Sobre a primeira questao,os quadrados perfeitos sao da forma 4k ou 4k + 1Note
que 144...4 = 10^n + 4*11...1.(n zeros na primeira parcela e n 1`s na
segunda)Para n = 2 e n = 3 temos 144 e 1444,respectivamente,quadrados
perfeitosPara n > 3,temos que 144...4 = 1000*10^(n-3) + 4*11...1 =
4*(250*10^(n-3) + 11...1) = xSuponha que x seja um quadrado perfeito.Então y =
250*10^(n-3) + 11...1 é tambem quadrado perfeitoObserve que a primeira parcela
de y(para n > 3) é um múltiplo de 4 e a segunda, é um múltiplo de 4 mais 3,pois
11...111 = 11...100((n-2) 1`s) + 8 + 3,ou seja,y = 4k + 3,daivem uma
contradição com o fato de que um quadrado perfeito é da forma 4k ou 4k +
1.Portanto,para n> 3,x=144...4 não é quadrado perfeito.Abraço,Marcone.
From: athos...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade e Congruências
Date: Thu, 30 Aug 2012 01:39:38 +0000
Bem, tenho estudado algumas matérias sozinho, e não estou obtendo muito
sucesso. Graças as meu fracasso, vou começar a mandar questões frequentemente,
espero que gostem e que me ajudem. Ai vai:
1)Mostre que entre os números da forma:14, 144, 1444, 14444, ... , 1444...444os
únicos quadrados perfeitos são: 144=12² e 1444=38²
2)Encontrar todos os números N de três dígitos em representação decimal, tais
que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos
dígitos de N.
3)Seja f: N->N uma função tal que:(a) f(1)=0(b) f(2n)= 2n+1(c)
f(2n+1)=2f(n)Ache uma fórmula não recursiva para f(x)
Obrigado pela atenção, Boa noiteAtt. Athos Cotta Couto
