Obrigado a todos! Pedro Chaves __________________________ ________________________________ > Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina > (de novo) > From: petroc...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Boa tarde! > > Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m. > > Desculpem-me, > PJMS > > Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José > <petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu: > Boa tarde! > > Não parei para pensar se dá sempre. > > 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = > 5 + 12* m : m Ɛ Z > > -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 > (mod12) ==> y =2 + 7*n : n ƐZ > > > Substituindo na equação original temos: > > 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 > +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. > > Saudações, > PJMS > > > > > > > Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José > <petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu: > Bom dia! > > Desculpe-me, não vi a restrição do método. > > Sds, > PJMS > > Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves > <brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>> escreveu: > Obrigado, Pedro José! > > O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. > > Um abraço! > Pedro Chaves > > ________________________________ >> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) >> From: petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com> >> To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br> >> >> Bom dia! >> >> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente >> se m.d.c.(a,b) divide c. >> >> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. >> >> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. >> >> 12 = 7 * 1 + 5 >> 7 = 5 * 1 + 2 >> 5 = 2 * 2 + 1 >> >> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e >> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de >> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) >> >> 5 = 12 - 7 (i) >> 2 = 7 - 5 (ii) >> 1 = 5 - 2 *2 (iii) >> >> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) >> >> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 >> >> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. >> >> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 >> >> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da >> equação 7 x - 12 y = 11. >> >> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) >> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) >> >> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) >> >> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b. >> >> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) >> ==> y = -33 + 7*t (vi) >> >> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t >> >> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + >> 7*t, t ƐZ } >> >> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos >> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta >> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem >> soluções se m.d.c.(a,b) divide c. >> >> Tem o artigo do eduardo Tengan: >> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há >> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas >> equações. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> >> >> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire >> > <b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br><mailto:b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br>>> > > escreveu: >> Pedro, >> >> 7 é o inverso de 7 módulo 12 >> >> -- >> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>) >> >> >> ---------- Original Message ----------- >> From: Pedro Chaves > <brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com><mailto:brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>>> > >> To: > "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br><mailto:obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>" > >> > <obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br><mailto:obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>> > >> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 >> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) >> >>> Caros Colegas, >>> >>> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por >> congruência? Não consegui. >>> >>> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. >>> >>> Abraços. >>> Pedro Chaves >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> ========================================================================= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >> ------- End of Original Message ------- >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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