Supondo que f tem pelo menos um ponto fixo e é diferenciável, eu cheguei a uma desigualdade mais forte: b(b-2) <= 4ac.
Seja p um ponto fixo de f ==> f(p) = p ==> ap^2 + bp + c = f(f(p)) = f(p) = p ==> ap^2 + (b-1)p + c = 0 ==> f tem no máximo 2 pontos fixos. Seja q o menor deles. Então: 2aq = -(b-1) - raiz((b-1)^2 - 4ac) (*) A diferenciabilidade de f implica que f'(f(x))*f'(x) = 2ax + b ==> f'(q)^2 = 2aq + b >= 0 ==> 2aq >= -b (**) (*) e (**) ==> -(b-1) - raiz((b-1)^2 - 4ac) >= -b ==> -raiz((b-1)^2 - 4ac) >= -1 ==> raiz((b-1)^2 - 4ac) <= 1 ==> (b-1)^2 - 4ac <= 1 ==> (b-1)^2 -1 <= 4ac ==> b(b-2) <= 4ac Esta última desigualdade implica que b(b-2) - 3 <= 4ac ==> b^2 - 2b - 3 = (b+1)(b-3) <= 4ac. Mas foi o máximo que consegui. []s, Claudio. 2018-08-14 19:03 GMT-03:00 Lucas Colucci <lucas.colucci.so...@gmail.com>: > Olá, você poderia enivar a solução desse problema? > > Obrigado > > Lucas Colucci > > > On Sat, May 12, 2018 at 9:25 PM Artur Costa Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Suponhamos que f: R—> R satisfaça a f(f(x)) = ax^2 + bx + c, onde a <> >> 0, b e c são coeficientes reais. Mostre que >> >> (b + 1)(b - 3) <= 4ac >> >> Artur >> >> Enviado do meu iPad >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
