[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O período de uma função?
Caros amigos, Tenho acompanhado as belas explicaes do Nicolau sobre funes perodicas ( como sempre fantsticas). Entretanto, acredito ter encontrado uma pequena falha de digitao, nos exemplos: - Ao invs de f(x) = tan((4*x)/(a*pi)) tem periodo 4a , acho que deveria ser f(x) = tan((pi*x)/(4*a)). - (c) Para todo inteiro positivo mpar k, existem funes nesta classe com perodo 4a/k. Ao invs, De fato, basta tomar, (ao invs de f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi))) onde s = (-1)^((k-1)/2). (acho que deveria ser ; f(x) = tan((k*pi*s*x)/(4*a)) Verifiquem por favor e desculpem-me por qualquer falha. PONCE Verifiquem por favor. Nicolau C. Saldanha escreveu: On Mon, Jan 26, 2004 at 11:30:14PM -0200, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +, Mrcio Pinheiro wrote: Uma de minhas vrias dvidas refere-se seguinte pegunta: qual o perodo de determinada funo, no necessariamente dada por uma lei de formao explcita, que possui determinada propriedade? Um exemplo clssico em relao a uma funo real f para a qual vale a propriedade: f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, sendo a um real no nulo. Acho que a nica coisa que falta exibir uma f satisfazendo esta condio e para a qual 4a seja perodo fundamental. O que no muito difcil: tome b um nmero real e defina f(x) = b para todo x no intervalo [0,a), = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a), e assim por diante. Para quase todo b o perodo fundamental ser 4a. Ou, se voc estiver interessado em uma funo mais bonitinha, tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A frmula para f segue da frmula para tan(u+v). No entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de exibir uma funo cujo perodo fundamental seja 4a realmente garante que toda funo que satisfaz f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui perodo fundamental 4a??? Claro que no, isto falso. O que eu estou afirmando que: (a) Toda funo satisfazendo a identidade f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x)) para todo x tem perodo 4a, i.e., f(x+4a) = f(x) para todo x. (b) Existe uma funo nesta classe para a qual o perodo 4a o perodo fundamental. Para complementar, dada a sua pergunta, eu diria ainda: (c) Para todo inteiro positivo mpar k, existem funes nesta classe com perodo 4a/k. De fato, basta tomar f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi)) onde s = (-1)^((k-1)/2). (d) Nenhuma funo nesta classe tem perodo fundamental 4a/k, k par. De fato, f(x+2a) = -1/f(x) nunca igual a f(x). (e) Nenhuma funo nesta classe constante. Veja a demonstrao de (d). Na verdade a minha dvida (e provavelmente a do Mrcio) se possvel garantir que 4a o perodo mnimo de todas as funes que satisfazem a equao funcional anterior ou se no mximo podemos afirmar que 4a um perodo (comum a todas)? Alm do mais, podemos afirmar que todas as funes que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo perodo fundamental??? Lembremos que a manipulao algbrica somente garante que 4a UM perodo... Acho que eu respondi a sua dvida para esta classe de funes? Acho que voc pode resolver o mesmo problema para o outro exemplo que voc deu, ou seja: Conside a classe de funes f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1) para todo x. Prove que toda funo nesta classe peridica e determine todos os valores possveis para o perodo fundamental. []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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On Wed, Jan 28, 2004 at 04:18:39PM -0200, Luiz Ponce wrote: Caros amigos, Tenho acompanhado as belas explicações do Nicolau sobre funções períodicas ( como sempre fantásticas). Entretanto, acredito ter encontrado uma pequena falha de digitação, nos exemplos: - Ao invés de f(x) = tan((4*x)/(a*pi)) tem periodo 4a , acho que deveria ser f(x) = tan((pi*x)/(4*a)). Sim, você tem razão. - (c) Para todo inteiro positivo ímpar k, existem funções nesta classe com período 4a/k. Ao invés, De fato, basta tomar, (ao invés de f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi))) onde s = (-1)^((k-1)/2). (acho que deveria ser ; f(x) = tan((k*pi*s*x)/(4*a)) De novo sim, você tem razão. Eu tento ter cuidado mas faço muitos erros deste tipo. Obrigado, []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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On Mon, Jan 26, 2004 at 11:30:14PM -0200, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +, Márcio Pinheiro wrote: Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o período de determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação explícita, que possui determinada propriedade? Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a propriedade: f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, sendo a um real não nulo. Acho que a única coisa que falta é exibir uma f satisfazendo esta condição e para a qual 4a seja período fundamental. O que não é muito difícil: tome b um número real e defina f(x) = b para todo x no intervalo [0,a), = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a), e assim por diante. Para quase todo b o período fundamental será 4a. Ou, se você estiver interessado em uma função mais bonitinha, tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A fórmula para f segue da fórmula para tan(u+v). Não entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de exibir uma função cujo período fundamental seja 4a realmente garante que toda função que satisfaz f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui período fundamental 4a??? Claro que não, isto é falso. O que eu estou afirmando é que: (a) Toda função satisfazendo a identidade f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x)) para todo x tem período 4a, i.e., f(x+4a) = f(x) para todo x. (b) Existe uma função nesta classe para a qual o período 4a é o período fundamental. Para complementar, dada a sua pergunta, eu diria ainda: (c) Para todo inteiro positivo ímpar k, existem funções nesta classe com período 4a/k. De fato, basta tomar f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi)) onde s = (-1)^((k-1)/2). (d) Nenhuma função nesta classe tem período fundamental 4a/k, k par. De fato, f(x+2a) = -1/f(x) nunca é igual a f(x). (e) Nenhuma função nesta classe é constante. Veja a demonstração de (d). Na verdade a minha dúvida (e provavelmente a do Márcio) é se é possível garantir que 4a é o período mínimo de todas as funções que satisfazem a equação funcional anterior ou se no máximo podemos afirmar que 4a é um período (comum a todas)? Além do mais, podemos afirmar que todas as funções que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo período fundamental??? Lembremos que a manipulação algébrica somente garante que 4a é UM período... Acho que eu respondi a sua dúvida para esta classe de funções? Acho que você pode resolver o mesmo problema para o outro exemplo que você deu, ou seja: Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1) para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine todos os valores possíveis para o período fundamental. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +, Márcio Pinheiro wrote: Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o período de determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação explícita, que possui determinada propriedade? Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a propriedade: f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, sendo a um real não nulo. Acho que a única coisa que falta é exibir uma f satisfazendo esta condição e para a qual 4a seja período fundamental. O que não é muito difícil: tome b um número real e defina f(x) = b para todo x no intervalo [0,a), = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a), e assim por diante. Para quase todo b o período fundamental será 4a. Ou, se você estiver interessado em uma função mais bonitinha, tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A fórmula para f segue da fórmula para tan(u+v). Não entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de exibir uma função cujo período fundamental seja 4a realmente garante que toda função que satisfaz f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui período fundamental 4a??? Na verdade a minha dúvida (e provavelmente a do Márcio) é se é possível garantir que 4a é o período mínimo de todas as funções que satisfazem a equação funcional anterior ou se no máximo podemos afirmar que 4a é um período (comum a todas)? Além do mais, podemos afirmar que todas as funções que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo período fundamental??? Lembremos que a manipulação algébrica somente garante que 4a é UM período... Ainda pensando no assunto, Marcelo Rufino de Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =