Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Trata-se da serie Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))), onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos no produto depende de n: paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a 1. tô olhando isso só agora, então perdoem-me se estiver falando abobrinha... denotando log(n).log log (n). ... . log log ... log(n)) = LoLog(n) a[n] = 1/(n.LoLog(n)) r = |a[n+1]/a[n]| = n/(n+1) * LoLog(n)/LoLog(n + 1) até onde eu entendi, LoLog é monótona crescente. sendo assim r 1 e a série converge. isso contraria o que o Gugu disse! onde errei? [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Olhando soh para a ultima linha: Nao eh exatamente assim que se usa o teste da razao. O fato de se ter a[n+1] / a[n] 1 para todo n nao implica que o limite desse quociente seja menor que 1. - Original Message - From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 03, 2003 8:44 PM Subject: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU Trata-se da serie Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))), r = |a[n+1]/a[n]| = n/(n+1) * LoLog(n)/LoLog(n + 1) até onde eu entendi, LoLog é monótona crescente. sendo assim r 1 e a série converge. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Olhando soh para a ultima linha:
Nao eh exatamente assim que se usa o teste da razao. O fato de se ter
a[n+1]
/ a[n] 1 para todo n nao implica que o limite desse quociente seja menor
que 1.
é, realmente... tem o caso da série divergente somatório{1/n}
que tem razão |a[n+1]/a[n]| = n/(n+1) e o limite da razão é 1, apesar de
todas as razões serem menores do que 1.
vou pensar melhor no problema!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Oi Claudio,
Bom problema. De fato, sup(A)=e. Voce(s) quer(em) pensar mais ou quer(em)
ver uma solucao ?
Abracos,
Gugu
Oi, Gugu e Luis:
Baseado na ultima mensagem (do Gugu) temos um novo
problema derivado desse:
Qual a maior base de logaritmos para a qual a serie converge
ou, mais precisamente, seja:
A = {b em R tais que para logs na base b a serie converge}
Quem eh sup(A) ?
Pelo que o Gugu disse, 2 = sup(A) = e.
Um abraco,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 30 May 2003 04:04:13 -0300 (EST)
Assunto: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Caro Luis,
Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele
esta' pensando
que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem
classico. Nesse
problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou
de x, na integral).
Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e
assim por
diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao
delicada e'a
questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log
(logaritmo natural)
por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir,
converge.
Abracos,
Gugu
Sauda,c~oes,
Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
Caros colegas,
Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
universitaria.
Trata-se da serie
Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
no produto depende de n:
paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
1.
Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
série . pelo Salvador???
Mais um uso do mesmo teste.
[]'s
Luis
===
The series with nth term
1/(n log n log log n \cdots log
Let log_k x = log \cdots \log x with
k iterates. To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
Then the integral in question becomes
\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
which tends to infinity with R by induction.
Alternatively, one can avoid integrals by using
the Cauchy condensation test.
Cecil
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Sauda,c~oes, Realmente ele entendeu errado o enunciado, tal como o Gugu e o Nicolau apontaram. Escrevi pra ele com aquelas observações. Sua resposta: === Dear Luis: Yes, I thought that the number of iterates of the logarithm was fixed. The correct problem is more subtle. Cecil === []'s Luís -Mensagem Original- De: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 30 de maio de 2003 04:04 Assunto: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU Caro Luis, Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele esta' pensando que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem classico. Nesse problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou de x, na integral). Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e assim por diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao delicada e'a questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log (logaritmo natural) por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir, converge. Abracos, Gugu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
On Thu, May 29, 2003 at 07:09:07PM -0300, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
Há dois arquivos para esta lista:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]
Caros colegas,
Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
universitaria.
Trata-se da serie
Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
no produto depende de n:
paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
1.
Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
série . pelo Salvador???
Mais um uso do mesmo teste.
[]'s
Luis
===
The series with nth term
1/(n log n log log n \cdots log log \cdots log n) diverges
by the integral test. Let log_k x = log \cdots \log x with
k iterates. To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
Acho que há um mal entendido aqui. Esta integral não corresponde
à série proposta. O certo seria definir
log_k x = log log ... log x, se esta expressão existir e for maior
ou igual a 1
1, caso contrário.
f_m(x) = x log(x) log_2(x) ... log_m(x)
f(x) = lim_{m - infinito} f_m(x)
Note que para cada x fixo a seqüência acima (em m)
é constante a partir de certo ponto.
É um fato bem conhecido que
soma_{n = 1} 1/f_m(n)
integral_1^infinito dt/f_m(t)
divergem (para qualquer m dado). O problema do Gugu consiste em saber se
soma_{n = 1} 1/f(n)
integral_1^infinito dt/f(t)
divergem.
tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
Then the integral in question becomes
\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
which tends to infinity with R by induction.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Problema 5 da OBMU
Sauda,c~oes,
Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
Caros colegas,
Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
universitaria.
Trata-se da serie
Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
no produto depende de n:
paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
1.
Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
série . pelo Salvador???
Mais um uso do mesmo teste.
[]'s
Luis
===
The series with nth term
1/(n log n log log n \cdots log log \cdots log n) diverges
by the integral test. Let log_k x = log \cdots \log x with
k iterates. To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
Then the integral in question becomes
\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
which tends to infinity with R by induction.
Alternatively, one can avoid integrals by using
the Cauchy condensation test.
Cecil
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Caro Luis,
Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele esta' pensando
que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem classico. Nesse
problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou de x, na integral).
Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e assim por
diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao delicada e'a
questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log (logaritmo natural)
por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir, converge.
Abracos,
Gugu
Sauda,c~oes,
Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
Caros colegas,
Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
universitaria.
Trata-se da serie
Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
no produto depende de n:
paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
1.
Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
série . pelo Salvador???
Mais um uso do mesmo teste.
[]'s
Luis
===
The series with nth term
1/(n log n log log n \cdots log log \cdots log n) diverges
by the integral test. Let log_k x = log \cdots \log x with
k iterates. To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
Then the integral in question becomes
\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
which tends to infinity with R by induction.
Alternatively, one can avoid integrals by using
the Cauchy condensation test.
Cecil
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Oi, Gugu e Luis:
Baseado na ultima mensagem (do Gugu) temos um novo
problema derivado desse:
Qual a maior base de logaritmos para a qual a serie converge
ou, mais precisamente, seja:
A = {b em R tais que para logs na base b a serie converge}
Quem eh sup(A) ?
Pelo que o Gugu disse, 2 = sup(A) = e.
Um abraco,
Claudio.
-- Cabeçalho inicial ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data: Fri, 30 May 2003 04:04:13 -0300 (EST)
Assunto: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
Caro Luis,
Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele
esta' pensando
que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem
classico. Nesse
problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou
de x, na integral).
Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e
assim por
diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao
delicada e'a
questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log
(logaritmo natural)
por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir,
converge.
Abracos,
Gugu
Sauda,c~oes,
Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
Caros colegas,
Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
universitaria.
Trata-se da serie
Soma(n=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
no produto depende de n:
paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
1.
Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
série . pelo Salvador???
Mais um uso do mesmo teste.
[]'s
Luis
===
The series with nth term
1/(n log n log log n \cdots log
Let log_k x = log \cdots \log x with
k iterates. To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
Then the integral in question becomes
\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
which tends to infinity with R by induction.
Alternatively, one can avoid integrals by using
the Cauchy condensation test.
Cecil
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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