[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka
Olá, para provar que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln2, podemos fazer o seguinte: sabemos que 1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1/(1-x) trocando x por -x, obtemos: 1 - x + x^2 - x^3 + ... = 1/(x+1) como a série da esquerda é uma série de potências, e converge para todo |x| 1, entao ela converge uniformemente, e podemos afirmar que a integral da serie é a serie da integral.. assim, integrando, temos: ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + = Somatório(n=0 ... inf, (-1)^n * x^(n+1) / (n+1)!) para o caso de x = 1, temos: ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = Somatório(n=0 ... inf, (-1)^n / (n+1)!) aplicando o teste da razao para o módulo da série, temos: (1 / (n+2)!) * ((n+1)!) =1 / (n+2).. que tende para 0 quando n tende para infinito..., logo, a série converge, e, realmente podemos afirmar que: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln(2). abraços, Salhab - Original Message - From: Giuliano (stuart) To: obm-l Sent: Thursday, June 22, 2006 8:07 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/200 = 1/101 +1/102 +...+ 1/200 Seja S a soma temos que 1-1/2=1/2 logo S=1/2 +1/3-1/4+1/5-1/6+. =1/3+1/4+1/5-1/6+.=+1/4+1/5+1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+... Fazemos isto assim por diante (isto é pegamos o próximo número que é o dobro do primeiro e fazemos a nova soma perceba que a soma não muda perceba que todos os termos negativos irão "desaparecer" e a soma será "deslocada" para a direita como temos 100 termos no lado esquedo que são negativos logo a soma se "deslocará" para a direita 100 termos, o que dá o lado direito. c.q.d. Outro problema legal: Prove que 1-1/2+1/3-1/4+=ln 2 perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos números. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka
Isto pode ser visto como uma consequencia do teorema de Abel Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Giuliano (stuart)Enviada em: quinta-feira, 22 de junho de 2006 20:08Para: obm-lAssunto: [obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka Outro problema legal: Prove que 1-1/2+1/3-1/4+=ln 2 perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos números. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)
[obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka
Sejam: S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + + 1/(2n-1)- 1/(2n) e H = 1 + 1/2 + 1/3 + + 1/(2n) Então: S=H - 2*(1/2 + 1/4 +... + 1/(2n)) = H - (1 + 1/2 + ... + 1/n) = 1/(n+1)+ 1/(n+2) + ... + 1/(2n) []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 22 Jun 2006 18:09:34 -0300 Assunto: [obm-l] Exercício da Eureka Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/199 = 1/101 + 1/102 +...+ 1/200 Pra galera se distrais pós jogo seleção. []'s.
[obm-l] Re:[obm-l] Exercício da Eureka
Demonstre que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+ ...+ 1/199 - 1/200 = 1/101 +1/102 +...+ 1/200 Seja S a soma temos que 1-1/2=1/2 logo S=1/2 +1/3-1/4+1/5-1/6+. =1/3+1/4+1/5-1/6+.=+1/4+1/5+1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+... Fazemos isto assim por diante (isto é pegamos o próximo número que é o dobro do primeiro e fazemos a nova soma perceba que a soma não muda perceba que todos os termos negativos irão "desaparecer" e a soma será "deslocada" para a direita como temos 100 termos no lado esquedo que são negativos logo a soma se "deslocará" para a direita 100 termos, o que dá o lado direito. c.q.d. Outro problema legal: Prove que 1-1/2+1/3-1/4+=ln 2 perceba que esta soma depende de que ordem é somado os termos pois esta soma converge se somado nesta ordem e diverge se pegassemos o módulo dos números. Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)
