Boa tarde!
São 272 algarismos. Correto.
Saudações,
PJMS
Em 4 de maio de 2014 14:43, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
272 algarismos.
Em 3 de maio de 2014 20:58, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Boa noite!
Já que foi resolvido. Aqui vai outra solução.
Procurando o menor expoente x 0 que 7^x ≡ 1 mod 10.
7^1 ≡ 7 mod 10.
7^2 ≡ 9 mod 10.
7^3 ≡ 9*7 ≡ 3 mod 10.
7^4 ≡ 9*9 ≡ 1 mod 10.
Se você conhecer função totiente de Euler. e ordem de a módulo m, onde
mdc(a,m) =1 (que é o menor inteiro d 0 tal que a^d ≡ 1 mod m e é também o
período mínimo do expoente para repetição das congruências 7^x mod m. Outra
coisa é orda m divide a função totiente de Euler aplicada em m.
como φ(10)= 4 só poderia ser para 1, 2 ou 4. Fica óbvio que seria 4,
como achado por tentativas, anteriormente.
Um outro macete para procurar é que quando achar o primeiro expoente que
dê -1 o dobro desse expoente é orda m. No exemplo de tentativas o 9 ≡ -1
mod 10. Já podíamos ter inferido que ord7 10 =4.
Outro macete. Quando for buscar a orda m no braço, use sempre o resultado
anterior e multiplique por a para achar a próxima congruência.
Verificando qual a congruência mod 100 de 7^4 temos:
7^4 ≡ 1 mod 100. Então temos que ord7 10 = ord7 100 = 4.
Vamos verificar para mod1000, temos:
7^4 ≡ 801 mod 1000.
Para um número ter resto 1 quando se divide por 1000, necessita ter resto
1 quando o dividimos por 100, como 4 é ord7 100 e a ordem é o período
mínimo, ord7 1000 será um múltiplo de 4.
Por tentativas:
7^4 ≡ 401 mod 1000.
7^8 ≡ 401^2 ≡ 801≡ -199 mod 1000.
7^12 ≡ 401*-199 ≡ 201 mod 1000.
7^16 ≡ (-199)^2 ≡ 601 mod 1000.
7^20 ≡ 601*401 ≡ 1 mod 1000.
Usando a função totiente temos:
φ(1000)= 400, logo os divisores comuns de 400 e que sejam múltiplos de 4
são: 4, 8, 16, 20.40, 80, 100, 200 e 400. Dessa feita não ajudou muito. Só
evitaria calcular o 7^12.
como = 499*20 + 19 temos que 7^ = 7^(20*499 + 19) =
(7^20)^499*7^19 ≡ 1^499*7^19 ≡ 7^19 mod 1000.
7^19 ≡ 7^16*7^3 ≡ 601*343 ≡ 143 mod 1000.
Portanto os últimos três algarismos são 1, 4 e 3 nessa ordem.
*Problema proposto: Seja um número formado apenas de algarismos 4, ou
seja, 444...444; quantos algarismos no mínimo são necessários para que esse
número seja divísivel* *por *289?
Saudações
PJMS
Em 3 de maio de 2014 02:40, profc...@yahoo.com.br
profc...@yahoo.com.brescreveu:
Nossa bem q tava facil demais. Desculpem, n vi q eram os 3 ultimos. E
obrigado pela dica do endereco. Tb vou dar uma lida.
Enviado do Yahoo Mail no
Androidhttps://br.overview.mail.yahoo.com/mobile/?.src=Android
--
* From: * Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com;
* To: * obm-l@mat.puc-rio.br;
* Subject: * [obm-l] Re: [obm-l] Outro de congruência módulo m.
* Sent: * Fri, May 2, 2014 6:16:48 PM
Entao percebi que os dois ultimos digitos das potencias de 7 sao
periodicos e sempre terminam em 01, 49, 43, 07, assim os digitos das
centenas com certeza devem ser periodicos tambem. Verifique!!
Abracos do Douglas Oliveira
Em 30 de abril de 2014 16:38, ruymat...@ig.com.br escreveu:
Quais os três últimos dígitos de 7^?. Sempre agreço muito quem
resolve sempre o faço antecipadamente. Obrigado. Abraço. R.O.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
