Olá Luiz e demais colegasdesta lista ... OBM-L, 1) Quem provou que os números transcendentes são infinitos ? Cantor demonstrou diretamente que os *NÚMEROS ALGÉBRICOS* são enumeraveis. Como ele também havia demonstrado que os números reais não são enumeráveis, os reais não-algébricos, vale dizer, os NÚMEROS TRANSCENDENTES, não podem ser enumeráveis ( se fossem enumeráveis, os números reais, sendo a união disjunta de algébricos e transcendentes, seria enumerável ... ). Portanto, pode-se dizer que Cantor *DEMONSTROU INDIRETAMENTE* que existem infinitos números transcendentes. Note que o conceito de número transcendente é caracterizado indiretamente, pois dizemos que um número é transcendente quandoele não é algébrico, isto é, nos tomamos o conceito bem estabelecido ( um número é algébrico quando ele é solução de umaequação algébrica com coeficientes inteiros ) de número algébrico para falar sôbre os transcendentes. Este procedimento, em Matemática, é tipicamente uma suave confissão de ignorância e desconhecimento ... Em verdade, criamos uma *sacola* e passamosa proceder assim : o que não é algébrico nós jogamos aqui. A verdade é que sabemos muito pouco sôbre estes números. Essa ignorância,inclusive, pode estar ligada a hipótese do contínuo, pois, quem sabe se neste ninho de gatos que são os numeros transcendentes não se escondeaquele famoso e tão procurado conjunto não-enumerável com cardinalidade inferior a dos reais ? Os números transcendentes é uma terra de ninguém. 2) Como descobrir se um número real r é transcendente ? Demosntrando que r não é algébrico. Existem uns pouquíssimos e pobríssimos resultadosque servem para caracterizar algumas familias de transcendentes. Por exemplo : TEOREMA DE GELFOND : Se A é um número algébrico não-nulo e diferente de 1 e B é um irracional, então A^B é transcendente.Do teorema acima concluimos, por exemplo, que "raiz_2(2)^raiz_2(2)" é transcendente ( raiz_2(2) = raiz quadrada de dois ). São também transcendentes:N^raiz2(2), onde N é um natural maior que 1. OBS : O resultado acima responde a uma das famosas perguntas elaboradas pelo Hilbert TEOREMA DE LINDEMAN : e^A é transcendente para todo A algébrico não nulo ( e= 2,7 ... = número de Euler = base dos logaritmos naturias ) NUMEROS DE LIOUVILLE : Todo número A tal que para todo natural N existem p e q inteiros tais que modulo(A - (p/q) ) < 1/(q^N) Um exemplo classico de numero de Liouville e : A= (1/10) + (1/(10^2)) + (1/(10^6)) + ... + (1/(10^(N!))) + ... Deve existir mais resultados parciais que não me ocorrem agora. Nem todo todo número transcendente é número de Liouville, ou , melhor ainda, nenhuma das familias de numeros caracterizáveis pelos resultados acimaexaure todos os numeros trancendentes. É também importante destacar que o conceito de NUMERO TRANSCENDENTE esta atrelado ao conceito de númeroalgébrico, que, por sua vez, esta associado ao conceito de polinomio com coeficientes inteiros. Ora, existem diversos outros exemplos de corpos alem dosracionais e reais( e entre eles, por exemplo, A+B*raiz2(2), onde A e B são racionais, formam um corpo "entre" Q e R ). Portanto, é possivel extender o conceito de número transcendente para outros corpos, podendo-se falar em NUMERO TRANSCENDENTE SOBRE O CORPO TAL. Em minha opinião, este imbricamento entre os conceitos de transcendente e algébrico, em que pese nos ter permitido ver pela primeira vez os transcendentes,é um obstaculo a ser vencido para uma melhor compreensão da eventual *estrutura* e *beleza* que há neste universo ( dos transcendentes ) dominio ... Talvezo estudo do que há nos transcendentes relativos a outros corpos ( incluindo uma olhada especial nos finitos ) poderia lançar alguma luz aqui. O que é certoé que a conceituação atual é pobre para abordar tais números e há muito o que descobrir aqui. Note que ha muito outros conceitos ( por exemplo, número computável , conjunto magro, medida de um conjunto ) que podem ser aplicados a estas classesde números ( as classes caracterizadas pelos resultados acima ). Eu me lembro, por exemplo, que alguem ja associou a ideia de conjunto magroao conjunto dos números de Liouville ( acho que é que numeros de Liouville é complementar de um conjunto magro ou algo proximo disso ) Um Abraço a TodosPSR,62210100A15
> Date: Thu, 21 Oct 2010 10:16:53 -0200 > Subject: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória > From: rodrigue...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Olá, pessoal!!! > Tudo bem??? > Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são > infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número > transcendente? É possível gerá-los? > Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de > combinatória: "Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as > vogais ou as consoantes juntas?" Fiz pelo complementar mas acho que > está errado... > Alguém pode me ajudar??? > Um abração para todos. > Luiz > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
