Olá! Bem, gostei das respostas, mas tenho algumas (só três) observações:
1ª) De fato, podemos muito bem definir algumas funções através de integrais, p.ex., Bessel, Gama, Legendre etc. Essas funções são perfeitamente aceitas e, aliás, de bastante utilidade. 2ª) Acredito que não seja possível demonstrar a impossibilidade de se encontrar uma determinada integral indefinida, expressa apenas através das funções mais básicas. I.e., em princípio, a integral indefinida (expressa apenas através das funções mais básicas) de qualquer função NÃO existe, ou não pode ser calculada (no sentido convencional), até que se consiga, por qualquer meio (admitindo-se até "chutar", ou inferir), determiná-la, e, aí, vale o Teorema Fundamental do Cálculo. Um bom exemplo é a integral de sqrt(sin(x)). 3ª) Um dos participantes da Lista mencionou que se pode definir a função ln(x) como sendo a integral da função 1/x . Poder, até pode, mas vai dar uma baita complicação: - vou apresentar 2 teoremas: Definições: Seja "e" um número real tal que: e = limite [ (1+1/x)^x , x=+infinito ] . Seja "f" uma função tal que: f(x) = e^x . Afirmativa (a ser provada - é fácil!): "f" possui função inversa: f(-1) = g . 1º Teorema: Se f(-1)=g , então integral [1/x , x]=g(x) ... muito fácil de se demonstrar! Já o 2º Teorema... Definições: Seja "e" um número real tal que: e = limite [ (1+1/x)^x , x=+infinito ] . Seja "f" uma função tal que: f(x) = e^x . 2º Teorema: Lembro que o 1º Teorema não vale mais, porque a função "g" ainda não foi definida. Se integral [1/x , x]=g(x) , então g=f(-1) ... não é fácil de se demonstrar! AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com > -----Original Message----- > From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] > On Behalf Of Ralph Teixeira > Sent: Tuesday, March 24, 2009 10:10 AM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por > que é impossível? > > Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a > +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e > coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?). > > A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x) > exp(-t^2) dt ) eh "impossivel"... bom, no sentido que o Leandro falou > ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas > "funcoes elementares" (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?) > e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho > que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao > a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao. > > Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por > exemplo, usando a funcao "erf", como disse o Bouskela, que por sua vez > eh uma outra integral destas "impossiveis", com aspas). Outra > possibilidade para "resolve-la" (talvez o verbo correto aqui fosse > "re-escreve-la"...) eh por serie de potencias. > > exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+... > F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(- > 1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+... > > Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes > "elementares" e "nao-elementares" eh um tanto arbitraria; quase dah > para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao > "elementar" quanto o seno, e tao "dificil de calcular" quanto o seno. > Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma > questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas > raramente com esta F que nem nome ganhou. > > Abraco, > Ralph > =========================================================== > ============== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================== > ============== ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
