Caro Igor: Seguem-se meus comentários.
> 1°)Um triângulo ABC tem lados medindo a, b, c. Tangentes > ao círculo inscrito são construídas paralelas aos lados. > Cada tangente forma um triângulo com os dois outros > lados do triângulo e um círculo é inscrito em cada um > dos três triângulos. Encontrar a área total dos quatro > círculos inscritos. Sejam P e Q os pontos de interseção da tangente ao incírculo paralela ao lado BC, com os lados AB e AC, respectivamente ==> Triângulo APQ ~ Triângulo ABC. R = raio do incírculo de ABC Ha = altura de ABC relativa ao lado BC ==> Ha - 2*R = altura de APQ relativa ao lado PQ A = área do triângulo ABC = (1/2)*a*Ha ==> p =semi-perímetro do triangulo ABC = (a+b+c)/2 ==> A = p*R Logo, (1/2)*a*Ha = p*R ==> Ha = 2*p*R/a (1) Ra = raio do incírculo de APQ Por causa da semelhança de APQ e ABC, teremos: Ra / (Ha - 2*R) = R / Ha ==> Ra = R - 2*R^2/Ha (2) (1) e (2) ==> Ra = R*(p-a)/p Analogamente, temos que Rb = R*(p-b)/p e Rc = R*(p-c)/p A soma das áreas dos três círculos será: S = Pi*(R^2 + Ra^2 + Rb^2 + Rc^2) = Pi*R^2*(p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2)/p^2 (3) Agora falta expressar R^2 em função de a, b e c: A = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = p*R ==> R^2 = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p (4) (3) e (4) ==> S = Pi*(p-a)*(p-b)*(p-c)*[p^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2]/p^3 onde p = (a+b+c)/2 *************** > 2°) Achei essa propriedade interessante e resolvi repassa > r: > (n-1)(n-2)/2 + n(n-1)/2 = (n-1)² > [(n-1)/2]*(n -2 +n) = (n-1)² > [(n-1)/2]*(2n -2) = (n-1)² > [(n-1)/2]*2(n-1) = (n-1)² > (n-1)*(n-1) = (n-1)² > (n-1)=(n-1) > Ou seja, todo quadrado perfeito é soma de dois números triangulares. Um outro problema parecido (que apareceu há pouco tempo na lista) é provar que todo cubo perfeito é diferença de dois quadrados. ******************** > 3°) Cálculo I > I)Construa o gráfico da função f(x)= sech(x) (secante > hiperbólica) > Secante hiperbólica é o inverso do cosseno hiperbólico > cosseno hiperbólico = (e^x + 1/e^x)/2 > Esse é um exercício meio braçal de derivação, onde você deve achar as interseções com os eixos, os pontos extremos e de inflexão e as assíntotas do gráfico de y = Sech(x). > I) Dada a função x^2 + xy + y^2 = 1 calcule o ponto mais > próximo da origem. Trata-se de minimizar d = raiz(x^2 + y^2) sujeito a x^2 + xy + y^2 = 1. Uma forma seria usar o método dos multiplicadores de Lagrange. No entanto, como isso é Cálculo I, uma forma mais sutil seria reconhecer que a curva (não é uma função) de equação: x^2 + xy + y^2 = 1 é uma elipse centrada na origem e cujos eixos estão contidos nas retas y = x e y = -x. Por exemplo, você pode fazer uma rotação dos eixos coordenados através da mudança de variáveis: x = ucosA - vsenA e y = usenA + vcosA Usando a equação original e simplificando, você chega a: x^2 + xy + y^2 = 1 = (1+senAcosA)u^2 + (1-senAcosA)v^2 + (cos^2A - sen^2A)uv Para eliminar o termo em uv, você pode escolher, por exemplo, cosA = senA = 1/raiz(2) (A = 45 graus). Assim, a equação fica: (3/2)*u^2 + (1/2)*v^2 = 1 ==> u^2/[raiz(6)/3]^2 + v^2/[raiz(2)]^2 =1 ==> Elipse de semi-eixos raiz(6)/3 e raiz(2). Logo, os dois pontos mais próximos (e também os dois mais distantes) da origem serão os vértices da elipse. y = x ==> x^2 + x*x + x^2 = 1 ==> 3x^2 = 1 ==> x = y = 1/raiz(3) ou x = y = -1/raiz(3) ==> Distância = raiz(x^2+y^2) = raiz(1/3+1/3) =raiz(6)/3 y = -x ==> x^2 - x^2 + x^2 = 1 ==> x^2 = 1 ==> x = 1, y = -1 ou x = -1, y = 1 ==> Distância = raiz(1^2+1^2) = raiz(2) Logo, a distância mínima da elipse até a origem é igual a raiz(6)/3. Os pontos correspondentes são (1/raiz(3),1/raiz(3)) e (-1/raiz(3),-1/raiz(3)). Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================