As ideias do Rogerio estao no caminho certo... Agora eh soh organizar
tudo. Eu conheco esse problema sem a restricao do menor que 99, mas o
enunciado costuma deixar claro que sao dois numeros inteiros POSITIVOS --
creio ser esta a ideia, nao? Eu costumo fazer assim...
Faca um tabelao mostrando todas as hipoteses para os dois numeros (ou
pense em todos os pontos do plano cujas coordenadas sejam inteiros positivos
(x,y) com x=y -- como eu disse, vou jogar fora a condicao do 99, pois acho
que nao faz TANTA diferenca na IDEIA). Para cada par (ponto), escreva o
dialogo entre Sr. S e Sr. P usando D para descobri! e N para nao
descobri... Por exemplo, se os numeros iniciais fossem (1,1), teriamos S=2
e P=1. Senhor P ve o produto e diz D!. Sr. S tambem diz D!. Em outras
palavras, o par (1,1) leva ao dialogo DD. Assim, na posicao (1,1) eu tenho
DD.
Bom, agora monte os dialogos letra a letra, assim:
i) O Sr. P ve uma tabela vazia. Se o produto que ele tem for primo (ou 1),
ele sabera quais sao os numeros; senao, ele nao tem como adivinhar. Assim,
ponha D (de descobri!) como primeira letra na tabela para todos os pares
da forma (1,p) com p primo (e em (1,1)); nas outras, claramente a primeira
letra do dialogo eh N (de Nao descobri!).
ii) O Sr. S olha a tabela, agora separada em dois conjuntos de
possibilidades, aquelas que comecam com D e aquelas que comecam com N. Ele
soh tem a soma, isto eh, ele estah restrito a uma especie de diagonal do
tipo x+y=S no tabelao. Ele olha todos os pontos no tabelao com aquela soma,
e percebe que:
-- Em (1,1), Sr. S claramente diz D (eh a unica possibilidade) e temos
DD -- fim de papo.
-- Em (1,p), idem, pois o Sr. S verah que (1,p) eh o unico par com aquela
soma S particular que comeca por D, entao ele conclui que os numeor sao 1
e p=S-1. Assim, estas casas levam ao dialogo DD, e fim de papo (lembre-se
que eu supus x=y, jah que a ordem nao interessa). Note que nestes casos,
nos aqui de fora nao temos como saber se foi (1,1), ou se foi (1,p), ou que
p foi esse.
-- O mesmo ocorre para (2,2); de fato, o Sr. S olha para a diagonal x+y=4 no
tabelao e ve apenas duas possibilidades para o dialogo ateh entao proferido
pelo Sr. P: D (em (1,3)) e N (em (2,2)). Dependendo do que o Sr. P
falou, o Sr. S saberah a resposta. Assim temos DD em (1,3) e ND em
(2,2).
-- Qualquer outra casa do meu tabelao pertence a uma diagonal x+y=S com
varias casas marcadas ateh aqui com N. Assim, nestas casa, acresente mais
um N e fique com NN -- o sr. S nao tem como saber que N foi o que o Sr.
P proferiu.
iii) Estah acompanhando o tabelao? O Sr. P estah limitado a uma curva do
tipo xy=P (uma especie de hiperbole nos inteiros, limitada pela condicao
x=y). Veja as possibilidades para esta curva... Muitas delas teem um bando
de NN e, portanto, o Sr. P diria mais um N, incapaz de decidir qual
daqueles pontos NN eh o do momento. As excecoes sao:
-- Se o produto eh 4, ha apenas os pontos (1,4) e (2,2), que no momento teem
dialogos distintos (NN e ND repsectivamente!). Assim, o Sr. P eh capaz de
separa-los. Portanto, (1,4) fica com NND e (2,2)=NDD.
-- Todos os outros pontos tipo NN viram NNN -- ha varios NN em cada uma das
hiperboles, e o Sr. P nao tem como decidir nada.
iv) Agora, o Sr. S ve a sua diagonal. Quase todas teem um bando de NNN
ateh aqui e o Sr. S eh incapaz de dizer qualquer coisa. A excecao notavel eh
a reta x+y=5, com apenas (1,4)=NND e (2,3)=NNN. Assim, se a soma for 5, o
Sr. S eh capaz de decidir qual dos dois eh o correto pelo dialogo.
Ficamos com (1,4)=NNDD e fim de papo, (2,3)=NNND, e todos os outros que
tinham NNN ficam .
v) Agora, o Sr. P olha a sua hiperbole. Note que todas elas estao lotadas de
como no passo (iii); a unica diferenca notavel estah na curva xy=6, que
agora tem (1,6)= e (2,3)=NNND. Sr. P eh agora capaz de separa-los pelo
dialogo, isto eh, (1,6)=D e (2,3)=NNNDD. O resto que tinha fica com
N.
vi) Note que nao ha mudancas significativas desde o passo (iv) para o Sr. S.
A unica esperanca seria a troca de status do ponto (1,6), mas infelizmente
ainda ha DOIS pontos na reta x+y=7 com status N, e o Sr. S seria incapaz
de ditingui-los. Em suma, (1,6)=DD e fim de papo, o resto leva NN.
vii) Daqui para a frente, a tabela nao ganha nenhum D, e portanto nem Sr. S
nem Sr. P serah capaz de distinguir pelo dialogo algo que estava confuso
depois. A tabela fica assim:
y/x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
1 DD DD DD NNDD DD DD DD NN NN NN
2 NDD NNNDD NN NN NN NN NN NN NN
3 NN NN NN NN NN NN NN NN
4 NN NN NN NN NN NN NN
5NN NN NN NN NN NN
6 NN NN NN NN NN
...
Onde NN de fato significa NNN... :)
Em suma, pra nois coitadinhos inqui de fora que num tem