[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão OBM - U
Seja ABCD o quadrilatero convexo, e seja P o encontro das diagonais. No triangulo APB, temos AP+PB>AB. Escreva as desigualdades analogas para os triangulos BPC, CPD e DPA. Somando-as, voce vai obter que 2(AC+BD)>perimetro=8 Ou seja, o infimo tem que ser pelo menos 4. Agora, para chegar no infimo, voce vai ter que "degenerar" os triangulos... Entao considere um quadrilatero do tipo ABCB (ou seja, tome D=B), com, digamos, AC=BC=2. Note que o perimetro eh 8, enquando AC=4 e BB=0, ou seja, a soma das diagonais eh 4. Mas alguns diriam que isso nao eh um quadrilatero convexo (bom, depende da sua definicao de quadrilatero!)... Entao se "quadrilateros" nao incluem casos degenrados, para fazer isso ficar rigoroso, voce teria que tomar um quadrilatero convexo QUASE degenerado de perimetro 8 (um losango serve, a conta fica facil), e mostrar que a soma das diagonais fica tao perto de 4 quanto voce queira. Abraco, Ralph. On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo wrote: > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta... O > gabarito é 4. > > Em sáb, 11 de jan de 2020 12:03, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo >> wrote: >> > >> > Qual o Ãnfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perÃmetro 8 >> da soma dos comprimentos de suas diagonais ? >> >> Quais são os quadriláteros que você tentaria? >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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É fácil ver que esse ínfimo tem que ser no mínimo 4, basta fazer desigualdade triângulos com os triângulos que têm dois vértices comuns com o quadrilátero e o terceiro sendo a interseção das diagonais. E por esse argumento do Caio, vemos que é 4 mesmo. Em qui, 23 de jan de 2020 08:59, Caio Costa escreveu: > Minimiza-se a soma das diagonais ao tomar-se um losango degenerado, com > uma diagonal valendo 4 e outra valendo 0. > > Em qui, 23 de jan de 2020 08:34, gilberto azevedo > escreveu: > >> Pensei em minimizar √(a² + (4-a)²) >> 4 - a, devido ao fato do perímetro ser 8. >> No caso obtenho o mínimo sendo 2√2, quando o retângulo é um quadrado de >> lado 2. >> A soma das diagonais seria no caso 4√2, e não bate com o gabarito. >> >> Em qui, 23 de jan de 2020 08:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> bernardo...@gmail.com> escreveu: >> >>> On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo >>> wrote: >>> >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo < >>> gil159...@gmail.com> wrote: >>> >> > >>> >> > Qual o Ãnfimo sobre todos os quadriláteros convexos com >>> perÃmetro 8 da soma dos comprimentos de suas diagonais ? >>> > >>> > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta... O >>> gabarito é 4. >>> >>> Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou?? Que resposta você obteve? >>> -- >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Minimiza-se a soma das diagonais ao tomar-se um losango degenerado, com uma diagonal valendo 4 e outra valendo 0. Em qui, 23 de jan de 2020 08:34, gilberto azevedo escreveu: > Pensei em minimizar √(a² + (4-a)²) > 4 - a, devido ao fato do perímetro ser 8. > No caso obtenho o mínimo sendo 2√2, quando o retângulo é um quadrado de > lado 2. > A soma das diagonais seria no caso 4√2, e não bate com o gabarito. > > Em qui, 23 de jan de 2020 08:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo >> wrote: >> >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo >> wrote: >> >> > >> >> > Qual o Ãnfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perÃmetro >> 8 da soma dos comprimentos de suas diagonais ? >> > >> > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta... O >> gabarito é 4. >> >> Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou?? Que resposta você obteve? >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Pensei em minimizar √(a² + (4-a)²) 4 - a, devido ao fato do perímetro ser 8. No caso obtenho o mínimo sendo 2√2, quando o retângulo é um quadrado de lado 2. A soma das diagonais seria no caso 4√2, e não bate com o gabarito. Em qui, 23 de jan de 2020 08:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo > wrote: > >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo > wrote: > >> > > >> > Qual o Ãnfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perÃmetro > 8 da soma dos comprimentos de suas diagonais ? > > > > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta... O > gabarito é 4. > > Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou?? Que resposta você obteve? > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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On Thu, Jan 23, 2020 at 7:24 AM gilberto azevedo wrote: >> On Sat, Jan 11, 2020 at 11:24 AM gilberto azevedo >> wrote: >> > >> > Qual o Ãnfimo sobre todos os quadriláteros convexos com perÃmetro 8 da >> > soma dos comprimentos de suas diagonais ? > > Tentei com o retângulo e o quadrado, porém não obtive a resposta... O > gabarito é 4. Qual (ou quais?) retângulo(s) você testou?? Que resposta você obteve? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
