Em qua., 26 de ago. de 2020 às 18:29, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > > Boa noite! > Anderson, > achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. > Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos > a restrição 0<x+y<pi > E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá > um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante. > Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo.
Eu não fui muito claro. Você converteu o problema em "calcule o valor mínimo de cot(x)+cot(y) com x+y fixo". Isso é essencialmente o mesmo que resolver o problema "calcule o valor mínimo de tan(a)+tan(b) com a+b fixo" - pois sabendo resolver um é só usar a mesma solução para x=90-a, y=90-b. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres >> <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> > >> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José <petroc...@gmail.com> >> > escreveu: >> > > >> > > Boa noite! >> > > Cláudio, >> > > não consegui nada geométrico. >> > > O máximo que atingi foi: >> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + >> > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. >> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre >> > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das >> > > bissetrizes e logo I. >> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. >> > >> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. >> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a >> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de >> > números. >> > >> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação >> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos >> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de >> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um >> > quadrilátero cíclico. >> >> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com >> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com >> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. >> >> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto >> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais >> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema >> pode ser pensado da seguinte forma: >> >> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x >> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a >> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja >> mínima. >> >> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a >> bissetriz por A. >> >> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. >> A trigonometria se torna apenas um atalho. >> >> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. >> >> >> >> > >> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense >> > VS geometria paulista: >> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf >> > >> > >> > > >> > > Saudações, >> > > PJMS >> > > >> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara >> > > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> > >> >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? >> > >> E que torne o resultado mais intuitivo? >> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos >> > >> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> > >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> > >> que P deva ser equidistante dos três. >> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> > >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal >> > >> que a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente >> > >> neste caso. >> > >> >> > >> >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> >> > >> wrote: >> > >>> >> > >>> Olá, Vanderlei. >> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >> > >>> >> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> > >>> >> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> > >>> semi-perimetro. >> > >>> >> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >> > >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> > >>> >> > >>> Abraços, >> > >>> Matheus >> > >>> >> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >> > >>> <vanderma...@gmail.com> escreveu: >> > >>>> >> > >>>> Bom dia! >> > >>>> >> > >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive >> > >>>> êxito. Alguém ajuda? >> > >>>> Muito agradecido! >> > >>>> >> > >>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> > >>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o >> > >>>> valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o >> > >>>> incentivo do triângulo ABC. >> > >>>> >> > >>>> -- >> > >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > >>>> acredita-se estar livre de perigo. >> > >>> >> > >>> >> > >>> -- >> > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > >>> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> >> > >> >> > >> -- >> > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > >> > > >> > > -- >> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
