em consideração um fator muito importante: se você ganhou um jogo contra alguém que é mais "forte" do que você, talvez você tenha se cansado um bocado para tanto. E, de modo geral, para ganhar uma partida contra um profissional, ou contra um "café-com-leite", a história é bem diferente. Eu proponho, portanto, o seguinte raciocínio. Sejam dois jogos consecutivos J1 e J2. Imagine que você tem chance g1 de ganhar o primeiro jogo, e g2 o segundo, se eles fossem realmente "fisicamente" independentes. Seja um parâmetro alfa < 1. Então você tem chance somente de (1 - alfa*(1-g1))*g2 de ganhar o segundo. O coeficiente na frente do g2 é bem simples, mas satisfaz o seguinte: - se alfa = 0, os jogos são independentes - para todo 0 < alfa < 1, os jogos são dependentes, e a chance de ganhar o segundo decresce com alfa - para alfa fixo, a chance de ganhar o segundo diminui se você teve que "se cansar mais" para ganhar o jogo anterior. A função (1-g1) de "penalidade" é provavelmente simples demais. Se g1 fosse quase 1, talvez você devesse "descansar" mais. Acho que uma boa função seria uma "tangente hiperbólica" com uma baita inflexão em g1 = 0.5. Mas deixa pra lá, já vai ficar complicado o suficiente. Aliás, note que a probabilidade é a mesma independentemente do resultado do jogo: ela corresponde ao "cansaço" de ter jogado contra um jogador de "dificuldade" 1 - g1. É claro que isso complica ainda mais as coisas: se você notar que você vai perder, talvez você desista. Eu vou supor que não é o caso, porque afinal, se o pai notar que o filho "desistiu" de ganhar, ele vai dizer: "não, você não jogou direito, um profissional não desistiria assim". Ainda mais que os torneios da ATP são sempre eliminatórios :). Com o problema modificado para incorporar esse aspecto a mais, as probabilidades se tornam: p*(1 - alfa*(1-p))*t + (1-p)*(1 - alfa*(1-p))*t*(1 - alfa*(1 - alfa*(1-p))*t)*p = pt( (1 - alfa*(1-p)) + (1-p)*(1 - alfa*(1-p))*(1 - alfa*(1 - alfa*(1-p))*t)) para a configuração PTP, e permutando p e t para a configuração TPT. A diferença PTP - TPT é, portanto (depois de dividir por p*t, que é sempre positivo) : dif = (3*t^2*p-3*p^2*t+p^3*t-t^3*p-t+p)*alfa^3+(2*p^2*t+2*t-2*t^2*p-2*p)*alfa^2+(-4*t+t^2+4*p-p^2)*alfa+t-p Com um pouco de boa vontade (e um computador pra fazer as contas e ver que vai dar certo), você vê que essa diferença dá pra dividir por p-t, que é positivo. O que é mais ou menos natural visto a simetria do problema. Portanto, o que nos interessa é, na verdade, o sinal de (t^2*p-3*p*t+p^2*t+1)*alfa^3 + (2*p*t-2)*alfa^2 + (-t+4-p)*alfa - 1 O que já mostra que, se alfa = 0 (ou seja, os jogos são independentes), PTP tem menos chances do que TPT. Como a gente tinha visto. A segunda coisa legal é ver que em alfa = 1, isso dá t^2 * p +p^2 * t - p*t - p - t + 2 = pt(t + p - 1) - 1 (t + p - 1) + 1 = (t + p - 1)*(pt - 1) + 1 = (1 - p - t)*(1 - pt) + 1 e portanto se p+t <= 1, vale a pena mudar para TPT no caso de "muito cansaço acumulado". Mas tem mais: se p+t > 1, a gente pode mudar a conta na segunda linha : t^2 * p +p^2 * t - p*t - p - t + 2 = pt(t+p - 1) + 2 - (p+t) o que também vai ser positivo, já que p+t é menor do que 2, e agora o primeiro fator é positivo. Dá pra fazer mais, por exemplo, se você fizer um gráfico da diferença/pt(p-t) você vê que isso é crescente com alfa. > Afinal! Qual o absurdo na declaração "Metade dos alunos tiveram um > desempenho abaixo da média"? Ela é tautológica ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
