[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Elipse e lugar geométrico

[Claudio Buffara]

Tem um artigo do (saudoso) Morgado na RPM sobre este assunto. Está aqui:
http://www.rpm.org.br/cdrpm/43/5.htm

[]s,
Claudio.

On Sat, Aug 22, 2020 at 9:14 PM Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> wrote:

> Demorei para responder, mas queria dizer que foi muito boa sua resolução,
> como sempre, Ralph!
> Eu desconhecia o fato de as coordenadas do incentro serem dadas daquela
> forma.
>
> Muitíssimo obrigado!
>
> Vanderlei
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_3828508563874758992_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 00:37, Ralph Costa Teixeira <
> ralp...@gmail.com> escreveu:
>
>> As coordenadas do incentro sao a media ponderada das coordenadas dos
>> vertices, usando os lados como pesos. Ou seja, se escrevo P=(5cost,4sint),
>> F1=(-3,0), F2=(3,0) e Incentro=(x,y):
>>
>> x = (30cost + (-3)b + 3c) / 16
>> y = (24sint + 0 + 0) / 16
>>
>> onde b=d(P,F2) e c=d(P,F1). Note que b+c=eixo maior = 10.
>>
>> Mais especificamente:
>>
>> b^2=d(P,F2)^2=(5cost-3)^2+(4sint)^2=9(cost)^2-30cost+25=(3cost-5)^2, ou
>> seja, b=5-3cost, portanto c=5+3cost.
>>
>> Jogando na formula de x e y:
>>
>> x= 3cost ; y=3sint/2. Outra elipse, a saber, (x^2)/9+(y^2)/(9/4)=1
>> (talvez tirando os pontos onde tudo degenera, para ser chato).
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>>
>>
>> Hmm Assim:
>>
>> On Wed, Aug 19, 2020 at 11:58 PM Professor Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Oi!
>>> Venho com mais uma envolvendo incentro.
>>>
>>> *O ponto P pertence a uma elipse de focos F1 e F2 e de equação (x^2)/25
>>> + (y^2)/16 = 1. Determine o lugar geométrico do incentro do triângulo
>>> PF1F2.*
>>>
>>> Muito obrigado!
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_3828508563874758992_m_6041639077674691514_m_2344932968934913062_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Elipse e lugar geométrico

[qedtexte]

Sauda,c~oes, 


Demorei para responder, mas queria dizer que foi muito boa sua 
resoluo, como sempre, Ralph!
Eu desconhecia o fato de as coordenadas do incentro serem dadas daquela 
forma.
Eu no lembrava mais mas a demonstraao aparece na RPM 43, por 
exemplo.
Artigo do Morgado.

Resolvendo o problema de construir um tringulo dados a,b+c,d_b, com 
BD_b = d_b
bissetriz interna, clculos simblicos mostraram que se A percorre a elipse E_1 de focos 
B,C, centro O_1e eixo maior PQ=b+c, ento D_b percorre uma outra elipse E_2 tal que:


It looks that foot D of B-bisector is onellipse confocal C and major axis BX,where X 
dividesinternally CQ in thesame ratio as B externally.

Ou seja, os focos de E_2 so F,C com eixo maior BX, tal que B,X 
so
conjugados harmnicos do segmento CQ.

Os eixos menores de E_1 e E_2 so paralelos. Fazendo uma "figura", 
vem:

P B   F O_1  
 O_2  CX  Q

BC=a; O_1=M_a, PQ=b+c; O_2 centro de E_2.

D_c deve percorrer uma elipse tambm. Assim, fazendo I=BD_b/\CD_c acho 
que
d pra mostrar que o lugar geomtrico de I  outra elipse.

Como o centro do crculo \phi=(B,d_b) est num dos eixos da elipse, o 
problema
tem uma construo com rgua e compasso.

Abraos,
Lus









--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Elipse e lugar geométrico

[Professor Vanderlei Nemitz]

Demorei para responder, mas queria dizer que foi muito boa sua resolução,
como sempre, Ralph!
Eu desconhecia o fato de as coordenadas do incentro serem dadas daquela
forma.

Muitíssimo obrigado!

Vanderlei


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em qui., 20 de ago. de 2020 às 00:37, Ralph Costa Teixeira <
ralp...@gmail.com> escreveu:

> As coordenadas do incentro sao a media ponderada das coordenadas dos
> vertices, usando os lados como pesos. Ou seja, se escrevo P=(5cost,4sint),
> F1=(-3,0), F2=(3,0) e Incentro=(x,y):
>
> x = (30cost + (-3)b + 3c) / 16
> y = (24sint + 0 + 0) / 16
>
> onde b=d(P,F2) e c=d(P,F1). Note que b+c=eixo maior = 10.
>
> Mais especificamente:
>
> b^2=d(P,F2)^2=(5cost-3)^2+(4sint)^2=9(cost)^2-30cost+25=(3cost-5)^2, ou
> seja, b=5-3cost, portanto c=5+3cost.
>
> Jogando na formula de x e y:
>
> x= 3cost ; y=3sint/2. Outra elipse, a saber, (x^2)/9+(y^2)/(9/4)=1 (talvez
> tirando os pontos onde tudo degenera, para ser chato).
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
> Hmm Assim:
>
> On Wed, Aug 19, 2020 at 11:58 PM Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
>
>> Oi!
>> Venho com mais uma envolvendo incentro.
>>
>> *O ponto P pertence a uma elipse de focos F1 e F2 e de equação (x^2)/25 +
>> (y^2)/16 = 1. Determine o lugar geométrico do incentro do triângulo PF1F2.*
>>
>> Muito obrigado!
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_6041639077674691514_m_2344932968934913062_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.