On Fri, Jun 29, 2007 at 11:44:35AM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series > de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez > este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as > chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise > Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns > capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo > menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em > representacao polar, nao deve ser considerado como angulo.
A definição via série é de fato muito boa para estender a definição de exp para os complexos, mas definitivamente não é esta a única forma de proceder, veja abaixo. Se é a melhor forma é questão de opinião. > Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, > embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo > trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no > antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque > a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na > realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das > funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade > |sen(x)| <= > |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente > provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a > menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. Sob um ponto de vista lógico, as considerações são válidas mas exageradas: você de fato precisa de integral (no mínimo) para definir o comprimento de uma curva qualquer. No caso em questão, entretanto, estamos calculando o comprimento apenas de segmentos de reta e de círculo. Isto pode ser feito sem integral. Outro ponto de vista importante é o pedagógico. É rotina apresentar na escola de maneira informal conceitos que para uma apresentação formal exigem matemática muito além do que os alunos conhecem. Comprimento de uma curva e área de uma região são bons exemplos. > Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos > complexos? A definição via EDO é perfeitamente adequada para exponencial de complexos e matrizes: ela é a definição de exponencial de uma álgebra de Lie g para o grupo de Lie associado G: se f: R -> G, f(0) = e, f'(t) = f(t) h (onde h é um elemento de g) então f(t) = exp(t h). > As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos > reais, certo? A definição via inverso do log funciona perfeitamente bem para complexos: integre a função holomorfa f(z) = 1/z (em um aberto simplesmente conexo que não contenha a origem) para obter a funçao holomorfa g(z) = log(z). A inversa de g é a restrição da exponencial a algum aberto e prolongamento analítico estende a exponencial para todo o plano complexo. Para a definição elementar, veja abaixo. > No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a > funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em > pelo menos 1 elemento de R? Não. Para todo a > 1 existe uma única função crescente f: R -> R com f(0) = 1, f(1) = a, f(x+y) = f(x)*f(y). Talvez você não tenha atentado para a hipótese (elementar, i.e., dentro da matemática que um estudante de ensino médio conhece) de f ser crescente. A hipótese de f ser crescente de fato não faz sentido para os complexos. Acho que a trilha mais fiel à construção elementar seria provar que f é real analítica e tomar seu prolongamento analítico para o plano complexo. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================