[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos assoluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o
total de bolas dacor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P2e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou
seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente
em montar partiçoes de um conjuntocom elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e
indistinguiveis entre si15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e
corretassoluções distintas. Neste agora, não.
Um AbraçoPSR,425051108A1
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número
de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas
e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas
de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao
negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3)
0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa,
digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1
bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11
azuis.
Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR !
Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de
combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3),
estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem
distintos ...
Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram.
Um abração
PSR,425051100A1
Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um
conjunto
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada
cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Isso me parece ser a maneira mais simplesExistem 9 maneiras de se dividir 8
bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz
a mesma coisa para as demais e depois multiplica.
Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4
pessoas.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola' Paulo e colegas da lista,
para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo
numero de permutacoes entre os participantes.
Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24.
[]'s
Rogerio Ponce.
PS: enviei para a lista a seguinte correcao:
As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes.
Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre
4 pessoas.
Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita
paulosantar...@hotmail.comescreveu:
Ola Rogerio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos as
soluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1
será o total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que
serão dadas a pessoa P2
e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas,
ou seja, existem as
pessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente em montar
partiçoes de um conjunto
com elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si
10 bolas prestas, iguais e indistinguiveis entre si
15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas
soluções distintas. Neste agora, não.
Um Abraço
PSR,425051108A1
--
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l]
Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10
pretas e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as
bolas de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes
nao negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita
paulosantar...@hotmail.comescreveu:
Oi Willy e Rogerio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades
3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte
da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa
que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e
11 azuis.
Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR !
Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de
combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3),
estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se
fossem distintos ...
Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram.
Um abração
PSR,425051100A1
--
Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um
conjunto
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de
cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Isso me parece ser a maneira mais simples
Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e
C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e
depois multiplica.
Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
2011/5/25 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Como n-1 = 3, seriam C(11,3), C(13,3) e C(18,3), não? Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Rogério e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Esta resposta está errada, pois ela pressupõe que as soluções do problema
anterior podem ser agrupadas em grupos de 4!=24soluções, o que só ocorre quando
a solução e formada por conjuntos dois a dois distintos. Por exemplo,
{ {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} }
é uma solução no primeiro problema e qualquer uma das suas 4!=24 também são,
formando portanto 24 soluções distintasque podem ser agrupadas em uma única
partição ( na qual a ordem dos conjuntos é irrelevante ), a saber :
{ {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} } que será uma única solução para o
segundo problema.
Mas agora considere a solução do primeiro problema :
{ {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} }
Devido a igualdade entre o primeiro e terceiro conjuntos, não há 4!=24
permutações duas a duas distintas que podem seragrupadas para formar a partição
( solução do segundo problema ) seguinte :
{ {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} } que é uma solução válida para o segundo
problema.
Um AbraçoPSR,42505110B2A
Date: Wed, 25 May 2011 11:05:27 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l]
[obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo
numero de permutacoes entre os participantes.
Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24.
[]'s
Rogerio Ponce.
PS: enviei para a lista a seguinte correcao:
As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes.
Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos as
soluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o
total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que serão
dadas a pessoa P2e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou
seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente
em montar partiçoes de um conjunto
com elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e
indistinguiveis entre si
15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas
soluções distintas. Neste agora, não.
Um AbraçoPSR,425051108A1
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número
de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas
e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas
de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao
negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3)
0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa,
digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1
bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4
