Prezado Marcelo, Após algum tempo solucionando o problema proposto, cheguei a uma resposta muito próxima da que você postou aqui. A solução transcrevo abaixo, porém peço para que verifique se o resultado correto é realmente (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2), e não (OG)^2 = R^2 - 1/9*(A^2 + B^2 + C^2).
Atenciosamente, Eduardo Beltrão _____________ Sejam AB = c, AC = b e BC = a os lados do triângulo ABC. Sejam M, N e P os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente. OBS: Para efeito de visualização, considere BC o lado do triângulo mais próximo do centro O do círculo. Observe que o triângulo OMC é retângulo, e assim: (OM)^2 + (CM)^2 = (OC)^2 ( I ) No triângulo AMC temos que, pela lei dos cossenos: (AC)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 - 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( II ) Também pela lei dos cossenos, temos, no triângulo ABM, que: (AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 - 2*(AM)*(BM)*cos(180º - A^MC) ( III ) Em ( III ), como M é ponto médio de BC temos: (AB)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 + 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( IV ) Somando membro a membro as equações ( II ) e ( IV ), temos: (AC)^2 + (AB)^2 = 2*(AM)^2 + 2*(CM)^2 (AM)^2 = [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 ( V ) Como G é baricentro do triângulo ABC, então: GM = (AM)/3 ( VI ) No triângulo OBM temos, pela lei dos cossenos: (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 - 2*(OM)*(AM)*cos(O^MA) ( VII ) Também pela lei dos cossenos, no triângulo OGM, temos: (OG)^2 = (OM)^2 + (GAM)^2 - 2*(OM)*(GM)*cos(O^MG) ( VIII ) Observe que os ângulos O^MA e O^MG são iguais, pois A e G são pontos do mesmo segmento AM. Assim, manipulando as equações (VII) e (VIII) temos: [(OM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2]/AM = [(OM)^2 + (GM)^2 - (OG)^2]/GM ( IX ) Substituindo (I) e (VI) em (IX), temos: (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*[(OC)^2 - (CM)^2 + ((AM)/3)^2 - (OG)^2] (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*(OC)^2 - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 Como OA = OC = R, temos: R^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - R^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 (AM)^2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 ( X ) por fim, substituindo (V) em (X), temos: [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/6 - 3*(OG)^2 Manipulando a equação acima, de modo a isolar o termo (OC)^2, temos que: (OG)^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 Em 17 de dezembro de 2010 07:39, Marcelo Costa <mat.mo...@gmail.com>escreveu: > CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, > INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. > SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: > (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) > > > AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO! >
