Em 21 de abril de 2018 16:51, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A altura relativa à hipotenusa divide o triangulo retângulo em dois outros > semelhantes a ele. > Daí e’ só operar com as proporções resultantes. > > Ceva por áreas tem logo no cap 1 do Geometry Revisited. > > Menelaus é equivalente a Ceva. Mas provar que Ceva ==> Menelaus é bem mais > difícil. > > O livro do Elon q eu mencionei tem uma definição axiomática de área. > > Abs > > Enviado do meu iPhone
Estive pensando nisso. Tecnicamente, tem pelo menos um teorema bem interessante, que até lembro de ter resolvido na Eureka! "Qualquer polígono pode ser recortado, e seus recortes reaaranjados, de forma a formar um quadrado" A ideia é bastante simples: primeiro, o polígono é recortado em triângulos; segundo, cada triângulo é transformado em um paralelogramo (base média), cada paralelogramo em um retângulo, e depois transformar os retângulos em retângulos de lado 1. Depois disso, a vareta de largura 1 formada pelo empilhamento desses retângulos é transformada em um quadrado. Todas essas transformações são meramente traçados de retas e construção de triângulos semelhantes (mais precisamente, congruentes). Isso pode ser a conexão entre áreas e semelhanças que se procura. Por outro lado, a área de um triângulo é algo bem fácil: (base X altura)/2 ou (ab * sinC)/2. Se for possível fazer uma teoria de semelhanças que leve em conta essas fórmulas, já se pode traçar alguma coisa. > > Em 21 de abr de 2018, à(s) 16:18, Anderson Torres > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Em 21 de abril de 2018 10:28, Claudio Buffara >> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança. >>> Ceva também. >> >> As demos de Pitágoras que conheço costumam usar recorta-e-cola. >> Conheço uma muito boa que usa áreas e semelhança. Basicamente, >> substitua os quadrados nos lados por triângulos retângulos semelhantes >> ao próprio. >> >> Ceva? Bem, eu já vi Menelaus com áreas, devo dizer. >> >>> E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o >>> teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das >>> proporções de Eudoxo, descrita no livro V). >>> >>> De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, >>> áreas e semelhança são equivalentes. >>> >> >> Novamente, não lembro de nenhum tratamento sistemático/axiomático de >> áreas. Ainda não consigo imaginar um Cavalieri com semelhanças. >> >>> Abs >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 21 de abr de 2018, à (s) 08:12, Anderson Torres >>> <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara >>>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>>> Considere o seguinte problema (fácil): >>>>> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e >>>>> K o pé da >>>>> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC >>>>> e K à >>>>> reta suporte de AB). >>>>> Prove que AB*CK = AC*BH. >>>>> >>>>> Solução 1: >>>>> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH >>>>> >>>>> Solução 2: >>>>> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = >>>>> 1 reto e A >>>>> comum). >>>>> Logo, AB/AC = BH/CK. >>>>> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH. >>>>> >>>>> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de >>>>> área e de >>>>> semelhança são equivalentes? >>>>> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via >>>>> considerações de >>>>> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)? >>>>> >>>> >>>> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de >>>> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o >>>> caso >>>> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois >>>> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais". >>>> >>>> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso. >>>> >>>> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao >>>> PrincÃÂpio de >>>> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :) >>>> >>>>> []s, >>>>> Claudio. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> ========================================================================= >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
